張凡麗，高紅亮

（蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，蘭州 730070）

病毒感染是一個極其復(fù)雜的過程，按照感染癥狀的明顯程度分為顯性感染和隱性感染，同一病毒可能對不同的人有不同的情況，有時會引起顯性感染，有時引起隱性感染。隱性感染可能使病毒不能最后侵犯或到達(dá)靶器官，因而不呈現(xiàn)或很少出現(xiàn)臨床癥狀，這種感染最為常見，是人和動物天然自動獲得抗病毒特異性免疫力的主要來源。同時，隱性感染動物仍然有向外界散布病毒而成為傳染源的可能性，許多傳染病都具有隱性感染的特點(diǎn)，如口蹄疫、艾滋病、乙型腦炎、甲型肝炎和新型冠狀病毒等。因此對隱性感染的研究具有非常重要的流行病意義。其實(shí)早在2009年Shil［1］已經(jīng)建立了SEIAR 模型，考慮了隱性感染對于疫情的影響；Grunnill［2］建立了SAIR 模型，采用隨機(jī)模擬的方法，估計(jì)出感染者中無癥狀感染者所占比例最高可達(dá)到70%；Robinson等［3］建立了SAIR 模型，證明了忽視無癥狀感染會對有癥狀感染的治療效果變差；Aguilar等［4］建立了SEYAR 模型，討論了無癥狀感染對傳染病傳播的影響。國內(nèi)許多學(xué)者［5-11］同樣討論了無癥狀感染和其他種群因素對疫情的影響，但這些研究都未考慮年齡因素。

年齡不僅對于種群增長規(guī)律和傳染病流行規(guī)律而言是一個重要因素，對生育率、死亡率、傳染率以及恢復(fù)率也有一定的影響。因此，使用年齡結(jié)構(gòu)模型來研究某些傳染病模型傳播的動力學(xué)是非常重要的。年齡結(jié)構(gòu)分為生理年齡結(jié)構(gòu)和類年齡結(jié)構(gòu)，生理年齡即隨時間變化的年齡，而類年齡是指自患病或者接種疫苗之日開始計(jì)算的年齡。自20世紀(jì)70年代開始，許多學(xué)者［12-15］已經(jīng)注意到生理年齡結(jié)構(gòu)對于疾病傳播有著重要的影響，并提出了很多年齡結(jié)構(gòu)的傳染病模型來研究某些傳染病的動力學(xué)行為。

基于以上分析考慮，本文建立了一個具有生理年齡的SEIR 模型，將人群分為易感者類、潛伏者類、染病者類、隱性感染者類和康復(fù)者類，假設(shè)個體成功接種疫苗后獲得免疫不再發(fā)病，并且個體的自然死亡率、疫苗接種率、感染率和恢復(fù)率都與年齡有關(guān)。首先討論了無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性，然后研究了無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，最后得出結(jié)論。

1 建立模型

本文將所研究的人群分為5類，分別為易感者類、潛伏者類、染病者類、隱性感染者類和康復(fù)者類，并用S（a，t），E（a，t），I（a，t），A（a，t），R（a，t）表示在t時成員年齡a的易感者類、潛伏者類、染病者類、無癥狀者類和康復(fù)者類的年齡分布函數(shù)。種群全體成員的年齡分布函數(shù)為N（a，t），即N（a，t）＝S（a，t）＋E（a，t）＋I(xiàn)（a，t）＋A（a，t）＋R（a，t），根據(jù)傳染病建模方法，建立如下年齡結(jié)構(gòu)的傳染病模型，

各參數(shù)表示的意義如表1所列。

表1 各參數(shù)表示的意義Tab.1 Parameters meaning

基本假設(shè)：

1）具有一定的初始人口；

2）不考慮因病死亡；

3）無癥狀者和染病者都具有傳染性，傳染率為β，且無癥狀者的傳染率是染病者的k倍；

4）無癥狀者的占比為p，且A＋I(xiàn)＝1；

5）無癥狀者的恢復(fù)率與染病者的恢復(fù)率相同。

為了簡化系統(tǒng)（1），對系統(tǒng)（1）進(jìn)行歸一變換，令

則系統(tǒng)（1）變?yōu)槿缦滦问?/p>

其中，

初始條件

邊界條件：

有

2 無病平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)態(tài)

2.1 無病平衡點(diǎn)的存在性

當(dāng)系統(tǒng)（2）達(dá)到穩(wěn)定的年齡分布時，s，x，i，f只與a有關(guān)，所以系統(tǒng)（2）變?yōu)槿缦滦问?/p>

顯然i（a）＝0是系統(tǒng)（3）的第3個方程的解，那么

則

綜上可知無病平衡點(diǎn)存在且唯一，即E0＝［s0（a），r0（a），0，0，0］。

2.2 無病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

為了研究無病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，對系統(tǒng)（3）進(jìn)行線性變換，令

則系統(tǒng)變?yōu)槿缦滦问?/p>

其中

它的線性部分如下

邊界條件：s（0，t）＝0，i（0，t）＝x（0，t）＝f（0，t）＝0

考慮系統(tǒng)（5）的指數(shù)解形式，令

則系統(tǒng)（5）變?yōu)槿缦滦问?/p>

其中，

解系統(tǒng)（6）可以得到

定理1若R0＜1，則無病平衡點(diǎn)局部漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明由等式（7）可知，

F（ξ）的大致圖像如圖1所示。

圖1 F（ξ）的大致圖像Fig.1 Approximate graph of F（ξ）

當(dāng)R0＜1時，如圖1所示，存在唯一的負(fù)實(shí)根ξ*使得F（ξ*）＝1。

下證當(dāng)R0＜1，ξ*＜0時，等式（7）的所有復(fù)根有負(fù)實(shí)部。設(shè)u＝α＋iβ也是F（ξ*）＝1的根，那么

又F單調(diào)遞減，所以

定理得證。

2.3 無病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

定理2若R0＜1，則無病平衡點(diǎn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明根據(jù)全局穩(wěn)定的定義，只需證

對系統(tǒng)（2）的第一個方程沿著特征線積分a＝t＋c有

利用同樣的方法可得到

又因?yàn)?/p>

對式（8）兩邊取上確界的極限，有

當(dāng)R0＜1時，

又

所以，

再由i（a，t）的表達(dá)式可知

定理得證。

3 地方病平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)態(tài)

3.1 地方病平衡點(diǎn)的存在性

當(dāng)系統(tǒng)（2）達(dá)到穩(wěn)定的年齡分布時，系統(tǒng)只與a有關(guān)，則系統(tǒng)（2）的穩(wěn)態(tài)解滿足如下形式

邊界條件：

其中，

則

令上式右端為L（Λ*），則有如下定理。

定理3若R0＞1，系統(tǒng)（2）存在唯一的正平衡點(diǎn)E*存在唯一的＞0使得

3.2 地方性平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

為了研究地方性平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，對系統(tǒng)（2）做線性變換，令

則系統(tǒng)（2）的線性部分如下所示

考慮上述系統(tǒng)（10）的指數(shù)解形式

則系統(tǒng)（11）為如下形式

由系統(tǒng)（12）可以得到

因此，有如下定理。

定理4若R0＞1，地方性平衡點(diǎn)局部漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明因?yàn)?/p>

將等式右邊記為Q（η）。

顯然Q（η）關(guān)于η單調(diào)遞減，那么，當(dāng)η＞0時，

以上分析說明，只有當(dāng)Reη＜0，P（η）＝1。因此，若R0＞1，P（η）＝1的所有根都具有負(fù)實(shí)部。

定理得證。

4 結(jié)論

本文提出了一個考慮隱性感染的年齡結(jié)構(gòu)的傳染病模型，分析得到了基本再生數(shù)R0的表達(dá)式，驗(yàn)證了無病平衡點(diǎn)E0和地方性平衡點(diǎn)E*的存在性；再根據(jù)特征方程得到R0＜1時，E0的局部穩(wěn)定性，然后利用特征線法得到當(dāng)R0＜1，E0的全局穩(wěn)定性。另外，本文還討論了R0＞1時，E*的局部穩(wěn)定性。

最后，本文僅考慮了隱性感染對傳染病的影響，未考慮隱性感染可以通過某些傳播成為感染者。其次，本文只考慮了年齡和時間，沒有考慮空間遷移或者空氣傳播等因素，后面的研究將繼續(xù)討論這些問題。