李燕

一、素養(yǎng)目標(biāo)

通過觀察、實(shí)驗(yàn)探究、動(dòng)手操作、以及推理論證等數(shù)學(xué)活動(dòng)，對三角形邊與角之間的不等關(guān)系進(jìn)行探索分析，發(fā)展學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看問題，數(shù)學(xué)的思維思考問題，數(shù)學(xué)的語言描述并解決問題；通過課前自我準(zhǔn)備、課上小組交流、個(gè)人展示等數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是充滿著探索與創(chuàng)新的，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣，獲得解決問題的成功體驗(yàn); 通過視覺直觀感受和數(shù)據(jù)收集整理比較大小讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出猜想，再通過動(dòng)手折紙中的折痕添加輔助線，抽象出截長補(bǔ)短等方法來構(gòu)造全等三角形的經(jīng)驗(yàn)，利用三角形邊角相等的轉(zhuǎn)化解決邊角之間的不等問題，發(fā)展嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理性思維。

二、實(shí)驗(yàn)資源

希沃白板5、有刻度直尺與量角器、圓規(guī)、統(tǒng)一的不等邊三角形ABC剪紙（AB>AC）、幾何畫板。

三、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與創(chuàng)新點(diǎn)

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：通過四種方法逐步得到猜想與證明。

（一）目測（產(chǎn)生想法）；（二）通過每位同學(xué)任意畫不等邊三角形測量邊角得到隨機(jī)數(shù)據(jù)，隨機(jī)抽取兩組數(shù)據(jù)比較不等邊與其對角的大小，直觀感受三角形邊角之間的不等關(guān)系得出猜想；（三）準(zhǔn)備不等邊三角形ABC（AB>AC）剪紙四張，通過折紙方法驗(yàn)證猜想，并利用幾何畫板演示翻折過程，學(xué)生更直觀形象感受方法與思想，幫助學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)方法（通過折痕添加輔助線）；（四）學(xué)生獨(dú)立添加輔助線轉(zhuǎn)化角，利用三角形邊角相等的轉(zhuǎn)化解決邊角之間的不等問題，發(fā)展嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理思維，方法多樣，萬法歸一，得出結(jié)論與幾何模型。

創(chuàng)新點(diǎn)：通過目測——測量——折紙——證明四個(gè)角度與層次得出并證明猜想 ，多角度思考問題，從具體到抽象，歸納出結(jié)論和截長補(bǔ)短等模型。

四、教學(xué)過程

（一）回顧舊知，引入課題

1.回顧舊知：教師通過折紙剪出等腰三角形，帶領(lǐng)學(xué)生回顧等邊對等角（等角對等邊）的性質(zhì)與判定。

2.引入課題：在剪出三角形ABC中，AB=AC，∠B=∠C。

問：在剪紙三角形ABC中，目測一下AB與BC相等嗎？

答：不相等。一個(gè)不等邊三角形中，會(huì)存在不相等的邊，那不相等的邊所對的角之間的大小關(guān)系呢？就是本節(jié)課研究的內(nèi)容.

設(shè)計(jì)意圖：回顧舊知，通過折疊直觀復(fù)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)與判定，為探究做好知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)鋪墊；通過剪出圖形教師追問引出本節(jié)課的重點(diǎn)問題，吸引學(xué)生注意，調(diào)動(dòng)學(xué)生的好奇心。

（二）探究新知

問1：在剛剪的等腰三角形ABC中，AB與BC目測一下哪條邊更長？AB所對的角是哪個(gè)？BC所對的角是哪個(gè)？它們相等嗎？哪個(gè)角更大？

答：AB；∠C；∠A；不相等；∠C。

問2：從目測來看三角形中，不相等的邊越長所對的角越怎么樣？

答：越大。學(xué)生準(zhǔn)備：請同學(xué)們?nèi)我猱嬕粋€(gè)不等邊三角形ABC，測量所畫三角形三條邊的長度和各邊所對角的度數(shù)，并記錄在表格中。

學(xué)生活動(dòng)1：比較這兩條邊的大小，再比較它們所對角的大小，請猜想三角形中不相等的邊所對角之間的大小關(guān)系是怎樣的？

猜想：在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不等，那么他們所對的角也不等，大邊所對的角較大.

簡寫：大邊對大角。

設(shè)計(jì)意圖：通過目測比較大小引出思考，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，但是數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，為了進(jìn)一步求證想法，讓學(xué)生通過動(dòng)手畫不等邊三角形，既排開特殊圖形，又具有隨機(jī)性，使得初步探究更具有說服力；通過測量，隨機(jī)抽取，比較數(shù)據(jù)大小，直觀感受，進(jìn)一步得出猜想。

（三）折紙與證明

學(xué)生活動(dòng)2：用準(zhǔn)備好的四張三角形ABC（AB>AC）剪紙，通過折紙方法比較∠B與∠C大小，小組交流分享。

1.小組分享，教師觀察；2.學(xué)生上臺(tái)展示講解方法，教師在多個(gè)折法中挑一種重點(diǎn)分析講解，融入數(shù)學(xué)思想與證明思路提醒；3.教師通過幾何畫板直觀形象展示、補(bǔ)充不足、進(jìn)行匯總對比引導(dǎo)。

活動(dòng)3：根據(jù)活動(dòng)2折痕添加輔助線，類比“等邊對等角”的探索流程，梳理小組匯總方法，證明活動(dòng)1的猜想（如下）。

已知：在△ABC中，AB＞AC，邊AB的對角為∠C，邊AC的對角為∠B.

求證：∠C＞∠B.

方法1：

證明：作∠BAC的角平分線AD，交BC于點(diǎn)D，在AB上取一點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE。

∵AD為∠BAC的角平分線

∴∠BAD=∠CAD

在△AED和△ACD中

∴△AED≌△ACD（SAS）

∴∠AED=∠C

又∵∠AED=∠B+∠BDE

∴∠AED＞∠B

∴∠C＞∠B

方法２：

證明：在AB上取一點(diǎn)E，使得AE=AC，連接CE．

∵AE=CE

∴∠AEC=∠ACE

又∵∠AEC=∠B+∠BCE

∠ACB＞∠ACE

∴∠AEC＞∠B

∴∠ACB＞∠B

方法3：作∠BAC的角平分線AD，交BC于點(diǎn)D，在延長AC至點(diǎn)E，使得AE=AB，連接DE．

∵AD為∠BAC的角平分線

∴∠BAD=∠CAD

在△AED和△ABD中

[AE=AB∠AED=∠BAD=AD（共邊）]

∴△AED≌△ABD（SAS）

∴∠E=∠B

又∵∠ACD=∠E+∠CED

∴∠ACD＞∠E

∴∠ACD＞∠B

結(jié)論：在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不等，那么他們所對的角也不等，大邊所對的角較大（簡寫：大邊對大角）。

（四）課堂小結(jié)

1.三角形邊與角的不等關(guān)系：大邊對大角；2.探究新知思路：觀察—猜想—證明—結(jié)論；3.探究證明思路過程中用了轉(zhuǎn)化思想（未知轉(zhuǎn)化為已知），截長補(bǔ)短常思想；4.證明方法很多，但有很多共性—數(shù)學(xué)模型。

（五）課堂檢測

1.在△ABC中，已知BC>AB>AC，那么∠A，∠B，∠C有怎樣的大小關(guān)系？

答：∠A＞∠C＞∠B

2.如果一個(gè)三角形中最大的邊所對的角是銳角，這個(gè)三角形一定是銳角三角形嗎？為什么？

答：是；因?yàn)槿切沃凶畲蟮倪吽鶎Φ慕鞘卿J角，由“大邊對大角”可知這個(gè)三角形最大的角為銳角，所以這個(gè)三角形一定是銳角三角形。

（六）教學(xué)反思

在實(shí)驗(yàn)過程中，教師由折紙剪出等腰三角形，巧妙復(fù)習(xí)了等腰三角形邊角關(guān)系以及證明邊角關(guān)系的啟迪思想——軸對稱性質(zhì)；通過追問引導(dǎo)學(xué)生看出不等邊與對角的大小關(guān)系，引出思考。又從學(xué)生任意畫不等邊三角形入手，避開特殊性，通過測量法與比較大小得出不等邊三角形邊角不等關(guān)系猜想（特殊到一般需要嚴(yán)謹(jǐn)證明），再給出一個(gè)滿足猜想的三角形ABC（AB＞AC），要求學(xué)生通過折紙比較兩角大小，明確目標(biāo)與方式。在具體實(shí)施過程中，教師不急于直接告訴學(xué)生輔助線的做法，而是通過課前設(shè)置“學(xué)習(xí)提示”給學(xué)生明確的實(shí)驗(yàn)操作要求，引導(dǎo)學(xué)生在直觀地操作體驗(yàn)中找到解決問題的方法，充分暴露學(xué)生探尋知識(shí)的思維過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，課上小組交流匯總，上臺(tái)展示，思維碰撞。學(xué)生由折疊的多樣性引發(fā)“一題多解”，多角度分析和解決問題，將具體性圖形抽象化，而萬法歸一提升學(xué)生對數(shù)學(xué)原理、通性通法的認(rèn)識(shí)，提高思維的品質(zhì)，感受數(shù)學(xué)方法之美和幾何圖形的對稱美。

美中不足的地方：1.由于大部分學(xué)生基礎(chǔ)偏弱，折紙討論過程中總結(jié)出來的方法比較少，學(xué)生沿高所在直線翻折的情況沒有找到，教師在用幾何畫板幫助學(xué)生更直觀感受折紙這個(gè)過程中忽略了學(xué)生不會(huì)折這個(gè)的問題，雖然給學(xué)會(huì)看了這個(gè)動(dòng)態(tài)圖，但如果在帶著學(xué)生一起動(dòng)手折一折可能效果更好。2.幾何畫板展示完后，教師忘記匯總，只是簡單講解后就提醒學(xué)生將“由折疊知”可以轉(zhuǎn)化為添加輔助線證明。學(xué)生添加輔助線的方法猜想證明更嚴(yán)謹(jǐn)，這是挺好的，學(xué)生總體都是截長的輔助線做法和疊合法，教師只做了口頭匯總對比，“補(bǔ)短”有所提醒，但由于課上時(shí)間有限就給學(xué)生留在了課下進(jìn)行。如果可以再次將動(dòng)態(tài)匯總圖放一起做總結(jié)，截長補(bǔ)短模型就更深入了。

（七）實(shí)驗(yàn)作業(yè)

在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不等， 那么他們所對的邊也不等，大角所對的邊較大. 這個(gè)命題是真命題嗎？

要求：1.寫出命題的已知、求證并配圖；2.類比大邊對大角的研究流程，在作業(yè)本上完成此命題的證明。