張唯一

摘要： 用統(tǒng)計(jì)軟件處理數(shù)據(jù)已成為統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的必要組成部分。統(tǒng)計(jì)圖的繪制和統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算是統(tǒng)計(jì)建模難點(diǎn)。以高中數(shù)學(xué)一元線性回歸建模為例，教師設(shè)置定量探究不同因素對PM2.5濃度的影響這一問題情境，利用數(shù)學(xué)教學(xué)軟件GeoGebra，指導(dǎo)學(xué)生繪制散點(diǎn)圖，計(jì)算回歸方程，對回歸模型擬合并作效果評估，不僅能將學(xué)生從制圖和計(jì)算中解放出來，高效開展建模活動，而且有利于調(diào)動學(xué)生在實(shí)際中使用統(tǒng)計(jì)方法的積極性。

關(guān)鍵詞：一元線性回歸模型；散點(diǎn)圖；GeoGebra；統(tǒng)計(jì)建模

統(tǒng)計(jì)學(xué)是采用收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)等手段來認(rèn)識未知現(xiàn)象的一門科學(xué)。用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題，必然涉及數(shù)據(jù)處理問題。當(dāng)數(shù)據(jù)量大時(shí)，純粹依靠紙筆計(jì)算，數(shù)據(jù)處理的工作量是非常大的，以致很多統(tǒng)計(jì)方法難以應(yīng)用。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，各種專業(yè)統(tǒng)計(jì)軟件被開發(fā)出來，處理大量數(shù)據(jù)不再困難，這大大促進(jìn)了統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用和統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展。當(dāng)今，用統(tǒng)計(jì)軟件處理數(shù)據(jù)已成為統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的必要組成部分。在高中數(shù)學(xué)課程中，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對統(tǒng)計(jì)中使用信息技術(shù)提出要求 ：對于必修課程的一維數(shù)據(jù)，“可以鼓勵學(xué)生盡可能運(yùn)用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬活動，處理數(shù)據(jù)”；對于選擇性必修課程的成對數(shù)據(jù)，明確要求“會使用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析”。

如何根據(jù)隨機(jī)性數(shù)據(jù)推斷變量之間關(guān)系？建立統(tǒng)計(jì)模型是解決這類問題的常用方法。開展有效的統(tǒng)計(jì)建?；顒?，是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)知識解決實(shí)際問題的必經(jīng)過程。在解決實(shí)際問題的過程中數(shù)據(jù)處理量較大，學(xué)生學(xué)會借助信息技術(shù)工具處理數(shù)據(jù)對于高效建模非常重要。下面結(jié)合人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊》“建立統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行預(yù)測”中，定量探究不同因素對PM2.5濃度的影響這個案例，介紹在回歸分析中建模的過程與方法，以及信息技術(shù)的應(yīng)用要領(lǐng)。此案例收集了24個監(jiān)測點(diǎn)汽車流量、平均氣溫、空氣濕度、風(fēng)速、PM2.5濃度等數(shù)據(jù)，因?yàn)椴挥绊懞罄m(xù)行文，這里不再呈現(xiàn)。教科書采用的信息技術(shù)是R語言，借助編程實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)計(jì)算和統(tǒng)計(jì)制圖。為了降低使用信息技術(shù)的難度，這里采用操作相對容易的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件GeoGebra（以下簡稱“GGB軟件”）。

一、利用散點(diǎn)圖觀察變量之間的關(guān)系

顯然探究不同因素對PM2.5濃度的影響，是一個研究變量之間關(guān)系的問題。為了初步了解數(shù)據(jù)分布的特征，對數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化表示是統(tǒng)計(jì)中常用且有效的手段。對數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化表示，不僅可以直觀判斷變量之間的關(guān)系，而且可以為后續(xù)進(jìn)一步開展定量研究提供思路和方向上的指引。學(xué)生利用軟件畫圖不僅速度快，省時(shí)、省力，而且標(biāo)準(zhǔn)、美觀，有利于更好地觀察數(shù)據(jù)的特征。

為了簡單起見，我們研究PM2.5濃度與汽車流量兩個變量之間的關(guān)系。首先判斷兩個變量有沒有關(guān)系，若有關(guān)系是什么關(guān)系。觀察兩個定量變量的成對觀測數(shù)據(jù)分布特征，最常用的是散點(diǎn)圖。散點(diǎn)圖的繪制可以由GGB軟件完成。學(xué)生將PM2.5濃度與汽車流量數(shù)據(jù)輸入軟件的表格區(qū)（見表1），選中兩列數(shù)據(jù)（B2：C25），點(diǎn)擊工具欄中“雙變量回歸分析”，即可得到以汽車流量為橫軸、PM2.5濃度為縱軸的散點(diǎn)圖（如圖1）。

如何利用散點(diǎn)分布的特征尋找兩個變量之間關(guān)系？觀察散點(diǎn)圖，可以發(fā)現(xiàn)：PM2.5濃度隨汽車流量的增加呈增長趨勢，但汽車流量增加對應(yīng)的PM2.5濃度并不一定增加，甚至還有個別汽車流量相同而對應(yīng)的PM2.5濃度不同的情況。由此判斷兩個變量不是函數(shù)關(guān)系，而是相關(guān)關(guān)系。

二、借助一元線性回歸模型刻畫變量之間的關(guān)系

可以看到，參數(shù)估計(jì)的計(jì)算量較大，當(dāng)數(shù)據(jù)量大時(shí)更是如此。利用GGB軟件計(jì)算時(shí)，只需要操作鼠標(biāo)，就可以得到回歸方程并進(jìn)行預(yù)測。軟件計(jì)算不僅速度快，而且準(zhǔn)確度高。

在圖1界面的左下角，選擇回歸模型為“線性”，可得到回歸方程y=138.597 6x-99.688 4，以及其對應(yīng)的直線（如圖2）。學(xué)生根據(jù)此回歸方程進(jìn)行預(yù)測：只要在左下角空白框中輸入汽車流量的值，就可得到對應(yīng)的平均PM2.5濃度。

三、對模型的擬合效果進(jìn)行評估

評估模型的擬合效果，是統(tǒng)計(jì)建模的重要環(huán)節(jié)。在高中，模型的擬合效果主要是根據(jù)R²的大小和殘差圖散點(diǎn)的分布進(jìn)行評估。相關(guān)計(jì)算和繪圖可以由GGB軟件完成。

對于上述一元線性回歸模型的擬合效果，在圖2界面中，左上角點(diǎn)擊“∑x”（顯示統(tǒng)計(jì)），可得到R²為0.672 5（如圖3）；在左上角選擇“殘差圖”，可得到殘差圖（如圖4）。由R²可知模型擬合的效果一般，還有改進(jìn)的空間。觀察殘差圖發(fā)現(xiàn)，殘差在汽車流量不同取值時(shí)不是一個常數(shù)，而是隨著汽車流量的增加而增加，這說明回歸模型中對于隨機(jī)誤差的方差假定（D（e）=σ²）不合理。

雖然學(xué)生在高中階段只學(xué)習(xí)一元線性回歸模型，但利用GGB軟件，還可以嘗試用不同的回歸模型擬合數(shù)據(jù)。只要在圖2界面的左下角，選擇其他類型的回歸模型，如“對數(shù)”“多項(xiàng)式”“冪”等，就可以快捷得到不同的經(jīng)驗(yàn)方程的曲線，以及R²和殘差圖。學(xué)生可以比較不同模型的R²和殘差圖，將擬合效果相對好的作為最終選擇的回歸模型。

上述案例證明，在信息技術(shù)輔助下作回歸分析，學(xué)生可以完整參與統(tǒng)計(jì)建?；顒?。從數(shù)據(jù)直觀表示到建立模型再到預(yù)測，中學(xué)涉及的所有建模過程都可以在GGB軟件中完成，這個過程在統(tǒng)計(jì)建模中具有一般性。事實(shí)上，各種統(tǒng)計(jì)方法在統(tǒng)計(jì)軟件中都可以找到相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)功能。從應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法角度看，重要的是數(shù)據(jù)分析的思路，學(xué)生要學(xué)會選用合適的統(tǒng)計(jì)方法，并對統(tǒng)計(jì)的結(jié)果作合理的解釋，而統(tǒng)計(jì)制圖和統(tǒng)計(jì)計(jì)算工作可以交給統(tǒng)計(jì)軟件完成。

在高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)建?；顒又校處熀侠硎褂媒y(tǒng)計(jì)軟件對教學(xué)大有裨益：不僅將學(xué)生從機(jī)械、煩瑣的數(shù)據(jù)處理中解放出來，專注于尋找數(shù)據(jù)分析思路、選擇統(tǒng)計(jì)方法、解釋結(jié)果等創(chuàng)造性工作，使活動順利開展，而且降低實(shí)際問題中使用統(tǒng)計(jì)方法的難度，提高其主動使用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的積極性。

（作者系人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)編輯室副主任、副編審）

責(zé)任編輯：祝元志