閆 焱 鄧明立

(1.河北師范大學 數(shù)學科學學院,石家莊 050024;2.華北理工大學 理學院,唐山 063210)

代數(shù)組合(Algebraic Combinatorics) 是組合數(shù)學與抽象代數(shù)的交叉學科,其研究對象涉及可以被組合學和代數(shù)學解釋的對象。以美國數(shù)學會所編列的數(shù)學科學分類系統(tǒng)(2010) 為例,在05Exx代數(shù)組合項下包括各研究子類如下：對稱函數(shù)及推廣;表示論的組合方面;代數(shù)幾何的組合方面;群與代數(shù)的組合方面;組合結構上的群作用;結合方案、強正則圖;交換代數(shù)的組合方面;單純復形的組合方面。盡管目前代數(shù)組合仍然是一個發(fā)展中的領域,但是其源頭可以追溯到18世紀歐拉(L.Euler,1707—1783) 關于劃分的思想、結果和方法,它們在近幾十年被廣泛應用于代數(shù)組合與群表示理論中。代數(shù)組合開始被嘗試系統(tǒng)地進行研究應該歸功于20世紀60年代羅塔(1)羅塔(G.C.Rota,1932—1999) 是意大利裔美國數(shù)學家和哲學家,他的數(shù)學研究始于泛函分析、微分方程、概率論和遍歷理論等相關領域,在概率和遍歷理論問題的激勵下,他在20世紀60年代早期轉向組合數(shù)學。當很多人認為組合數(shù)學充其量只是一堆聰明孤立的技巧時,羅塔觀察到了組合數(shù)學與眾多抽象數(shù)學分支的相互作用和相關性。羅塔在組合數(shù)學基礎方面的工作集中于揭示隱藏在不同組合領域背后的代數(shù)結構,他因在組合數(shù)學上的重大貢獻而成為名聞數(shù)學界的杰出數(shù)學家,組合數(shù)學的復興很大程度上要歸功于羅塔對這一學科的獨特見解,他被公認為促成這一轉變的主要人物之一。(G.C.Rota,1932—1999) 的影響,在他的推動下組合數(shù)學逐漸被納入了現(xiàn)代數(shù)學的主流,代數(shù)組合也得以逐漸發(fā)展成為一門日趨完善的學科。

20世紀以來,代數(shù)學的研究對象及研究方法不斷更新開拓,特別是1930—1931年數(shù)學大師范德瓦爾登(B.L.van der Waerden,1903—1996) 出版的《近世代數(shù)學》確定了代數(shù)結構化的思想形成,成為了數(shù)學代數(shù)化趨勢的思想源泉,這部以“結構”為指向的“近代代數(shù)學”從根本上改變了代數(shù)學的整個面貌[1-2]。代數(shù)以其結構的一般性,不僅是集合、符號和思維的語言,而且實現(xiàn)了將許多種類各異的、高度數(shù)學化的學科進行代數(shù)化處理。代數(shù)學的思想和方法推動了代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓撲、代數(shù)幾何、代數(shù)組合等交叉學科的發(fā)展。因此,從結構數(shù)學的視角分析“組合問題中的代數(shù)思想與方法”具有十分重要的研究意義,這不僅可以透視出如何利用代數(shù)方法或者結論研究組合問題,同時亦可以從組合學的視角為一些抽象的代數(shù)結果給出具體的解釋。

在國際數(shù)學界,代數(shù)組合被視為“組合對象的表示理論”或者“沒有群的群論”,盡管羅塔、斯坦利(R.P.Stanley,1944— )、坂內英一(E.Bannai,1946— ) 等眾多數(shù)學家撰寫了一系列關于代數(shù)組合的論著,但是這些論著多以代數(shù)組合的學術成果與學術進展綜述為主,還沒有基于群論思想研究代數(shù)組合學科歷史的論著。鑒于此,筆者在掌握原始文獻和研究文獻的基礎上,選取了代數(shù)組合中具有基礎性、核心性及統(tǒng)一性的概念——“結合方案”作為研究切入點,針對結合方案及其相關問題(代數(shù)理論、特征理論及結構理論) 進行展開,探究了結合方案歷經(jīng)了哪些發(fā)展才形成了今天的概念表述?哪些關鍵的歷史人物起到了重要的引領作用?通過分析代數(shù)組合和群論的共同邏輯基礎、共同概念基礎和共同方法基礎,揭示在代數(shù)組合的創(chuàng)立與發(fā)展過程中,群論的思想和方法是如何被繼承、發(fā)展或突破的,進而展示出群論思想和方法在代數(shù)組合領域中呈現(xiàn)出的交叉與融合、滲透與應用。這些問題無論在數(shù)學史上還是在數(shù)學研究方面,甚至在學科間交叉應用的歷史研究上都值得我們尋本溯源。

1 代數(shù)組合作為一門學科的誕生

代數(shù)組合這門學科的研究歷史可以與群的特征理論媲美,包括弗羅貝尼烏斯(F.G.Frobenius,1849—1917)、舒爾(I.Schur,1875—1941) 和伯恩賽德(W.Burnside,1852—1927) 的研究理論。特別是20世紀30到60年代群論專家維蘭德(H.Wielandt,1910—2001) 和希格曼(2)唐納德·戈登·希格曼(D.G.Higman,1928—2006) 是美國數(shù)學家,被認為是在有限群、表示理論、代數(shù)組合以及幾何學方面重要理論的締造者。他在群論研究中引入了組合的方法,從而產(chǎn)生了新的理論和方法,開辟了一條新道路,促進了現(xiàn)在被稱為“代數(shù)組合”領域的發(fā)展。希格曼被視為該領域的創(chuàng)始人之一。(D.G.Higman,1928—2006)等人關于有限置換群的工作(置換群的中心化子環(huán))[3-5],由此開辟了一條新的道路,促進了代數(shù)組合領域的發(fā)展。

“代數(shù)組合”一詞首先是坂內英一于1979年在日本著名刊物《數(shù)學》(Sugaku)(3)日本著名數(shù)學年刊《數(shù)學》是1947年4月創(chuàng)刊的日文雜志,現(xiàn)在每年發(fā)行4次,主要刊登日本數(shù)學會會員的有關數(shù)學的論述、書評、學界新聞等。論述是以讓專業(yè)以外的人亦能欣賞和理解為目的的綜述文章,其中大部分被翻譯成英文,由美國數(shù)學會以Sugaku Expositions的雜志名發(fā)行。上發(fā)表的《代數(shù)組合論》(代數(shù)的組合せ論)[6]這篇評論性文章中提出的,由此宣告了這門學科的誕生。盡管“代數(shù)組合”一詞首次出現(xiàn)在他1979年的文章中,但事實上這個詞此前已經(jīng)縈繞在他腦海中很多年了,雖然當時已經(jīng)有了代數(shù)圖論,代數(shù)編碼等詞,但是坂內英一希望創(chuàng)立一個術語,該術語不但能涵蓋這些領域,也能夠表達這一數(shù)學思想體系。

1984年坂內英一與伊藤達郎(T.Ito,1948—)(4)日本數(shù)學家伊藤達郎(T.Ito,1948— ) 是目前國際上代數(shù)組合研究領域的知名學者之一,他與坂內英一的工作情誼起于伊藤達郎的本科階段。伊藤達郎曾應坂內英一之邀,兩次在俄亥俄州立大學進行為期一年的訪問。在第一次訪問(1980—1981,任訪問助理教授) 期間,促成了1984年系統(tǒng)論述代數(shù)組合的第一部專著《代數(shù)組合I：結合方案》的出版。出版了系統(tǒng)論述代數(shù)組合的第一部專著《代數(shù)組合I.結合方案》(AlgebraicCombinatoricsI.AssociationSchemes)[7],旨在介紹代數(shù)組合這門學科,但是當時對于代數(shù)組合尚沒有明確的定義,書中首次正式使用“代數(shù)組合”一詞,術語“代數(shù)組合”開始被廣泛使用,該書亦成為了代數(shù)組合發(fā)展過程中的一個里程碑。1992年為適應代數(shù)組合研究蓬勃發(fā)展的需要,《代數(shù)組合學》(JournalofAlgebraicCombinatorics)雜志創(chuàng)刊。

圖1 1979年坂內英一在日本著名刊物《數(shù)學》上發(fā)表了題為《代數(shù)組合論》的評論性文章

圖2 1984年坂內英一與伊藤達郎出版了系統(tǒng)論述代數(shù)組合的第一部專著

盡管“代數(shù)組合”這一名詞出現(xiàn)在20世紀70年代,但是它所涉及的某些經(jīng)典核心問題卻歷史悠久,比如結合方案的相關問題。坂內英一曾這樣寫道：“在代數(shù)組合中,結合方案是非?；镜母拍?也許是最重要的?！?[7],7頁) 事實上,結合方案與距離正則圖、碼、設計等諸多代數(shù)組合研究領域都存在著千絲萬縷的聯(lián)系[8-12],且在代數(shù)組合發(fā)展過程中極具代表性。結合方案的數(shù)學思想可以追溯到18世紀歐拉對分拆的研究。

在組合學史上,歐拉曾巧妙地解決了一些經(jīng)典組合學問題并引入了重要的方法[13]。他對于組合學發(fā)展所做的主要工作有四個方面：整數(shù)分拆、錯位排列、歐拉方陣猜想和計數(shù)函數(shù)。整數(shù)分拆問題最早是萊布尼茲(G.W.Leibniz,l646—1716) 在1699年給伯努利(J.Bernoulli,1667—1748) 的信中提到的。歐拉對整數(shù)分拆問題的研究源于1740年諾地(P.Naud,1684—1747) 給他的一封信。信中諾地指出了一個有趣的問題：一個正整數(shù)可以用若干個不同或者相同的正整數(shù)的和來表達的方法有多少種?針對這個問題,歐拉憑借敏銳的洞察力發(fā)現(xiàn)了許多數(shù)字分拆的新思想、新結果和新方法。比如他發(fā)現(xiàn)：分拆數(shù)的計算與二項式的乘積有著特定的聯(lián)系,并最終把這個組合問題與冪級數(shù)聯(lián)系起來,從而使得分拆問題轉化為冪級數(shù)中x非零次冪的系數(shù)與指數(shù)的關系。在此基礎上,歐拉又考慮了二項式無窮乘積的倒數(shù)與分拆數(shù)的關系。歐拉指出：“把一個正整數(shù)分拆為不同正整數(shù)與分拆為可重復的奇數(shù)的分拆數(shù)相等”,并在其《無窮分析引論》(IntroductiontoAnalysisoftheInfinite) (1748) 的第16章中發(fā)展了這種思想[14],整數(shù)分拆問題為以后類似的分拆問題研究開辟了新的思路。在近現(xiàn)代數(shù)學中,特別是在數(shù)學和統(tǒng)計問題中,當對離散對象進行計數(shù)、分類等研究時,可以有效地應用數(shù)的分拆理論來研究這些問題。最近幾十年,它在代數(shù)組合與群表示理論中被廣泛地應用。那么分拆理論是如何滲透到結合方案這一概念中的?這就要提到C-代數(shù)(特征代數(shù)) 的劃分、統(tǒng)計試驗中的單元劃分以及結合方案中的結合關系。

在組合學發(fā)展的黃金時期,數(shù)學家們已經(jīng)為代數(shù)組合領域做出了許多重要的奠基性工作,但是沒有給出結合方案的確切定義,更沒有將結合方案理論系統(tǒng)化。數(shù)學家們雖然在工作中大量使用了結合方案的概念,并給出了許多結合方案的重要結果,但是都沒有明確提出結合方案這一術語。比如,結合方案的概念曾以C-代數(shù)的形式被研究。C-代數(shù)能夠引起關注是源于1942年川田(Y.Kawada) 的一篇論文《關于非交換群特征的對偶定理》(über den Dualit?tssatz der Charaktere nichtcommutative Gruppen)[15],但是這篇論文從發(fā)表到引起關注經(jīng)過了很長一段時間。不過幸運的是最終還是被致力于結合方案和置換群的學者們注意到了。這篇論文的撰寫動機起源于霍海塞爾(G.Hoheisel,1894—1968) 在1939的研究工作[16],當時霍海塞爾在論文《關于特征》(über Charaktere) 中為有限群G建立了一種代數(shù)結構(現(xiàn)在被稱為“交換結合方案”),他計算了所有參數(shù)之間的關系,特別是G的特征標表的正交關系。川田從霍海塞爾的工作中提煉出了形如“交換結合方案”的抽象概念,并稱之為C-代數(shù),即：

假設A是一個在線性空間意義上以x0,x1,…,xd為基的C上的代數(shù),如果滿足以下(i)-(vi)條,則A和x0,x1,…,xd稱為C-代數(shù)(特征代數(shù))：

(vi)映射xi→ki(i=0,1,…,d)是A的一個線性表示。

川田在上述定義的基礎上對C-代數(shù)的參數(shù)關系進行了計算,進而又對C-子代數(shù)和商C-代數(shù)進行了研究。值得注意的是,當霍海塞爾和川田進行他們的研究時,結合方案的概念在組合學的語境中并不存在。川田提出的C-代數(shù)的概念,在代數(shù)上和現(xiàn)在所說的交換結合方案的概念是一樣的。川田建立了C-代數(shù)公理,并發(fā)展了結合方案的所有代數(shù)性質。

在統(tǒng)計學試驗中,當費希爾(R.A.Fisher,1890—1962)最初主張將統(tǒng)計試驗中的單元劃分為相似單元的區(qū)組時,他提出了每個處理應該在每個區(qū)組中的一個單元上進行,這種設計后來被稱為隨機區(qū)組設計或者完全區(qū)組設計。然而這種設計有其一定的局限性,使得自然區(qū)組可能不夠大,以致于不能容納所有處理。比如在農(nóng)業(yè)田間試驗中,當每塊或每行或每列的地塊數(shù)量超過10或12塊時,費希爾著名的隨機區(qū)組和拉丁方設計的效率就會下降。因此,葉特斯(F.Yates,1902—1994) 引入了不完全區(qū)組設計,他憑直覺提出了這樣一種設計：每對處理在相同數(shù)量的區(qū)組中同時進行。葉特斯稱這種設計為對稱的不完全隨機區(qū)組排列,現(xiàn)今統(tǒng)計學家稱之為平衡不完全區(qū)組設計,而數(shù)學家稱之為2-設計。

隨后,1939年統(tǒng)計學家玻色(R.C.Bose,1901—1987) 和內爾(K.R.Nair) 在論文《部分平衡不完全區(qū)組設計》(PartiallyBalancedIncompleteBlockDesigns) 中基于試驗設計背景提出了部分平衡不完全區(qū)組設計這一概念[17],這項工作的意義是在葉特斯工作的基礎上提出了更廣泛的一類設計(即為平衡不完全區(qū)組設計的一種推廣,簡記為PBIBD),由此部分平衡設計的其他特例也開始被廣泛研究并應用。

為了研究部分平衡不完全區(qū)組設計的構造問題,玻色和島本(T.Shimamoto) 發(fā)現(xiàn)兩個結合類的部分平衡設計具有重要的性質。1952年玻色和島本在一篇關于統(tǒng)計(組合) 設計理論的論文《具有兩個結合類的部分平衡不完全區(qū)組設計的分類與分析》(ClassificationandAnalysisofPartiallyBalancedIncompleteBlockDesignsWithTwoAssociateClasses) 中引入了結合方案的思想,此處的結合方案是一個純粹的組合結構[18],用它描述具有多個結合關系的處理之間的某種平衡性。玻色和島本以簡化和緊湊的形式給出了區(qū)組內分析、組合區(qū)組內分析和區(qū)組間分析,這樣做可以將某些試驗設計劃分為少數(shù)幾個不同的類型,對于每一個類型結合方案都可以明確地展示出來,并簡化了數(shù)值計算以及對結果的解釋。該論文的貢獻不僅催生了現(xiàn)今結合方案定義的雛形,還用此概念利用矩陣代數(shù)方法對部分平衡設計的分類進行了研究。文章中是這樣表達的：一個不完全區(qū)組設計稱為是部分平衡的,如果它滿足如下條件：

(i)試驗素材被分為b個區(qū)組,每個區(qū)組有k個單元,對同一區(qū)組的單元進行不同的處理。

(ii)能將v個處理安置在r個區(qū)組里。

(iv)如果兩個處理有第i種關系,則兩個處理同時在λi個區(qū)組中。

1959年在對結合方案的研究過程中,玻色和梅斯納(D.M .Mesner)在論文《與部分平衡設計的結合方案對應的線性結合代數(shù)》(OnLinearAssociativeAlgebrasCorrespondingtoAssociationSchemesofPartiallyBalancedDesigns)中提出了對于給定一個m類和給定參數(shù)的結合方案[19],如果可以將v個對象排列成b個集合(每個集合對應一個區(qū)組),那么就得到了一個部分平衡設計,并且給出了一種驗證給定結合關系是否滿足部分平衡條件的有效代數(shù)方法——現(xiàn)在被稱為Bose-Menser代數(shù)的著名理論,此時論文中的結合方案的定義更加趨向了代數(shù)組合化的表述方式：

(a)任意兩個對象滿足唯一的第i種關系(i=1,2,……,m),如果對象α與對象β滿足第i種關系,那么對象β與對象α滿足第i種關系。

(b)任意一個對象α,則對每一個i,與α滿足第i種關系的處理共有ni個,ni與α無關。

自此“結合方案”隨即成為了代數(shù)組合領域的研究熱點之一?，F(xiàn)在普遍使用的結合方案的定義是1973年德爾薩特(P.Delsarte)在他的博士論文[20]《編碼理論中結合方案的代數(shù)方法》(AnAlgebraicApproachtotheAssociationSchemesofCodingTheory)中給出的,從結構數(shù)學的視角來看,該定義比之前玻色和島本給出的定義更具一般性,因為定義中既包含了由玻色和梅斯納定義的結合方案中代數(shù)理論的元素,又融合了希格曼引入的協(xié)調構形的概念,可以說既簡潔又不失一般性,具體表述如下：

若一個非空有限集合X滿足|X|≥2,R0,R1,…,Rn是X×X的非空子集且滿足下列條件：

(i)R0={(x,x)|x∈X}。

(ii)X×X=R0∪R1∪…∪Rn,?i≠j,Ri∩Rj=?。

(iii)令tRi={(x,y)|(y,x)∈Ri},對于每個i∈{0,1,…,n},存在i′∈{0,1,…,n}使得tRi=Ri′。

事實上,在上述定義中,R就是X×X=R0∪R1∪…∪Rn的分拆,其中?i≠j,Ri∩Rj=?。

將川田在1942年提出的C-代數(shù)定義與德爾薩特在1973年提出的結合方案定義進行對比分析(如表1所示),可以看出二者在結構上本質是一樣的。

表1 川田的C-代數(shù)定義和德爾薩特的結合方案定義對照分析

結合方案作為代數(shù)組合中的一個重要研究對象,其研究內容涉及構造、參數(shù)計算、結構(子結構,商結構,對偶性、本原性以及自同構等)和分類等問題,這在本質上遵從了群論的研究路線以及結構數(shù)學的研究思想。坂內英一曾在論文《作為純粹數(shù)學的組合理論：代數(shù)組合的目標》(CombinatoricsRegardedasPureMathematics：theAimsofAlgebraicCombinatorics)[9]中明確表達了他個人對于代數(shù)組合研究的主張和信仰,他認為從長遠發(fā)展考慮應該以純粹數(shù)學的觀點為其他領域提供數(shù)學支撐。([9],2頁)坂內英一對代數(shù)組合學科最大的祈愿是從代數(shù)組合的角度重塑對有限單群的分類解釋和拓展。當然這不是一件簡單的事情,需要建立“代數(shù)思維”與“代數(shù)組合中思維實踐”之間的關系,也許這正是20世紀所彰顯出來的一種特色趨勢——“代數(shù)無處不在”。

2 代數(shù)組合中的群論思想與方法

自代數(shù)組合開始被系統(tǒng)研究以來,許多群論的概念和性質被發(fā)現(xiàn)可以推廣到結合方案上來,例如：子群、正規(guī)化子、有限群的冪零性、西羅定理等。不僅是群中的概念和性質,類似有限群的表示理論,結合方案的表示理論也是研究其數(shù)學結構的有力工具之一。這些信息都揭示出一個強烈的信號,一個看似沒有群結構的學科(代數(shù)組合) 內蘊著強大的群論思想和“沒有群的群論結構”。下面將從代數(shù)組合的刻畫問題、分類問題、結構問題、實現(xiàn)問題這四個方面入手,從中選取代表性問題進行剖析。

2.1 群論視角下對結合方案的刻畫

對于統(tǒng)計學家而言,設計只是一個試驗方案,而對于組合學家或者代數(shù)學家來說,設計就是一種關聯(lián)結構——結合方案(群的一種自然推廣)。數(shù)學家更傾向將結合方案理解為純粹的數(shù)學對象。從群論的角度來說,結合方案雖源于純組合對象,卻與群有某種天然的聯(lián)系,以群論的觀點可以視為對可遷置換群性質的公理化結果。

基于群論,結合方案的構造可以從一個群作用一個集合入手。[21]將一個有限群G可遷地作用在有限集合X上且|X|=n>1,即要求對于(x,y)∈X×X,σ∈G,滿足(x,y)σ=(xσ,yσ)。G作用在X×X上不再是可遷的,那么由X和R0,R1,…,Rd構成了一個結合方案(不一定滿足交換),其中R0={(x,x)|x∈X},R1,…,Rd是X×X上G的d+1個軌道(這里d+1等于任一元素x∈X的穩(wěn)定子Gx作用在X上的軌道數(shù),價為|Ri(x)|)。從上述結合方案的構造過程可以看出G作用在X×X上產(chǎn)生的軌道構成了結合方案,每個軌道即為結合類或結合關系,研究這些關系以及這些關系之間所具有的性質,并把這些性質一般化,進而推廣到一般的組合結構中,這就是結合方案的概念公理化。

事實上,利用有限群構造結合方案的方式是不唯一的,即結合類(結合關系) 的構造方式很多。比如同樣是有限群X,可以利用它的右平移群T(X)和內自同構群G0來生成一個新的群G=,而這樣的群G可以可遷地作用在X上,從而可以構成一個交換的結合方案(X,{Ri}0≤i≤d),其中d+1為X的G0軌道數(shù)(此時G0軌道恰為群X的結合類,因此d+1亦為X的結合類個數(shù),對于任意的a∈X均有aXia-1=Xi)。如果X本身就是一個交換群,那么所得到的結合方案是交換的。

2.2 有限單群與本原結合方案

代數(shù)組合的起源可以追溯到數(shù)學領域的不同分支,其中一個重要起源可以追溯到群論中舒爾在1933年關于舒爾環(huán)(Schur環(huán)) 的工作。最初Schur環(huán)是用來研究具有正規(guī)子群的本原置換群,其中大部分的結論后來被發(fā)現(xiàn)也適用于具有正規(guī)群作用的本原結合方案(primitive association scheme)。本原結合方案對代數(shù)組合的研究具有什么樣的意義呢?類比有限單群解析本原結合方案更能貼切地展示出它在代數(shù)組合中的研究價值和核心地位。

有限群論的研究可以分為兩部分：一是找出所有的有限單群,研究它們的結構;二是研究這些單群如何合成原群。如果能找到所有的有限單群,群論中的很多問題就迎刃而解了。于是,有限群論最核心的問題就是有限單群的分類。

類比利用群結構理論研究群論分類問題的方式,代數(shù)組合在沒有群結構的背景下,將困難重重。但是1984年坂內英一與伊藤達郎出版的第一部代數(shù)組合專著[7]給這一問題帶來了曙光。他們基于Delsarte理論,提出了P-與Q-多項式結合方案的分類問題,此后該問題被普遍認為是代數(shù)組合領域的主要研究目標之一,這項工作也被國際數(shù)學界認為是坂內英一在代數(shù)組合研究領域做出的突出貢獻之一,他曾這樣寫道：“P-與Q-多項式結合方案看起來就像李群中的半單李群和有限群論中的有限單群一樣吸引著我們?！?[7],186頁)

在20世紀80年代早期,坂內英一心中縈繞著一個想法：能否利用“有限單群的分類”給出群本原交換結合方案的完整列表。他相信：在代數(shù)組合的背景下,本原交換結合方案的分類應該作為重要的研究目標。這就好比我們熟知的元素周期表,元素是組成自然界物質的基本單位,因此確定出所有的元素具有重要意義。由于群可以通過單群合成,故單群類似于元素。在結合方案中,本原結合方案好比群論中的單群,但其數(shù)量龐大,以至于對它們的完整分類是非常困難的。一個群結合方案的本原性與該群的單性等價,因此研究本原結合方案是很重要的。就像任何有限群都是由一系列單群得到的一樣,任何(交換的) 結合方案都是由一系列本原結合方案得到的。

正如坂內英一堅信的那樣,類似單群在群論中的角色,在代數(shù)組合的研究過程中鎖定了將本原結合方案看作構成結合方案的基本對象(利用任何有限單群構造一個本原交換結合方案),代數(shù)組合領域的學者們希望能對本原結合方案的結構進行代數(shù)分類和組合分類,這樣可能有一天沿著代數(shù)組合的途徑可以給出一種有限單群分類的替代方法。

2.3 群論與結合方案上的西羅定理

在眾多有限群的構造方法中,通過元素或者子群的性質來刻畫有限群的結構,一直是群論學家熱衷討論的一個活躍話題,且已經(jīng)形成了一些經(jīng)典的方法和結果。比如群論學家經(jīng)常會借助子群來研究群的重要結構特性,包括如何通過較小的群來構造較大的群,如何剖析較大的群從而揭露蘊含在其中較小的群,這些問題都是通過“子群”來逐一進行回答的。

基于群論的思想和方法,類比到代數(shù)組合中就會發(fā)現(xiàn)：結合方案中的閉子集保留了類似群論中子群的一些經(jīng)典的性質,因此尋找或分類已知結合方案的子方案一直是代數(shù)組合領域學者們深入分析的問題(5)“尋找或分類已知結合方案的子方案”與尋找一個“較小的結合方案”來決定給定結合方案的特征標表有關,較小的結合方案是指“頂點數(shù)少”或“類數(shù)少”,但是研究小的結合方案是一件非常困難的事情,比如完全列出頂點數(shù)不超過50的結合方案是很困難的。,進而研究是否存在結合方案(裂變方案)使得它包含已給定的子方案也是代數(shù)組合領域中的一個重要研究方向。

20世紀90年代,齊尚(P.-H.Zieschang)建立了結合方案的公理化理論,并在此基礎上開始了對結合方案結構理論的系統(tǒng)研究,并將研究成果撰寫成兩本專著[22-24],引起了許多學者對結合方案結構理論研究的強烈反響。在研究過程中發(fā)現(xiàn),利用有限群的結構思想,會在結合方案中收獲很多的驚喜,比如將有限群中的西羅定理成功地推廣到結合方案上[24],這項研究的意義在于給出了在群論之外,西羅定理的一種推廣證明。

群論中西羅定理在特殊情形下回答了拉格朗日逆定理的問題(即如果n是|G|的一個因子,那么G一定有n階子群嗎?),這個結論并不成立。西羅(P.L.M.Sylow,1832—1918)首先將p階子群的概念推廣,引入了p-子群,特別是西羅p-子群的概念。所謂p-子群就是指階數(shù)為素數(shù)冪的子群,而西羅p-子群則是指群G的最高次素數(shù)冪階的子群,比如對于120=23×3×5階群S5來說,西羅p-子群的階數(shù)為8,3和5。西羅定理描述了找到哪些階的子群一定存在,從而揭示出群G與其西羅p-子群的關系。

在群論中,西羅的三個定理間的主線是：它們都是由群的階來決定群的結構。三個定理分別回答了西羅p-子群的存在性問題、關系問題以及數(shù)量性問題。

西羅第一定理：設G是pnm階群,其中n≥1,p為素數(shù),并且(p,m)=1,則對每個1≤i≤n,G均包含pi階子群,并且G的每個pi階子群均是某個pi+1階子群的正規(guī)子群。

西羅第二定理：如果H是有限群G的p-子群,而P為群G的任一西羅p-子群,則存在x∈G,使得H

西羅第三定理：如果G是有限群,而p是素數(shù),則G的西羅p-子群的個數(shù)是|G|的因子,并且具有形式kp+1(對于某個k≥0)。

由于結合方案中沒有群的概念,若想將有限群上的西羅定理推廣到結合方案上,首要工作是需要巧妙地利用集合的關系語言(下述xg的定義)代替群中元素的二元關系運算,從而建立類似群中元素的階以及群的階等相關概念,如結合方案中價的定義、p-價子集的定義等等,具體構建形式如下：

若X是有限集,G是X×X的劃分,且??G和1X={(x,x)|x∈X}∈G,(X,G)表示一個結合方案(簡稱方案)。若p是一個素數(shù),G中的元素g稱為p-價的,如果ng可以表示成p的方冪,其中ng=|xg|,?x∈X,g∈G,xg={y∈X|(x,y)∈g};G的一個子集稱為p-價的,如果它的每個元素都是p-價的;G的一個p-價子集F稱為p-子集,如果nF可以表示成p的方冪。G的一個非空子集F是閉的,如果滿足對于?d,e∈F總有de?F。

在如上結合方案“價”(類似群中“階”的定義)的定義框架下,第二個重要的工作在于要將有限群中西羅p-子群的定義推廣到結合方案中封閉的西羅p-子集Sylp(G)上,這里Sylp(G)表示滿足特定條件的由G的全體西羅p-子集構成的集合,即G的所有封閉p-子集H的集合。為了推廣群中西羅第三定理,這里需要特別要求p滿足不整除nG//H,其中G//H={gH|g∈G},gH={(yH,zH)|z∈yg},yH={t∈X|(y,t)∈H},yg={z∈X|(y,z)∈g}。

在綜合上述兩項重要工作的基礎上,2002年坂內英一的學生平坂貢(M.Hirasaka)與齊尚等人在論文《有限群中西羅定理到結合方案上的推廣》(AGeneralizationofSylow’sTheoremsonFiniteGroupstoAssociationSchemes)[24]中將有限群上西羅定理推廣到結合方案上：

設X是有限集,G是X×X的劃分,且??G和1X={(x,x)|x∈X}∈G,(X,G)是有限結合方案,p是素數(shù),P為G的一個封閉p-子集。如果G是p-價的,則有下列結論：

(1)若P?Sylp(G),則存在G的一個封閉p-子集P′使得P?P′?NG(P)且pnP=nP′,其中NG(P)={g∈G|gPg*?P}。

(3)若P∈Sylp(G),令N=NG(P),則nG//N≡1(p)且nG//N≡|{gPg*|g∈G}∩Sylp(G)|(p)。

結合方案中的西羅定理與群論中的西羅定理有何聯(lián)系呢?結合方案中西羅第一定理借鑒了群論中的柯西定理和正規(guī)化子,探討了結合方案中封閉p-子集的存在性問題。結合方案中西羅第二定理討論了結合方案中滿足特定關系的封閉p-子集之間的關系,得到了類似群中的共軛關系P′=gPg*,與群論中西羅p-子群之間的共軛關系H=xPx-1異曲同工。結合方案中西羅第三定理借助了整除性質,探討了西羅p-子集的個數(shù)問題(結合方案中沒有軌道的定義)。

總之,將西羅定理從有限群推廣到結合方案上,表明了結合方案可以融合某種抽象的結構理論,這些結構理論以群理論為模型展開。類似西羅定理在群論中的地位與作用,在這種推廣意義下的西羅定理必然會對結合方案的結構理論研究和分類研究提供有力的工具和思想的引領。

2.4 群與結合方案的特征標理論

在數(shù)學結構方面,結合方案比有限群具有更一般的結構,這種結構不是任意的一般,而是具有類群的結合性和逆元性的結構。這使得在結合方案的研究過程中,有限群理論經(jīng)常會隱式地出現(xiàn)。在群論中,時常能挖掘到與結合方案理論對應的相似的群理論,最典型的就是由弗羅貝尼烏斯、舒爾和伯恩賽德等人建立的有限群特征標理論。特征標理論具有怎樣的研究價值呢?在群論的研究中,往往需要針對結構特征進行計算,這對刻畫群是至關重要的。群的特征標表可以透視出眾多群結構及群性質方面的信息,堪稱群表示論最有力的工具之一,例如通過特征標表可以查出一個群的所有正規(guī)子群。

在代數(shù)組合的結構研究中,眾多數(shù)學家借鑒了有限群研究中利用特征標理論研究群結構的思想和方法,利用結合方案的特征標表對結合方案的結構進行了計算研究。20世紀80年代早期,坂內英一認為對已知結合方案的參數(shù)以及特征標表的計算是可行的,于是他開始研究群本原交換結合方案的主要來源,收集已知的群本原交換結合方案以及計算它們的特征標表,因為研究特征標表的構造是系統(tǒng)研究這些結合方案及其分類的至關重要的第一步。隨著大量成對結合方案的例子被發(fā)現(xiàn),其中“較大”結合方案的特征標表在某種程度上可以被“較小”結合方案的特征標表所決定。由于代數(shù)組合的特征標理論是有限群特征標理論的自然概括,所以有限群的一些性質可以在結合方案的框架中進行解釋。

此外,在代數(shù)組合中還有一些令人驚喜的發(fā)現(xiàn),比如許多例子表明結合方案的特征矩陣P和Q的值都在分圓域中,但是這是否總是正確的(對有限群成立)?這個問題一直困擾著代數(shù)組合的研究者們。1980年5月,諾頓(S.P.Norton)在Oberwolfach會議上提出了這個問題。這個問題的非凡意義在于,其肯定的答案將意味著結合方案的理論可以非常類似于群論。因此,很多學者將“能否對特征標表進行分類”視為邁向“結合方案分類”的關鍵第一步,然而這個問題的前期未決之謎在于“一個交換結合方案的特征標表是否被包含在一個分圓域中?”盡管這項研究工作還在進展中,但是從研究的發(fā)展過程中發(fā)現(xiàn),當代數(shù)組合的研究者們遇到一些關鍵問題或者處于迷茫的時候,會試圖在群論中找到開啟思想大門的鑰匙。事實證明這樣的做法已經(jīng)取得了一些豐碩的成果。當然,新學科的興起也勢必激起對群論新視角的探究思考。

2.5 結合方案的對偶性

關于對偶性,川田在早期也證明了交換C-代數(shù)的一個對偶性,它是由非緊拓撲群理論中著名的Tannaka對偶性所引發(fā)的。川田證明的這種對偶性本質上就是交換結合方案的對偶性,并在論文[16]中完成了大量的計算,只可惜這篇論文當時并沒有引起太多的關注。事實上,結合方案的代數(shù)對偶結構可以看作是舒爾環(huán)在置換群背景中的拓展[25],即有限群的不可約特征標與共軛類之間的對偶性。類似地,一般(交換)結合方案也有對偶性。在代數(shù)組合的研究中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的情形,即用結合方案比用群論的語言描述更自然。正如1973年德爾薩特在他的博士論文中通過研究結合方案的對稱性質,從代數(shù)角度在結合方案框架下定義了e-碼和t-設計,其中e-碼定義在P-多項式結合方案上,而t-設計定義在Q-多項式結合方案上,把Q-多項式結合方案定義為P-多項式結合方案的對偶。[20]而后德爾薩特以P-多項式結合方案和Q-多項式結合方案作為底空間,建立了編碼理論和設計理論之間的對偶。憑借這種對偶性,德爾薩特將編碼理論和設計理論在結合方案的框架下進行了統(tǒng)一研究,這項工作成為了代數(shù)組合發(fā)展史中最精彩的篇章之一。分析德爾薩特理論的成功之處,其中一個重要的原因就是他僅僅用代數(shù)的方式定義了二元概念,即在群論背景下,把群視為一個帶有二元運算的集合,這是一種很好的研究方法。對于某些群,可以通過構造一些設計,使得這些設計上的自同構群恰好是滿足某種研究目的的群,這比僅僅從群論角度考慮群的結構簡單許多,也更為具體。從設計的角度對群論產(chǎn)生影響,這樣的研究方式,早在馬蒂厄群(Mathieu群) 上曾有過突出的表現(xiàn)。1861年馬蒂厄(é.Mathieu,1835—1890) 構造了幾個多重可遷群,特別地定義了5-可遷置換群M12和M24[26-28],并給出了它們的生成元集合。1938年維特(E.Witt,1911—1991) 構造了一個5-(12,6,1) 設計和一個5-(24,8,1) 設計,并證明它們的自同構群分別是M12和M24,于是設計的結構賦予了馬蒂厄群一個很好的具體解釋。在此基礎之上,結合德爾薩特創(chuàng)立的編碼和設計間的對偶理論,特別是組合t-設計(Johnson結合方案J(v,k)上的t-設計) 的自同構群將有助于發(fā)現(xiàn)更多的設計結構,從而助力群論思想及方法在代數(shù)組合領域的滲透和應用。

3 結 語

代數(shù)組合作為一門具有代數(shù)化思想的交叉學科,表面上看似沒有群的定義、性質和結構,但是其學科體系中內蘊著強大的群論思想和結構,其中的奧妙之處值得精研深思。在羅塔、斯坦利、維蘭德、川田、希格曼、坂內英一、德爾薩特等眾多學者的共同努力下,促進了代數(shù)學與組合學的交叉融合,使得在代數(shù)組合四大經(jīng)典問題(刻畫問題、分類問題、結構問題、實現(xiàn)問題) 的研究中繼承了群論的思想和方法,推廣了群論的性質。在代數(shù)組合學科體系中,結合方案具有類群的結合性和逆元性的數(shù)學結構,因此基于結合方案的視角對代數(shù)組合中群論思想和方法進行剖析,尋本究源找到與結合方案理論對應的相似群理論,梳理出代數(shù)組合與群論的共同邏輯基礎、共同概念基礎和共同方法基礎,進而為代數(shù)組合的發(fā)展提供價值觀并指引方向。

(1)結合方案是有限集合X以及X上滿足一定公理的關系集合{Ri}0≤i≤d。借助群論的思想和方法,將任意的可遷群或置換群G作用在X×X上產(chǎn)生的軌道記為結合類集合或結合關系集合,研究這些關系以及這些關系之間所具有的性質,并把這些性質一般化,進而推廣到一般的組合結構中,這就是群論視角下結合方案概念的內涵。

(2)“一個交換結合方案的特征標表是否被包含在一個分圓域中”可以作為衡量“模仿有限群理論研究結合方案”這個策略的有效性的試金石。

(3)在結合方案中,本原結合方案好比群論中的單群,任何(交換的) 結合方案都是由一系列本原結合方案得到的。深入挖掘群本原交換結合方案以及計算它們的特征標表,是系統(tǒng)研究這些結合方案及其分類的至關重要的第一步。

(4)將有限群中的西羅定理推廣到結合方案上,將為結合方案的結構和分類研究提供有力的工具。

(5)類似有限群的不可約特征標與共軛類之間的對偶性,代數(shù)組合中最為精彩的篇章之一是德爾薩特建立了編碼理論和設計理論之間的對偶,憑借這種對偶性,將編碼理論和設計理論在結合方案的框架下進行了統(tǒng)一研究,為現(xiàn)代編碼理論和設計理論的研究開辟了一片新天地。

事實上,在代數(shù)組合中還有很多的“群論”思想和方法未曾一一列出,但是單從上述典型問題的剖析便可以體會到群論精髓滲透的威力?？傊?代數(shù)化是20世紀數(shù)學發(fā)展的一個重要特征。隨著群論被多向性地滲透與應用,其自身也在不斷地從其他領域吸取新思想、新方法。因此,“交叉、融合、統(tǒng)一”的傾向成為了群論在20世紀發(fā)展過程中的重要特征。從數(shù)學史的角度梳理分析交叉學科的發(fā)展歷程,是時代賦予數(shù)學史研究工作的新的使命,且具有極為重要的研究意義。正是由于群論與組合學家們在長期研究工作中的思維碰撞,使得很多經(jīng)典的群論思想和方法得以認同、秉持、繼承、豐富、發(fā)展以及傳播,使得代數(shù)組合在群論輻射下的發(fā)展歷程可為學科間交叉應用提供寶貴的歷史經(jīng)驗。