張子達(dá), 楊維芳, 姬曉曉, 李文輝

(1.蘭州交通大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院，甘肅蘭州730070；2.地理國情監(jiān)測技術(shù)應(yīng)用國家地方聯(lián)合工程研究中心，甘肅蘭州730070；3.甘肅省地理國情監(jiān)測工程實驗室，甘肅蘭州730070；4.甘肅省測繪產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)督檢驗站，甘肅蘭州730070)

1 引 言

全站儀不僅是地理空間數(shù)據(jù)采集、變形監(jiān)測和建筑物放樣工作不可或缺的精密儀器,還在諸如自行火炮身管指向測量、大型立式儲罐容量標(biāo)定等領(lǐng)域用于高精度測量工作。為了保證測量精度和測量結(jié)果的可靠性,必須對全站儀進(jìn)行定期檢定。其中加常數(shù)和乘常數(shù)測量是全站儀測距檢定中的重要檢定項目,其檢定采用野外基線法,依據(jù)JJG 703-2003《光電測距儀檢定規(guī)程》[1]在野外足夠長的基線上,按照基線分段原理選取多個固定點,形成21段組合距離,并用較高精度的測距方法(維塞拉干涉儀或因瓦基線尺測距等)測量固定點之間的距離值作為標(biāo)準(zhǔn)值,然后使用待檢儀器測量21段距離,將觀測值與基線標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行比較,依據(jù)最小二乘原理進(jìn)行平差計算得到加常數(shù)、乘常數(shù)。

目前測繪儀器檢定實驗室的檢定流程并未提供加常數(shù)和乘常數(shù)測量的不確定度評價[2,3]。而測量不確定度是表征測量結(jié)果質(zhì)量的量化參數(shù),脫離不確定度將測量結(jié)果與規(guī)程/標(biāo)準(zhǔn)中的參考量比較,進(jìn)行儀器檢定項目是否合格的判定是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。中國合格評定國家認(rèn)可委員會發(fā)布的規(guī)范CNAS-CL07:2011《測量不確定度的要求》中明確指出[4]“檢測實驗室應(yīng)有能力對每一項有數(shù)值要求的測量結(jié)果進(jìn)行測量不確定度評估,當(dāng)不確定度與檢測成果的有效性或應(yīng)用有關(guān)、或在用戶有要求時、或當(dāng)不確定度影響到對規(guī)范限度的符合性時,必須提供測量結(jié)果的不確定度。”ISO/IEC 17025《檢測和校準(zhǔn)實驗室能力通用要求》中也要求[5]“開展檢測的實驗室應(yīng)評定測量不確定度”以及“當(dāng)測量不確定度與檢測結(jié)果的有效性相關(guān)時”,實驗室應(yīng)明確判定規(guī)則,并在報告中出具相應(yīng)的測量不確定度。因此測繪儀器檢定實驗室進(jìn)行檢定工作時必須考慮測量不確定度。

本文以TS06power-2″型號全站儀的加常數(shù)和乘常數(shù)測量為例,采用GUM法與MCM法2種方法評定加常數(shù)、乘常數(shù)測量結(jié)果的不確定度[6～9],并對評定方法及其結(jié)果進(jìn)行比較與分析。

2 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)加常數(shù)與乘常數(shù)測量方法可得出計算公式:

Di=Li+K+Di·R

(1)

式中:Di為各段基線的標(biāo)準(zhǔn)值;Li為待檢儀器測量基線經(jīng)過氣象、傾斜改正后的觀測值;K為待檢儀器的加常數(shù);R為待檢儀器的乘常數(shù);i為觀測次數(shù)(i=1,2,…,n)。

進(jìn)而:

βi=K+Di·R

(2)

式中:βi為基線標(biāo)準(zhǔn)值與觀測值的差值,即

βi=Di-Li

(3)

共有21段基線標(biāo)準(zhǔn)值與觀測值,即共進(jìn)行了21次測量,可得出21個觀測方程。按照最小二乘原理進(jìn)行平差計算可得出加常數(shù)K和乘常數(shù)R的計算公式[1]:

(4)

(5)

根據(jù)《光電測距儀檢定規(guī)程》測距單次測量標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算公式與加常數(shù)和乘常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差公式為[1]:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中:m0為測距單次測量標(biāo)準(zhǔn)差;mK為加常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差;mR為乘常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差;vi為觀測值的殘差;Q11為加常數(shù)的靈敏度系數(shù);Q22為乘常數(shù)的靈敏度系數(shù)。

由式(3)可表示1次獨立觀測的差值,則m0可表示差值βi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度[10,11]。又由式(6)可知m0由觀測值殘差估計得來,而測量不確定度要求包含所有誤差來源,所以從測量不確定度角度來說,m0的估計值并不能完整地表示單次測量的不確定度。單次測量的不確定度應(yīng)該使用不確定度評定的方法進(jìn)行評定[12～14],加常數(shù)和乘常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度同理。本文通過評定單次測量的不確定度u(βi)進(jìn)而得到加常數(shù)的不確定度u(K)和乘常數(shù)的不確定度u(R)。由式(7)和式(8)可得:

(12)

(13)

3 GUM法評定不確定度

GUM法采用的是1個輸入輸出模型,即輸出量是輸入量的1個函數(shù)。將輸入量的估值與標(biāo)準(zhǔn)不確定度按照線性化的模型進(jìn)行傳播,得到輸出量的估值和標(biāo)準(zhǔn)不確定度;再假設(shè)中心極限定理適用,進(jìn)而計算包含因子與擴展不確定度。因此使用GUM法要求[6,7]:

(1) 計算所有輸入量的估值與不確定度作為不確定度分量;

(2) 數(shù)學(xué)模型的非線性化不顯著;

(3) 中心極限定理適用,即輸出量的概率密度函數(shù)為高斯分布或者t分布。

分析加常數(shù)、乘常數(shù)檢定方法與步驟,不確定度主要來源[13～16]有待檢儀器測量重復(fù)性引入的不確定度、待檢儀器分辨力引入的不確定度、氣象改正引入的不確定度、標(biāo)準(zhǔn)基線測量引入的不確定度、標(biāo)準(zhǔn)基線長度變化引入的不確定度。

3.1 測量重復(fù)性引入的測量不確定度分量

將待檢儀器與反射棱鏡置于室內(nèi)約30 m距離的兩端,操作儀器照準(zhǔn)棱鏡后連續(xù)讀數(shù)30次并記錄,計算30次讀數(shù)的平均值為29.995 8 m,再計算每次讀數(shù)與平均值的差值后得到表1數(shù)據(jù)。

表1 測量重復(fù)性檢定數(shù)據(jù)Tab.1 Measurement repeatability verification data

由貝塞爾公式可得:

(14)

3.2 分辨力引入的測量不確定度分量

在約30 m的距離兩端分別放置待檢儀器和分辨力檢驗臺,然后將儀器照準(zhǔn)反射棱鏡重復(fù)測距10次,計算平均值為測距值。

將棱鏡從檢驗臺零刻度處開始每次移動1.1 mm,共移動10次,將平均觀測值先與歸零后距離值作差,再和間隔值作差得到差值,計算后得到表2數(shù)據(jù)。其中歸零后距離值是10組距離平均觀測值歸零后(減去間隔值)的距離平均值,即將每組平均觀測值減去間隔值后相加,然后除以10取平均。

表2 分辨力檢定數(shù)據(jù)Tab.2 Resolution verification data

由《光電測距儀檢定規(guī)程》給出的公式:

(15)

3.3 氣象改正引入的測量不確定度

全站儀進(jìn)行測距工作時,氣溫(濕溫、干溫)、氣壓、大氣折射率以及全站儀的載波波長會對距離的測量值有很大影響,因此必須進(jìn)行氣象改正。而由于氣象改正與全站儀測距載波波長有關(guān),所以不同品牌全站儀氣象改正公式有所不同。徠卡TS06系列載波波長為658 nm,其出廠說明書提供的氣象改正公式為:

(16)

3.4 標(biāo)準(zhǔn)基線標(biāo)定引入的測量不確定度

檢定工作在蘭州比長基線場進(jìn)行,蘭州比長基線場最大長度為954 m,最大誤差為0.4+1×10-6×D(D為測量距離,m),mm。取其為正態(tài)分布,包含因子k=2,則由標(biāo)準(zhǔn)基線標(biāo)定引入的測量不確定度分量u4=0.68 mm。

3.5 標(biāo)準(zhǔn)基線長度變化引入的測量不確定度

3.6 加常數(shù)、乘常數(shù)及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度計算

根據(jù)GUM法不確定度分布傳播原理[6]:

則:u(β)=0.91 mm

根據(jù)式(4)、式(5)、式(10)、式(11)分別計算加常數(shù)、乘常數(shù)及其靈敏度系數(shù):

K=-1.1 mm
R=1.4 mm/km
Q11=0.16
Q22=0.49

則由式(12)、 式(13)有:

4 MCM法評定不確定度

MCM法在不確定度評定背景下,是一種抽樣技術(shù)[17～19],以數(shù)值的方式而不是解析的方式進(jìn)行分布與傳播。需要得到數(shù)學(xué)模型輸入量的概率密度函數(shù),根據(jù)描述輸入量的概率密度函數(shù)進(jìn)行重復(fù)抽樣,根據(jù)數(shù)學(xué)模型以及輸入量的概率密度函數(shù)得到輸出量Y的概率密度函數(shù)。由輸出量Y的概率密度函數(shù)可以得到輸出量的所有統(tǒng)計量。

在加常數(shù)、乘常數(shù)檢定中,以式(3)為數(shù)學(xué)模型,依據(jù)第3節(jié)分析,輸入量L1作為測量重復(fù)性引入的誤差,取其為半?yún)^(qū)間長0.4 mm的正態(tài)分布;輸入量L2作為分辨力引入的誤差,取其為半?yún)^(qū)間長0.17 mm的均勻分布;輸入量L3作為氣象改正引入的誤差,取其為半?yún)^(qū)間長0.30 mm的均勻分布;輸入量D1為基線長度測量引入的誤差,取其為半?yún)^(qū)間長1.36 mm的正態(tài)分布;輸入量D2作為基線長度變化引入的誤差,取其為半?yún)^(qū)間長0.95 mm的均勻分布。各輸入量描述與分布見表3。

表3 蒙特卡洛法輸入量評定Tab.3 Monte Carlo method input evaluation

使用Matlab編程進(jìn)行蒙特卡羅抽樣實驗[20,21],設(shè)定蒙特卡羅實驗次數(shù)M=106,輸出量的概率分布圖如圖1。

圖1 蒙特卡羅試驗輸出值的概率分布圖Fig.1 Probability distribution of Monte Carlo test output value

由圖1可知,輸出量的概率密度函數(shù)可由正態(tài)分布或t分布表示,即中心極限定理適用,則可說明該模型可由GUM法評定不確定度。

由蒙特卡羅法得到u(β)=0.79 mm,由式(12)、式(13)可計算加常數(shù)、乘常數(shù)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

5 兩種評定方法比較分析

1) 將兩種評定方法得到的結(jié)果進(jìn)行比較得到表4。

表4 兩種方法評定不確定度結(jié)果

由表4可知,2種方法評定的結(jié)果都符合《光電測距儀檢定規(guī)程》的要求[6]:“加常數(shù)、乘常數(shù)測量的標(biāo)準(zhǔn)差不大于該儀器標(biāo)稱標(biāo)準(zhǔn)差的1/2”,從不確定度角度即標(biāo)準(zhǔn)不確定度不大于儀器標(biāo)稱標(biāo)準(zhǔn)差的1/2,可以判斷本次全站儀加常數(shù)、乘常數(shù)檢定項目結(jié)果合格。且2種方法所得結(jié)果基本吻合,因此2種方法在進(jìn)行加常數(shù)、乘常數(shù)不確定度評價時都是可以采用的。

2) 評定過程中發(fā)現(xiàn),GUM法中當(dāng)不確定度分量呈正態(tài)分布時,依靠實際工作經(jīng)驗選擇不同的包含因子與置信概率,對最后結(jié)果的評定有較大影響,所以需要根據(jù)不確定度分量的相關(guān)信息選擇合適的置信概率。

3) MCM法是通過數(shù)值進(jìn)行傳遞,最后結(jié)果是基于輸出量的概率密度函數(shù)的統(tǒng)計量得出的,因此在計算重復(fù)性示值產(chǎn)生的不確定度時,理論依據(jù)更為充分,所得結(jié)果更為精確。

4) GUM法有適用條件,需滿足數(shù)學(xué)模型非線性化不顯著,輸出量概率密度函數(shù)為正態(tài)分布或t分布。當(dāng)適用條件不滿足或不知道時,使用GUM法所得結(jié)果是不可靠的;MCM法可以得到輸出量的概率分布與標(biāo)準(zhǔn)不確定度,則可用來說明GUM法的適用性與結(jié)果的可靠性。

6 結(jié) 論

本文采用了不確定度傳遞法和蒙特卡羅法2種方法對全站儀加常數(shù)、乘常數(shù)的檢定進(jìn)行不確定度分析和評定。

1) 通過MCM法的輸出值概率分布驗證了GUM法的適用性,說明兩種方法在全站儀加常數(shù)、乘常數(shù)檢定項目上都是有效可行的。GUM法與MCM法評定的加常數(shù)K和乘常數(shù)R的標(biāo)準(zhǔn)不確定度差值分別為0.04 mm和0.09 mm,說明了2種評定方法的評定結(jié)果都滿足檢定限差要求。

2) 在對2種評定方法得出的標(biāo)準(zhǔn)不確定度進(jìn)行比較分析時,得出當(dāng)重復(fù)性示值誤差對最終結(jié)果影響較大時,采用MCM法評定不確定度結(jié)果更精確。