秦煜琰，楊麗新，顧梓玉

（陜西科技大學數(shù)學與數(shù)據(jù)科學學院，西安 710021）

傳染病是致病性（微）生物在人與人、動物與人以及動物與動物之間相互傳播的疾病，傳染病的流行既具有隱蔽性也具有突發(fā)性。一直以來，傳染病給人類身體健康造成了極大的危害，給社會經(jīng)濟發(fā)展帶來極大的損失。1918年全球爆發(fā)流感，死亡人數(shù)達到2000萬、2003年爆發(fā)的SARS病毒、2019年在全球范圍流行的新冠肺炎等等都給人類的身體健康帶來了極大地威脅。

近幾十年來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)傳播的動力學已經(jīng)取得了一些非常重要的研究成果［1-5］。由于網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜拓撲結(jié)構(gòu)，可以準確地描述個體之間的關(guān)系。關(guān)于傳染病在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳播的研究大多集中在靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)上［6-8］。靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)是研究短期傳染病的有效工具［9］，但對于一些持續(xù)時間較長的傳染病，在傳染病傳播過程中，人口流動因素可能會改變網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)［10-11］。因此，研究傳染?。?2］在復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中的傳播具有重要意義。Jin等［13］設(shè)計了一個傳染病模型，將人口統(tǒng)計納入復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，以研究人口統(tǒng)計對人口分布的影響，但忽略了人口分布在多層網(wǎng)絡(luò)上的影響。Pan等［14］建立了SIS流行病模型，并討論了人口統(tǒng)計和短期旅行對疾病傳播的影響，未考慮在更為復(fù)雜的多層網(wǎng)絡(luò)上的個體流動。

然而，上述文獻僅考慮單層網(wǎng)絡(luò)上傳染病的傳播，有著一定的局限性，在現(xiàn)實生活中，人口的流動不僅僅在單層網(wǎng)絡(luò)上，而是存在更加復(fù)雜的多層網(wǎng)絡(luò)。因此，本文考慮雙層網(wǎng)絡(luò)上人口流動因素，構(gòu)建傳染病數(shù)學模型，深入分析人口流動率對傳染病傳播動力學的影響。

1 模型建立

在本節(jié)中，主要討論模型的建立。首先，將總?cè)丝谝?guī)模表示為Ni，k（t），將人類總?cè)丝谝?guī)模分為6類。

設(shè)Si，k（t），Sqi，k（t），Ei，k（t），Ii，k（t），Qi，k（t），Ri，k（t）表示為易感者（S），自我隔離者（Sq），暴露者（E），感染者（I），隔離者（Q）和康復(fù)者（R）在時間t時城市i中度為k的密度。同時，總?cè)丝谝?guī)模滿足：

以下是模型的一些假設(shè)。

1）沒有獨立的個體。并且個體最多可以與m個個體相關(guān)聯(lián)。即，k∈｛1，…，m｝，i∈｛1，2｝。

2）以下等式成立：

3）所有新生兒都易感。新生兒進入城市i的概率為δi，k。每一步時間，城市i中新生兒個體的數(shù)量為Ai。

4）城市網(wǎng)絡(luò)節(jié)點不會形成多重邊和自環(huán)。

5）度為k在城市i的個體比例可以定義為pi，k＝Ni，k／Ni。隨機選擇連接到感染鄰居的邊緣的概率由下式給出：

如圖1所示，疫情在兩個城市之間的傳播機制圖，紅色箭頭表示由于人口流動導(dǎo)致兩個城市的人之間的接觸而導(dǎo)致的感染，黑色線表示由于城市內(nèi)的人口流動而導(dǎo)致的疾病傳播。

基于上述假設(shè)和傳播機制，得到以下模型：

其中，d1和d2分別表示自然死亡率和因病死亡率，βi表示城市i中感染者的傳染率，λi表示城市i中潛伏者的傳染率，q和q1分別表示自我隔離率和解除自我隔離的概率，ξi和ωi分別表示城市i中人口流動率和城市i中因為人口流動接觸的人數(shù)，εi表示城市i中潛伏者轉(zhuǎn)化感染者的概率，和分別表示城市i中隔離者的康復(fù)率和感染者的和康復(fù)率。和表示城市i中潛伏者的隔離率和感染者的隔離率。

模型（3）的第一個等式中，δi，kAi表示城市i中度為k新生個體的數(shù)量。（βi＋λi）k（1－ξi）θiSi，k意味著易感個體不在兩個城市之間流動，而是接觸城市i中的潛伏者和感染者而導(dǎo)致的感染。q1Sqi，k表示自我隔離的個體解除了隔離狀態(tài)，變成了易感個體。（q＋d1）Si，k表示易感個體的自然死亡或自我隔離。ωikξi（λi′＋βi′）［（Ii′＋Ei′）／Ni′］Si，k表明易感個體由于在兩個城市之間的人口流動時與其他城市的潛伏者和感染者接觸而被感染。

2 動力學分析

在本節(jié)中，主要討論了模型的基本再生數(shù)以及平衡點的穩(wěn)定性。由模型的假設(shè)，可以得到：

定理2.1集合Ω是模型（3）的正不變集，其中

證明：由模型的假設(shè)可以得到：

化簡后為

給上述不等式兩邊積分得：

因此，對于模型（3），該Ω 區(qū)域是正不變的并且是吸引的。

下面計算該模型的無病平衡點。記無病平衡點為E0：

基于無病平衡點，討論模型的基本再生數(shù)。使用下一代矩陣的方法，同時計算矩陣的譜系數(shù)，模型的基本再生數(shù)等于矩陣的譜半徑。下面給出了兩個矩陣F1和V1，它們分別是模型的輸入矩陣和輸出矩陣：

輸入矩陣和輸出矩陣在無病平衡點的偏導(dǎo)數(shù)計算如下：

其中：

因此，得到：

讓模型（3）的右端項為0，得到地方平衡點為：

其中，

定理2.2對于系統(tǒng)（3），如果R0＜1，則無病平衡點E0在Ω 中全局漸進穩(wěn)定。

證明：首先，將模型改寫為如下形式：

U0＝（X0，0）是模型的無病平衡點。

模型（3）滿足下面兩個條件：

x0是的全局漸進穩(wěn)定的平衡點。因此，U0是全局漸進穩(wěn)定的。

A21＝－V21，A22＝－V22，A31＝－V31，A32＝－V32，A33＝－V33。其中Vij為計算基本再生數(shù)時提到的矩陣。

注意到A是一個Metzler矩陣，則－A是一個M-矩陣，并且當R0＜1，所有關(guān)于A的特征值都有負實部。因此Z（t）是全局漸近穩(wěn)定的，即：

也就是說，如果R0＜1，無病平衡點E0在Ω 中全局漸進穩(wěn)定。

定理2.3如果R0＞1，則地方平衡點E*在Ω中全局漸近穩(wěn)定。

證明：考慮以下李雅普諾夫函數(shù)：

下面對上式求導(dǎo)可得：

再將模型（3）代入上式得：

其中，

令h3＝1，將x2，x3，x4，x5的系數(shù)都設(shè)為0來求h1，h2，h4，求得

因此，使用算術(shù)-幾何平均不等式，可以看到L只有當x1＝1，x2＝1，x3＝1，x4＝1以及x5＝1時，它才小于或等于零。根據(jù)LaSalle不變集原理，包含最大的Ω 不變集：

減少到地方平衡點。因此得出結(jié)論，地方平衡點E*在Ω 中是全局漸近穩(wěn)定的。

3 數(shù)值模擬

在本節(jié)中，主要分析與人口流動相關(guān)的參數(shù)對兩個城市之間傳染疾病傳播的影響。

從圖2中可以看到，當R0＜1時，兩個城市的感染者等密度穩(wěn)定并趨于0時，這與理論結(jié)果相符合。

圖2 個體密度隨時間的變化Fig.2 Changes in individual density over time

可以從圖3中看到，當R0＞1時，感染者的密度趨于一定的穩(wěn)定值，不趨于0，也就是成為了地方性疾病。

圖3 個體密度隨時間的變化Fig.3 Changes in individual density over time

圖4為兩個城市之間人口流動率的變化對感染者密度的影響。人口流動率越大，表明兩個城市之間的人口流動增加，這種行為加劇了疾病的爆發(fā)，也增加了感染者的數(shù)量。

圖4 I 1（t）和人口流動率的關(guān)系Fig.4 Relationship between I 1（t）and population mobility rate

圖5顯示了兩個城市之間人口流動期間接觸人數(shù)的變化對疫情傳播的影響。從圖中可以看出，隨著接觸者數(shù)量的增加，疫情傳播速度增加，感染者數(shù)量增加。

圖5 I 1（t）和接觸人口數(shù)的關(guān)系Fig.5 Relationship between I 1（t）and contact population

圖6顯示了當兩個城市之間的人口流動率和人口流動過程中的接觸人數(shù)為0時，個體隨時間的變化。這與現(xiàn)實生活中的學校封鎖或城市封鎖政策非常相似，可以有效抑制疾病的傳播。

圖6 無人口流動時個體密度變化Fig.6 Individual density changes without population mobility

圖7顯示，由于媒體效應(yīng)的增強，媒體呼吁人們采取自我保護措施或避免附近感染者的軌跡，從而提高了個人的自我隔離率。這種措施可以極大地避免個人感染的可能性。

圖7 I 1（t）與自我隔離率的關(guān)系Fig.7 Relationship between I 1（t）and Self isolation rate

圖8顯示了兩個城市的人口流動率與基本再生數(shù)之間的關(guān)系。隨著兩個城市人口流動性的增加，基本再生數(shù)逐漸增大。這對于疾病在現(xiàn)實生活中的傳播具有重要意義。如果減少城市之間的人口流動，就可以控制基本再生數(shù)，并有效抑制疾病的傳播。

圖8 R 0 與人口流動率的關(guān)系Fig.8 Relationship between R 0 and population mobility rate

在數(shù)值模擬部分，重點討論了兩個城市之間的人口流動對疾病傳播的影響。研究結(jié)果表明，城市之間的人口流動具有顯著影響。如果想迅速遏制疾病的傳播，需要控制人口流動，以隔離疾病與外界的傳播。

4 結(jié)論

本文提出了一個改進的傳染病模型，該模型考慮了兩個城市之間的人口流動，構(gòu)建了一個更接近真實網(wǎng)絡(luò)的傳染病傳播模型。此外，通過理論分析和數(shù)值模擬對流行病的傳播動力學進行了分析。研究結(jié)果表明，當城市內(nèi)人口流動率增加時，人們更容易感染。當兩個城市之間的人口流動速度增加時，易感人群的感染率加快，傳染病的傳播速度迅速增加。同時，如果在傳染病傳播期間媒體效應(yīng)增強，自我隔離的個體就會增加，減緩傳染病的傳播。也就是說，在傳染病傳播期間，控制城市之間和城市內(nèi)部的人員流動，可以有效地遏制傳染病的傳播速度。