謝循 嚴(yán)艷華

［摘? 要］ 在當(dāng)下“問(wèn)題—情境”教學(xué)模式的導(dǎo)向下，存在著重橫向數(shù)學(xué)化、輕縱向數(shù)學(xué)化的教學(xué)認(rèn)知偏差. 然而，數(shù)學(xué)化是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要意義. 文章從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的視角闡述數(shù)學(xué)化的具體含義，以一個(gè)具體案例——非直線追及問(wèn)題，揭示數(shù)學(xué)化的思想價(jià)值，并提出幾點(diǎn)教學(xué)反思：一是數(shù)學(xué)化與情境化并不相悖，二是數(shù)學(xué)化不等于形式化，三是均衡的數(shù)學(xué)化教學(xué)是一個(gè)尋求過(guò)程，旨在更好地指導(dǎo)教學(xué).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)化；核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)化是荷蘭著名數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）的著作《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中的一個(gè)核心思想. 弗賴登塔爾首次提出“數(shù)學(xué)化”作為數(shù)學(xué)教育的三大基本原則之一，并且提出數(shù)學(xué)教育的目的應(yīng)該是數(shù)學(xué)化. 所謂數(shù)學(xué)化就是用數(shù)學(xué)方法觀察世界、分析研究各種具體現(xiàn)象并加以整理的過(guò)程.簡(jiǎn)言之，“數(shù)學(xué)化就是數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程”［1］.

核心素養(yǎng)是學(xué)生應(yīng)該具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所必需的關(guān)鍵能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的核心，也是實(shí)現(xiàn)育人價(jià)值的重要途徑. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升主要包括“三會(huì)”——會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界［2］. 顯然，讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過(guò)程是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要方式.

在新時(shí)代的課程理念背景下，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》數(shù)次強(qiáng)調(diào)要將現(xiàn)實(shí)生活作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)出發(fā)點(diǎn)，無(wú)疑，這樣的導(dǎo)向?qū)τ跀?shù)學(xué)教育來(lái)說(shuō)是合理的，因?yàn)橐袁F(xiàn)實(shí)情境為開(kāi)端引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種極佳的學(xué)習(xí)方式. 然而，過(guò)多關(guān)注情境創(chuàng)設(shè)而忽略問(wèn)題自身的數(shù)學(xué)意義，會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)問(wèn)題情境化與情境問(wèn)題數(shù)學(xué)化這樣一個(gè)“天平”失衡. 數(shù)學(xué)化作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方式，其意義何在？對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行思考，有助于教師理解數(shù)學(xué)化思想，更好地看待數(shù)學(xué)化在核心素養(yǎng)培育中的地位和作用.

數(shù)學(xué)化思想

數(shù)學(xué)化是指將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的過(guò)程. 在這方面，弗賴登塔爾接受了特萊弗斯（Treffers）關(guān)于數(shù)學(xué)化的劃分——將數(shù)學(xué)化劃分為兩種，分別為橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化［3］.

1. 橫向數(shù)學(xué)化，從現(xiàn)實(shí)世界走向數(shù)學(xué)世界

橫向數(shù)學(xué)化是把現(xiàn)實(shí)世界引向數(shù)學(xué)世界的過(guò)程，是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中的重要階段. 具體來(lái)說(shuō)，就是發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界中存在的數(shù)學(xué)問(wèn)題及數(shù)學(xué)信息，將這些數(shù)學(xué)問(wèn)題及數(shù)學(xué)信息用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)，即把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題表述為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程. 如這樣一個(gè)實(shí)例：“小靜回家的路有幾條？”——小靜從學(xué)校到家要經(jīng)過(guò)一個(gè)商場(chǎng)，從學(xué)校到商場(chǎng)有三條不同的路可走，從商場(chǎng)到家有四條不同的路可走，那么小靜放學(xué)回家的路一共有多少條呢？這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)十分生活化的案例. 那么橫向數(shù)學(xué)化在這里是如何體現(xiàn)的呢？首先每一條路用線來(lái)表示，其次學(xué)校、商場(chǎng)、家分別用點(diǎn)來(lái)表示，最后只要數(shù)出兩點(diǎn)間有多少條線就能解決這個(gè)問(wèn)題，從而自然而然地將這個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成了數(shù)學(xué)“組合”問(wèn)題（如圖1所示）.

2. 縱向數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)世界中符號(hào)的重塑與使用

縱向數(shù)學(xué)化是指經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題后，再運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行處理，即將符號(hào)化問(wèn)題進(jìn)一步抽象以達(dá)到一般化. 例如，在橫向數(shù)學(xué)化中，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題“小靜回家的路有幾條”轉(zhuǎn)化成具有符號(hào)特征的數(shù)學(xué)“組合”問(wèn)題后，教師先讓學(xué)生親自數(shù)一數(shù)一共有幾條路可以到家：首先學(xué)校到商場(chǎng)有3條路，其次商場(chǎng)到家有4條路，因此從學(xué)校到家就有3×4=12條路. 然后經(jīng)過(guò)一般化可得乘法原理：完成一件事情需要分成n個(gè)步驟，做第一步有M種不同方法，做第二步有M種不同方法……做第n步有M種不同方法，那么完成這件事就有M×M×…×M種不同方法.

3. 數(shù)學(xué)化具體過(guò)程

在數(shù)學(xué)化的過(guò)程中，橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化不能隨意分開(kāi)，兩者的作用是相互交織、不可分割的. 數(shù)學(xué)化是一種由淺入深，具有不同層次、不斷發(fā)展的過(guò)程［4］. 一個(gè)完整的數(shù)學(xué)化過(guò)程包含四個(gè)層次，如圖2所示. 橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化體現(xiàn)在這四個(gè)層次中.

第一個(gè)層次是情境層次（situation level），顧名思義，這個(gè)層次與“情境”的關(guān)系密切，即現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的聯(lián)系.在這個(gè)層次中，學(xué)生的活動(dòng)是從問(wèn)題情境中去思考如何解決問(wèn)題. 第二個(gè)層次是指涉層次（referential level）或者稱(chēng)為“model of”層次，學(xué)生在這個(gè)層次能夠根據(jù)實(shí)際情境中提出的問(wèn)題得到一個(gè)數(shù)學(xué)模型，也就是說(shuō)根據(jù)當(dāng)前的實(shí)際背景來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型. 第三個(gè)層次是普遍層次（general level）或者稱(chēng)為“model for”層次，學(xué)生在這個(gè)層次能夠得到含有普遍意義的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)將模型策略運(yùn)用到不同情境中. 最后一個(gè)層次是形式層次（formal level），學(xué)生在這個(gè)層次可以進(jìn)行純粹思維、反思及欣賞活動(dòng)，這是數(shù)學(xué)對(duì)象已經(jīng)引用在數(shù)學(xué)范疇內(nèi)規(guī)范化的步驟和符號(hào)進(jìn)行表述和操作的緣故［5］. 前兩個(gè)層次屬于橫向數(shù)學(xué)化，后兩個(gè)層次則屬于縱向數(shù)學(xué)化. 總的來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)化就是從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界內(nèi)部，從內(nèi)部發(fā)展，再到現(xiàn)實(shí)生活中（以及應(yīng)用于其他學(xué)科）的全過(guò)程［6］. 因此，核心素養(yǎng)是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動(dòng)后得到的產(chǎn)物.

以均衡的數(shù)學(xué)化，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)

下面以一個(gè)具體案例展示數(shù)學(xué)化的四個(gè)層次，并且揭示其培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力的價(jià)值.

案例 在一個(gè)湖岸邊（可將湖岸看作直線）停放著一條小船，由于纜繩突然斷開(kāi)，小船被風(fēng)刮跑，其方向與河岸成15°角，速度為2.5 km/h. 同時(shí)岸上有一人從同一地點(diǎn)開(kāi)始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4 km/h，在湖中游的速度為2 km/h. 問(wèn)：此人能否追上小船？小船能被追上的最大速度是多少？

1. 通過(guò)探究現(xiàn)實(shí)情境，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界

考慮到人在湖中游的速度小于小船被風(fēng)刮跑的速度，如果人直接跳入湖中去追小船不可能追得上，因此，一種可行的方法是：先在岸上跑一段路后再跳入湖中去追小船. 這樣追小船的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了求三角形三邊關(guān)系的問(wèn)題——人在岸上跑的軌跡、小船被風(fēng)刮跑的軌跡以及人在湖中游的軌跡可以構(gòu)成一個(gè)三角形. 如圖3所示，AB為人在岸上跑的軌跡，AC為小船被風(fēng)刮跑的軌跡，BC為人在湖中游的軌跡. 如何解決這個(gè)三角形問(wèn)題呢？這成為解決追小船問(wèn)題的關(guān)鍵. 此時(shí)，現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題與數(shù)學(xué)就有了聯(lián)系.

在這個(gè)情境層次中，學(xué)生經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)將已有的生活經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來(lái)，把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)變成了數(shù)學(xué)問(wèn)題. 這個(gè)過(guò)程促使學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)展學(xué)生的抽象能力以及想象能力；讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中無(wú)處不在，感悟數(shù)學(xué)的魅力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

2.經(jīng)歷實(shí)際背景下的數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界

由于小船在湖中被風(fēng)刮跑的時(shí)間等于人在岸上跑的時(shí)間與在湖中游的時(shí)間之和，因此得出一個(gè)關(guān)于三角形的數(shù)學(xué)模型就是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)將三角形三邊的數(shù)量關(guān)系表示出來(lái).

如圖4所示，假設(shè)小船的速度為v（單位：km/h），人追上小船所用的時(shí)間為t（單位：h），人在岸上跑的時(shí)間為kt（0<k<1），則人在湖中游的時(shí)間為（1-k）t. 人要追上小船，就有

要使①式（關(guān)于k的方程）在0<k<1內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則需要滿足：

當(dāng)學(xué)生用數(shù)學(xué)關(guān)系式去表示所構(gòu)造的三角形的三邊時(shí)，其數(shù)學(xué)化就進(jìn)入了指涉層次，學(xué)生的思維在幾何直觀、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程中得到挖掘和提升. 首先，可以構(gòu)造三角形來(lái)描述實(shí)際問(wèn)題并且通過(guò)三角形三邊的數(shù)量關(guān)系以及已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)（如余弦定理）來(lái)解決問(wèn)題. 其次，本例運(yùn)算量較大，學(xué)生可以將未知問(wèn)題與腦中圖式轉(zhuǎn)化為原本知識(shí)體系中存在的關(guān)于一元二次方程的同型問(wèn)題展開(kāi)運(yùn)算，通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)思維的發(fā)展. 最后，學(xué)生可以在現(xiàn)實(shí)情境中用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決的關(guān)鍵——構(gòu)造三角形，并用符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言表達(dá)所構(gòu)造的三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題. 這一過(guò)程有助于學(xué)生深刻體會(huì)現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題.

可見(jiàn)，在解決這類(lèi)非直線追及的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生的思維進(jìn)入了數(shù)學(xué)化的普遍層次，即當(dāng)兩個(gè)物體在某一時(shí)刻到達(dá)同一位置時(shí)，不僅需要把握它們的時(shí)間關(guān)系，而且兩個(gè)物體不在同一條直線上運(yùn)動(dòng)，需要構(gòu)造幾何圖形，比如三角形來(lái)解決問(wèn)題.

無(wú)疑，在上述的數(shù)學(xué)化過(guò)程中，學(xué)生能從具體的情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題以及解決問(wèn)題. 整個(gè)過(guò)程貫穿對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考、數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用以及數(shù)學(xué)思維的重構(gòu)，促使學(xué)生在實(shí)際背景下構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，發(fā)展用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)和能力. 更重要的是，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，從中感悟數(shù)學(xué)對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活的重要意義.

3. 在數(shù)學(xué)活動(dòng)的反思中，欣賞數(shù)學(xué)的魅力

反思以上問(wèn)題的解決過(guò)程，通過(guò)探討非直線追及問(wèn)題的共性，揭示該數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)——構(gòu)造三角形及三角形三邊的關(guān)系，了解數(shù)學(xué)以及各個(gè)學(xué)科的知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，由此學(xué)生的思維進(jìn)入了數(shù)學(xué)化的形式層次. 在此過(guò)程中，學(xué)生增進(jìn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系——通過(guò)與物理知識(shí)的融合，形成跨學(xué)科的應(yīng)用意識(shí)與實(shí)踐意識(shí)，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的共性通性以及魅力.

進(jìn)一步的反思

1. 數(shù)學(xué)化與情境化并不相悖

重橫向數(shù)學(xué)化、輕縱向數(shù)學(xué)化的教學(xué)認(rèn)知偏差即教師在教學(xué)過(guò)程中過(guò)于注重情境——為了聯(lián)系生活而創(chuàng)設(shè)一些無(wú)關(guān)數(shù)學(xué)本質(zhì)的情境，教師通常以這樣的方式來(lái)形式化地完成課堂教學(xué). 然而，數(shù)學(xué)化中強(qiáng)調(diào)“情境”是表示對(duì)局部的具體情況進(jìn)行數(shù)學(xué)化［6］，也就是說(shuō)，情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)是數(shù)學(xué)化中的一部分. 只需要情境創(chuàng)設(shè)合理，學(xué)生就有可能從現(xiàn)實(shí)世界中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察現(xiàn)實(shí)世界. 上述案例中首先使學(xué)生思考現(xiàn)實(shí)情境，初步將現(xiàn)實(shí)情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題即數(shù)學(xué)化的開(kāi)始.

2. 數(shù)學(xué)化不等于形式化

將數(shù)學(xué)化的具體含義直接與其中形式層次畫(huà)等號(hào)，是對(duì)數(shù)學(xué)化的一種認(rèn)知偏差. 將數(shù)學(xué)化等于形式化是指一味地將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的抽象概括與數(shù)學(xué)符號(hào)化. 在教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)形式化的結(jié)果而忽略數(shù)學(xué)化本該有的“過(guò)程”，就會(huì)使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變成一種毫無(wú)活力的數(shù)學(xué)知識(shí)的生搬硬套. 為了彌合這個(gè)認(rèn)知偏差，需要教師全面正確理解數(shù)學(xué)化應(yīng)包含生活化，如弗賴登塔爾所說(shuō)：“教數(shù)學(xué)的教室不可能浮在半空中，而學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生也必然是屬于社會(huì)的.”［6］即我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)終將回到現(xiàn)實(shí)中，只有讓數(shù)學(xué)與相關(guān)的現(xiàn)實(shí)背景緊密相連，學(xué)生才能獲得富有生命力的數(shù)學(xué)知識(shí).

3. 均衡的數(shù)學(xué)化教學(xué)是一個(gè)尋求過(guò)程

弗賴登塔爾將數(shù)學(xué)教學(xué)分為如圖7所示的四種情況，對(duì)應(yīng)著四種不同的教學(xué)觀：（1）橫向與縱向數(shù)學(xué)化都缺乏發(fā)展的是機(jī)械主義教學(xué)觀，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味；（2）缺少橫向數(shù)學(xué)化、發(fā)展縱向數(shù)學(xué)化的是結(jié)構(gòu)主義教學(xué)觀，學(xué)習(xí)充滿數(shù)學(xué)道理，但學(xué)生難以體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系；（3）缺少縱向數(shù)學(xué)化、發(fā)展橫向數(shù)學(xué)化的是經(jīng)驗(yàn)主義教學(xué)觀，學(xué)習(xí)容易陷入模仿，缺乏數(shù)學(xué)思考；（4）橫向和縱向數(shù)學(xué)化均得到發(fā)展的是現(xiàn)實(shí)主義教學(xué)觀，學(xué)習(xí)既凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)又富有生活趣味. 在數(shù)學(xué)教育過(guò)程中過(guò)于注重橫向或縱向數(shù)學(xué)化的教學(xué)都是數(shù)學(xué)化教學(xué)的兩極. 而均衡的數(shù)學(xué)化教學(xué)需要教師在不斷完善橫向數(shù)學(xué)化教學(xué)的同時(shí)，加強(qiáng)經(jīng)驗(yàn)合理化，強(qiáng)化縱向數(shù)學(xué)化的教學(xué)因素［7］，即在兩者間找到一個(gè)均衡點(diǎn). 這應(yīng)是教師的一個(gè)追求，需要教師不斷去探尋——通過(guò)合理把握當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)本身的意義，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，考慮結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)，在不斷的動(dòng)態(tài)過(guò)程中鋪設(shè)發(fā)展數(shù)學(xué)教學(xué)的“現(xiàn)實(shí)主義道路”.

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