□袁 慧

一、教材的一處變動(dòng)引發(fā)的思考

2023 年新修訂的人教版教材在三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元的“筆算乘法”中重現(xiàn)了歸納計(jì)算法則（如圖1）。而在這版教材之前，依據(jù)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》編寫的人教版教材基本都未對(duì)計(jì)算法則進(jìn)行整體梳理。這些教材通常只是以人物對(duì)話的形式呈現(xiàn)小組討論的要求，讓學(xué)生在互相討論的基礎(chǔ)上，歸納出乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法的計(jì)算步驟，總結(jié)筆算乘法的計(jì)算法則。不過(guò)，早在2003 年，浙江省使用的教材（浙江教育出版社出版，以下簡(jiǎn)稱“省編教材”）就已經(jīng)對(duì)計(jì)算方法進(jìn)行了歸納呈現(xiàn)（如圖2）。

圖1

圖2

仔細(xì)研讀對(duì)計(jì)算法則有整體梳理的相關(guān)教材，發(fā)現(xiàn)：從表述上看，“省編教材”的計(jì)算法則明確表明要拆分第二個(gè)因數(shù)，2023 版人教版教材的計(jì)算法則中則沒(méi)有這個(gè)規(guī)定，既可以拆分第一個(gè)乘數(shù)，也可以拆分第二個(gè)乘數(shù)。如今教材已經(jīng)更新，那么教師的教學(xué)行為有沒(méi)有發(fā)生變化呢？

二、教學(xué)后測(cè)引發(fā)的教學(xué)反思

筆者對(duì)某區(qū)城鎮(zhèn)小學(xué)和農(nóng)村小學(xué)共200 名四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，考查學(xué)生對(duì)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”算理的理解情況，調(diào)查問(wèn)題如圖3所示。

圖3

從調(diào)查結(jié)果看，城鎮(zhèn)小學(xué)和農(nóng)村小學(xué)四年級(jí)學(xué)生的差異不大，這說(shuō)明教師的教學(xué)行為基本相似。約90%的學(xué)生能看懂圖3的豎式計(jì)算，其中約50%的學(xué)生認(rèn)為這樣做是錯(cuò)誤的，因?yàn)檫@樣計(jì)算違反兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法。有近100 名學(xué)生認(rèn)為這種做法是正確的，其中約44%的學(xué)生能正確表述這種做法的算理，約39%的學(xué)生是通過(guò)乘、除法的驗(yàn)算確定答案正確才認(rèn)同這種做法的，還有約17%的學(xué)生無(wú)法表述認(rèn)同的理由。

從上述調(diào)查結(jié)果分析中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生已將筆算乘法固化成了程序性的計(jì)算流程，他們沒(méi)有真正理解筆算乘法的算理，不能靈活地應(yīng)用算理解決問(wèn)題。這樣的結(jié)果與教師忽略對(duì)算理的理解，過(guò)于注重乘法計(jì)算方法的規(guī)范性有關(guān)。那么，如何破解筆算乘法中的教學(xué)難點(diǎn)呢？對(duì)此，整數(shù)乘法的歷史發(fā)展提供了啟示。歷史上整數(shù)乘法的計(jì)算方法多樣，其本質(zhì)是依據(jù)位值原則、數(shù)的組成與分解、運(yùn)算規(guī)律和性質(zhì)，將多位數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為表內(nèi)乘法口訣，與拆分哪個(gè)因數(shù)、從哪一位上乘起無(wú)關(guān)。［1］因此，有必要讓學(xué)生“創(chuàng)造”出解決問(wèn)題的多種方法，讓他們?cè)趯?duì)方法的分析、對(duì)比、聯(lián)系中理解算理、掌握算法。

三、基于理解算理的教學(xué)嘗試

為了讓學(xué)生真正理解乘法“先分后合”的運(yùn)算本質(zhì)，避免他們按照筆算乘法程序性的計(jì)算流程操作，在新授“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，可以創(chuàng)設(shè)探究?jī)晌粩?shù)乘兩位數(shù)算理的系列學(xué)習(xí)活動(dòng)，還可以在學(xué)生掌握豎式計(jì)算方法后，安排圖式幫助他們理解整數(shù)乘法“先分后合”原理的拓展內(nèi)容。本次嘗試是在學(xué)生掌握豎式計(jì)算方法后開展的拓展內(nèi)容教學(xué)，教學(xué)時(shí)強(qiáng)調(diào)立足知識(shí)基礎(chǔ)，引導(dǎo)大膽創(chuàng)新，通過(guò)圖式表征、意義表征和形式化表征的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的深度理解。

（一）聯(lián)系學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，激活認(rèn)知基礎(chǔ)

教學(xué)中應(yīng)立足知識(shí)基礎(chǔ)，從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，激活知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)知識(shí)方法的聯(lián)系、遷移、轉(zhuǎn)化做好鋪墊。本環(huán)節(jié)按照“豎式表征—圖式表征—橫式表征”的流程，通過(guò)對(duì)三者的比較，幫助學(xué)生理解算理的一致性，引導(dǎo)學(xué)生從意義和形式兩個(gè)方面初步感知乘法分配律。

1.豎式計(jì)算，回顧舊知

（1）布置任務(wù)：請(qǐng)你用豎式計(jì)算“23×14”，并說(shuō)說(shuō)每一步表示什么。

（2）學(xué)生用豎式計(jì)算后進(jìn)行反饋。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你是怎樣計(jì)算的？積中的每個(gè)數(shù)表示什么意思？

生：92是由23×4得到的，表示4個(gè)23；230是由23×10 得到的，表示10 個(gè)23；最后把兩部分積加起來(lái)，得出322。

2.動(dòng)手操作，圖式表征

布置任務(wù)：讓學(xué)生在點(diǎn)子圖上分一分，把豎式的計(jì)算過(guò)程表示出來(lái)。

3.觀察比較，建立聯(lián)系

出示圖4，全班交流討論。

圖4

師：圖4 中的豎式計(jì)算和點(diǎn)子圖有怎樣的關(guān)系，兩者之間有什么相同點(diǎn)？

生：都是把14分成10和4，得到4個(gè)23和10個(gè)23來(lái)計(jì)算的。

生：都是運(yùn)用“先分后合”的方法，先把兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)，再把兩部分的積加起來(lái)計(jì)算的。

師：豎式計(jì)算和點(diǎn)子圖都可以用橫式“23×14＝23×（10+4）＝23×10+23×4”來(lái)表示。

（二）基于最近發(fā)展區(qū)，創(chuàng)生生長(zhǎng)點(diǎn)

數(shù)的運(yùn)算中，很多時(shí)候是算法多樣、算理一致。因此在計(jì)算教學(xué)中，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度看待問(wèn)題，追求算法的多樣性，探尋算理的一致性。

1.經(jīng)歷“點(diǎn)子圖—豎式—橫式”的表征過(guò)程

（1）教師提問(wèn)：剛才我們將點(diǎn)子圖橫著分，此外還可以怎么分？請(qǐng)你試一試，完成下面的學(xué)習(xí)任務(wù)單（一）。

（2）全班交流反饋。

在前面把14 分成10 和4 的基礎(chǔ)上，學(xué)生能想到也可以將23 分成20 和3，于是他們將點(diǎn)子圖縱向分割成兩部分（如圖5），左邊部分表示20×14，右邊部分表示3×14。學(xué)生在列豎式計(jì)算時(shí)，自然會(huì)調(diào)換兩個(gè)乘數(shù)的位置，將其變成標(biāo)準(zhǔn)豎式，并動(dòng)手圈一圈，將豎式中每一部分積與點(diǎn)子圖對(duì)應(yīng)起來(lái)。

教師要求學(xué)生不交換乘數(shù)的位置，用豎式計(jì)算“23×14”，思考怎樣算出“42”和“280”，“逼”學(xué)生跳出標(biāo)準(zhǔn)豎式的固有模式。學(xué)生通過(guò)圈一圈，發(fā)現(xiàn)可以在豎式上拆分第一個(gè)乘數(shù)，用第一個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的“3”乘第二個(gè)乘數(shù)14得到42，用第一個(gè)乘數(shù)十位上的“2”乘第二個(gè)乘數(shù)得到280，即“28 個(gè)十”。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生比較點(diǎn)子圖和兩個(gè)乘法豎式，得出橫式：23×14＝（20+3）×14＝20×14+3×14。

2.對(duì)比兩種分法，建立聯(lián)系

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：比較計(jì)算“23×14”的兩種豎式算法、兩種不同的點(diǎn)子圖分法以及兩種不同的橫式記錄，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

基于前一環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很容易在這一環(huán)節(jié)進(jìn)行遷移應(yīng)用。教師要引導(dǎo)學(xué)生分別從豎式、點(diǎn)子圖、橫式表示分的過(guò)程及結(jié)果，進(jìn)一步建立三者之間的聯(lián)系。同時(shí)，對(duì)兩種不同的分法進(jìn)行對(duì)比，找出其相同點(diǎn)：（1）分法相同，將一個(gè)乘數(shù)分成整十?dāng)?shù)和一位數(shù)，得到兩部分的積；（2）計(jì)算方法相同，都是括號(hào)外面的數(shù)分別與括號(hào)里面的數(shù)相乘。本環(huán)節(jié)通過(guò)兩個(gè)方面的引導(dǎo)，幫助學(xué)生尋找共性，為后面構(gòu)建計(jì)算模型埋下伏筆。

（三）基于算理一致性，分析·解構(gòu)·重組·遷移

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)過(guò)程是學(xué)生借助已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去同化、順應(yīng)新知識(shí)的過(guò)程。學(xué)習(xí)了前面兩種計(jì)算方法后，學(xué)生可以借助點(diǎn)子圖、橫式、豎式三種表征形式深入理解算理。教師引導(dǎo)學(xué)生打破已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)知識(shí)進(jìn)行重組，采用合二為一的新分法，將分的過(guò)程由兩步變?yōu)樗牟?，分的結(jié)果由兩個(gè)變?yōu)樗膫€(gè)，還原豎式原有的結(jié)構(gòu)，看清算理算法的真面目。

1.改變分法，多元表征

產(chǎn)生新猜想：在計(jì)算“23×14”時(shí)，我們對(duì)其中一個(gè)乘數(shù)進(jìn)行了拆分，相應(yīng)的點(diǎn)子圖也產(chǎn)生了兩部分的積，得到兩個(gè)不同的橫式記錄。如果將兩個(gè)乘數(shù)同時(shí)進(jìn)行拆分，可以用怎樣的橫式來(lái)記錄？

師生討論得出：23×14＝（20+3）×（10+4）＝？

師：想一想，現(xiàn)在將兩個(gè)因數(shù)都進(jìn)行拆分，那點(diǎn)子圖又該怎么分割呢？

生：將點(diǎn)子圖橫豎一起分，也就是將14分成10和4，將23分成20和3。

請(qǐng)你試一試，完成下面的學(xué)習(xí)任務(wù)單（二）。

2.集體交流，突破難點(diǎn)

師：我們一起來(lái)討論學(xué)習(xí)任務(wù)單（二）。

生：我先在點(diǎn)子圖上把14分成10和4，把23分成20和3，得到四部分的積。每部分的積我都算出來(lái)了，但我不知道怎么用豎式來(lái)表示。

生：我根據(jù)點(diǎn)子圖上的四部分列了四個(gè)豎式，最后又寫了一個(gè)加法豎式，一共列了五個(gè)豎式。

生：我覺(jué)得可以把這五個(gè)豎式合并成一個(gè)長(zhǎng)的豎式。

師生合作，將長(zhǎng)豎式中的每一個(gè)積與點(diǎn)子圖上四部分的積、學(xué)生列的五個(gè)豎式一一對(duì)應(yīng)（如圖6）。

圖6

師：那橫式“23×14＝（20+3）×（10+4）”該怎么計(jì)算，結(jié)果是多少呢？

師生合作，將這四部分的計(jì)算過(guò)程依次寫在橫式后面，再求出結(jié)果，并引導(dǎo)學(xué)生用連一連的方式表示橫式中的每一部分是括號(hào)中哪兩個(gè)數(shù)相乘得到的積，滲透多項(xiàng)式的乘法。

3.反思比較，建立模型

師：這三種不同表征方式有什么共同點(diǎn)？

引導(dǎo)學(xué)生理解乘法計(jì)算的算理，就是把兩位數(shù)拆分為整十?dāng)?shù)和一位數(shù)，可以拆其中一個(gè)乘數(shù)，也可以拆兩個(gè)乘數(shù)，將其變成四部分的積來(lái)計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)，把各部分的積合并起來(lái)就是最后的結(jié)果。

本環(huán)節(jié)由兩步跨越到四步，不僅是一個(gè)量變的積累，更是一種質(zhì)變的飛躍。采取“圖式表征—豎式表征—橫式表征”的交流方式，借助直觀圖式幫助學(xué)生理解橫式、豎式的四步記錄方式，能夠幫助學(xué)生構(gòu)建初步計(jì)算模型。

（四）建構(gòu)算理一致性下的計(jì)算知識(shí)與方法體系

在計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，古今中外的很多方法都由四部分構(gòu)成。為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解算理、算法的一致性，教學(xué)中可以介紹四步計(jì)算的多種方法，加深學(xué)生的理解。

1.溝通古今，建構(gòu)模型

教師利用課件演示將點(diǎn)子圖換成長(zhǎng)方形圖，讓學(xué)生理解求一共有多少個(gè)圓點(diǎn)就相當(dāng)于求長(zhǎng)方形的面積，求大長(zhǎng)方形的面積可以先求出四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，再求和，其中四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積相當(dāng)于長(zhǎng)豎式中四部分的積。

全班交流討論：古今中外還有很多方法也是分成這樣的四部分來(lái)進(jìn)行計(jì)算的，如格子乘法和畫線算法（如圖7），如何在這兩種方法中找到長(zhǎng)豎式中的四個(gè)積？在這兩種算法中最終又將如何求呢？

圖7

教師以面積圖和長(zhǎng)豎式為學(xué)習(xí)支架，讓學(xué)生理解格子乘法和畫線算法，建立多種計(jì)算方法的內(nèi)在聯(lián)系，理解“先分后合”的運(yùn)算本質(zhì)。

2.比較升華，體會(huì)算理一致性

師：我們以“23×14”為學(xué)習(xí)材料，討論了兩種短豎式和一種長(zhǎng)豎式，在點(diǎn)子圖中找到了每種算法的計(jì)算過(guò)程，并用橫式將豎式計(jì)算的過(guò)程分別記錄下來(lái)，還發(fā)現(xiàn)格子乘法和畫線算法也是分四部分來(lái)進(jìn)行計(jì)算的。那么，這些方法有什么共同點(diǎn)？你喜歡用哪一種？如果要推薦一種算法給明年的三年級(jí)同學(xué)，你會(huì)推薦哪一種？為什么？

每一種整數(shù)乘法的計(jì)算方法都能在歷史上找到原型，對(duì)格子乘法、畫線算法的原型進(jìn)行分析能夠加深學(xué)生對(duì)計(jì)算模型的認(rèn)知。實(shí)際上，整個(gè)教學(xué)過(guò)程都是圍繞乘法計(jì)算在歷史上的原型進(jìn)行設(shè)計(jì)的，本拓展內(nèi)容教學(xué)的目的是讓學(xué)生在對(duì)比聯(lián)系中更好地理解算理、掌握算法。因此，教學(xué)中讓學(xué)生對(duì)不同算法的多種表征進(jìn)行比較，能夠幫助他們?cè)诒碚鞯穆?lián)結(jié)中真正理解其背后的算理。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出：通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)之間聯(lián)系,并運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)與方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題?！皟晌粩?shù)乘兩位數(shù)”拓展內(nèi)容的教學(xué)立足學(xué)生的已有認(rèn)知，打破了知識(shí)間的阻隔，建立了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，加深了學(xué)生對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)算法背后算理的理解。其實(shí)，無(wú)論是整數(shù)乘法，還是小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法，其算理在本質(zhì)上是一致的，因此，在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生感悟知識(shí)與方法之間的聯(lián)系，引領(lǐng)學(xué)生對(duì)算理的一致性進(jìn)行解讀與理解，幫助學(xué)生構(gòu)建互相貫通的知識(shí)體系。