王建華
問題引入
例1 上體育課時(shí),阿進(jìn)在某次試投鉛球時(shí),鉛球行進(jìn)高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)之間的函數(shù)關(guān)系是y = [-112(x-4)2+3] . 建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系,鉛球從y軸上的點(diǎn)A處出手,運(yùn)動(dòng)路徑可看作拋物線,且點(diǎn)B是該函數(shù)圖象上的一點(diǎn).
(1)請你畫出該函數(shù)的大致圖象;
(2)若鉛球推出的距離不小于9.5 m的成績?yōu)閮?yōu)秀,請通過計(jì)算,求出鉛球落地的最遠(yuǎn)距離,并判斷阿進(jìn)此次試投的成績是否能達(dá)到優(yōu)秀.
解析:(1)根據(jù)所給函數(shù)關(guān)系式,可以確定拋物線頂點(diǎn)是(4,3),從而可以畫出大致函數(shù)圖象如圖2所示;
(2)落地最遠(yuǎn)距離與最大高度是不同的,當(dāng)落地時(shí)y = 0,故 - [112](x - 4)2 + 3 = 0,解得x1 = 10,x2 = - 2(舍去),則拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(10,0). 即鉛球推出的距離為10 m. 因?yàn)殂U球推出的距離不小于9.5 m的成績?yōu)閮?yōu)秀,所以阿進(jìn)此次試投的成績達(dá)到優(yōu)秀.
典例辨析
例2 (2022·浙江·臺州)如圖3,灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛,為綠化帶澆水. 噴水口H離地豎直高度為h(單位:m). 如圖4,可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象;把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG,其水平寬度DE = 3 m,豎直高度為EF的長. 下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的,上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2 m,高出噴水口0.5 m,灌溉車到l的距離OD為d(單位:m).
(1)若h = 1.5 m,EF = 0.5 m.
①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式,并求噴出水的最大射程OC;
②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo);
③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶,求d的取值范圍.
(2)若EF = 1 m,要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶,請直接寫出h的最小值.
解析:(1)①如圖4,由題意得A(2,2)是上邊緣拋物線的頂點(diǎn),
設(shè)y = a(x - 2)2 + 2,∵拋物線過點(diǎn)(0,1.5),∴1.5 = 4a + 2,∴a = - [18],
∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y = - [18](x - 2)2 + 2.
當(dāng)y = 0時(shí),0 = - [18](x - 2)2 + 2,解得x1 = 6,x2 = - 2(舍去),
∴噴出水的最大射程OC為6 m.
②∵上邊緣拋物線的對稱軸為直線x = 2,∴點(diǎn)(0,1.5)的對稱點(diǎn)為(4,1.5),
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4 m得到的,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0).
③∵EF = 0.5,∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為0.5,解方程0.5 = - [18](x - 2)2 + 2,
得x = 2 ± 2[3]. ∵x > 0,∴x = 2 + 2[3].
∵當(dāng)x > 2時(shí),y隨x的增大而減小,∴當(dāng)2 ≤ x ≤ 6時(shí),要使y ≥ 0.5,則2 ≤ x ≤ 2 + 2[3].
∵當(dāng)0 ≤ x ≤ 2時(shí),y隨x的增大而增大,且x = 0時(shí),y = 1.5 > 0.5,
∴當(dāng)0 ≤ x ≤ 6時(shí),要使y ≥ 0.5,則0 ≤ x ≤ 2 + 2[3],
∵DE = 3,灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶,
∴d的最大值為2 + 2[3] - 3 = 2[3] - 1.
再看下邊緣拋物線,噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是d ≥ OB,∴d的最小值為2,
綜上所述,d的取值范圍是2 ≤ d ≤ 2[3] - 1.
(2)由題意得A(2,h + 0.5)是上邊緣拋物線的頂點(diǎn).
設(shè)上邊緣拋物線解析式為y = a(x - 2)2 + h + 0.5.
∵上邊緣拋物線過出水口(0,h),∴4a + h + 0. 5 = h,解得a = - [18],
∴上邊緣拋物線解析式為y = - [18](x - 2)2 + h + 0.5.
∵上邊緣拋物線的對稱軸為直線x = 2,∴點(diǎn)(0,h)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,h).
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4 m得到的,
∴下邊緣拋物線解析式為y = - [18](x + 2)2 + h + 0.5.
當(dāng)噴水口高度最低,且恰好能澆灌到整個(gè)綠化帶時(shí),點(diǎn)D,F(xiàn)恰好分別在兩條拋物線上.
∵DE = 3,設(shè)點(diǎn)D(m,0),E(m + 3,0),F(xiàn) [m+3,-18(m+3-2)2+h+0.5],
將點(diǎn)D坐標(biāo)代入下邊緣拋物線解析式,得 - [18](m + 2)2 + h + 0.5 = 0 ①,
又∵EF = 1,
∴ - [18](m + 3 - 2)2 + h + 0.5 = 1 ②,
聯(lián)立①②,解得[m = 2.5,h=6532.] ∴h的最小值是[6532].
點(diǎn)評:讀懂題意,建立二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵,在解決本題的過程中需要分清噴水最遠(yuǎn)距離與最高距離的不同含意.
總結(jié)提升
呈拋物線形運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離(如拋出的球)、水平運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離(如飛機(jī)落地后的減速運(yùn)動(dòng)),這些問題的求解與平常學(xué)習(xí)過程中“二次函數(shù)最值”是有明顯區(qū)別的,通常是拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值. 求解時(shí),先要根據(jù)已知條件求出拋物線解析式y(tǒng) = ax2 + bx + c,然后根據(jù)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0列方程ax2 + bx + c = 0,求出這個(gè)方程的兩個(gè)根,最后再結(jié)合實(shí)際意義確定出最遠(yuǎn)距離. 在今后的學(xué)習(xí)過程中,同學(xué)們要注意不能遇到求“最值”就看“最高(低)”點(diǎn),一定要認(rèn)真審題、細(xì)加解題.
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·中考版2023年10期