黃炳鋒

摘要：《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》將數(shù)學建?；顒蛹{入數(shù)學課程主線，明確其本質(zhì)內(nèi)涵、過程方法及育人價值，倡導以課題研究的形式開展數(shù)學建?；顒?。教材也以建模實例作樣例，配備課題研究的活動指南作指引，響應(yīng)數(shù)學課程主線教學的育人要求。為解決教學中缺乏有效輔助工具、學生對數(shù)學建?；顒诱J識不足導致探究效果不佳等問題，教師基于教材上的數(shù)學建模實例，分析課題研究四個環(huán)節(jié)中的關(guān)鍵與困難，指出“選題環(huán)節(jié)關(guān)鍵是研究主題的確定，開題環(huán)節(jié)重點是研究計劃的交流，做題環(huán)節(jié)難點是試驗數(shù)據(jù)的收集，結(jié)題環(huán)節(jié)要點是建?；顒拥脑u價”，借助TI-NSPIRE CAS圖形計算器、采集器和傳感器等信息技術(shù)工具為數(shù)學教學賦能，支持學生針對“飲茶最佳溫度”等問題構(gòu)建數(shù)學模型，促進教、學、評一致，形成育人合力。

關(guān)鍵詞：信息技術(shù)；數(shù)學建?；顒?；函數(shù)模型

2017年教育部發(fā)布《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“課標”），將數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動納入高中數(shù)學課程四條主線，要求將其貫穿于必修、選擇性必修的學習中（2020年對課標修訂但上述相關(guān)內(nèi)容保持不變）。課標指出：“數(shù)學建?；顒邮腔跀?shù)學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，是高中階段數(shù)學課程的重要內(nèi)容^[1]?！逼鋬?nèi)涵為：“對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的過程?！睂W生參與數(shù)學建?；顒?，面對的是現(xiàn)實中的實際問題。教師要引導學生會用“數(shù)學的眼光”觀察世界，從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題；會用“數(shù)學的思維”思考世界，應(yīng)用數(shù)學的知識、思想方法，通過數(shù)學思維建立數(shù)學模型解決問題；會用“數(shù)學的語言”表達世界，從數(shù)學的角度加以解釋、提供決策。

描述世界、認識世界、把握世界是人的本能和欲望。精準的定量描述，嚴謹?shù)倪壿嬐评?，使?shù)學模型可以近似地表達世界。學生參與數(shù)學建模活動，對理解數(shù)學、全方位培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)有重要作用。教學中，由于對數(shù)學建模的本質(zhì)和內(nèi)涵認識不足或因為實際操作困難，師生往往重數(shù)學應(yīng)用，輕模型構(gòu)建；重問題解決，輕問題提出；重應(yīng)用解題，輕數(shù)據(jù)收集；重終結(jié)性評價，輕過程性評價……以致課程主線教學目標難以落實。筆者以人教A版《普通高中教科書 數(shù)學 必修第一冊》中“數(shù)學建模：建立函數(shù)模型解決實際問題”為例，探索如何以課題研究的形式（包括選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié)）開展數(shù)學建模活動，如何借助TI-NSPIRE CAS手持技術(shù)，對學生的數(shù)學建?；顒舆M行有效評價。

一、選題環(huán)節(jié)：關(guān)鍵是研究主題的確定

課標指出，數(shù)學建?；顒又饕^程包括“在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題”。由于實際情境多且繁雜，學生不易“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”，選題環(huán)節(jié)教師的關(guān)鍵工作是引導學生確定研究主題。教學中，教師應(yīng)結(jié)合教材整體設(shè)計，分層次、有計劃地加以引導。以建立函數(shù)模型為例，在學生學習冪函數(shù)、指（對）數(shù)函數(shù)時，教師應(yīng)結(jié)合這些函數(shù)的概念抽象過程，明示函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的基本數(shù)學語言和工具，適合于建立函數(shù)模型解決的實際問題有兩個特點：（1）涉及兩個變量，（2）具有函數(shù)關(guān)系。

例如，天安門廣場每次升旗的日期與時間，汽車的剎車距離與速度，燒水壺的水溫與燒水的時間，摩天輪上一點的高度與旋轉(zhuǎn)的時間，乘坐計程車的費用與路程，某家庭用水的水費與用水量等實際問題，都具有上述兩個特點。

現(xiàn)實問題涉及變量往往很多，選題時學生可查閱相關(guān)資料，用頭腦風暴的形式交流討論，分析并確定數(shù)學建模的關(guān)鍵因素。確定研究主題的主要步驟如下^[2]。

第一步，考察一個實際情境，發(fā)現(xiàn)并提出問題，分析可行性，明確研究意義。

第二步，列出問題中涉及的常量、變量，包括適當?shù)膯挝唬⒁獠灰煜兞亢统Ａ俊?/p>

第三步，列出對變量的相互關(guān)系所做的全部假設(shè)，檢查單位從而保證假設(shè)有意義。

第四步，選出最重要的影響因素，明確其運動變化的基本特征，確定運動變化類型。

第五步，用準確的數(shù)學語言描述目標。

例如，茶水溫度問題^[3]。中國茶文化博大精深，飲茶是大眾的喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)。經(jīng)驗告訴我們：茶水的溫度隨時間的變化而變化，且每一個確定的時刻有唯一的溫度與之對應(yīng)，因此茶水的溫度是時間的函數(shù)。飲茶的實際情境中，泡茶時水溫往往較高，飲用時水溫一般要低一些。

不難發(fā)現(xiàn)，沖泡好的茶水等多久飲用，口感最佳是一個值得研究的問題。如果能建立茶水溫度關(guān)于時間的函數(shù)模型，就可以解決這個問題。研究并解決上述問題具有可行性。顯然，影響茶水溫度的因素有多個，如起始的水溫、時間、室溫、茶葉品種、容器形狀等，其中最重要的影響因素是時間。將其他因素固定，即可提出茶水溫度隨時間變化的模型假設(shè)，并明確目標：在某環(huán)境條件下，借助實測數(shù)據(jù)建立茶水溫度關(guān)于時間的函數(shù)模型，并根據(jù)模型預測剛沖泡好的茶水達到最佳飲用口感所需的時間。

二、開題環(huán)節(jié)：重點是研究計劃的交流

確定研究主題后，教師不要急于讓學生做題，應(yīng)引導學生開好題。數(shù)學建模不等同于數(shù)學應(yīng)用，它著重于真實世界與數(shù)學世界之間可逆的聯(lián)系，關(guān)注于抽象出數(shù)學問題與解決現(xiàn)實問題的全過程。為確保可逆的聯(lián)系轉(zhuǎn)化自如、研究活動有序推進，開題環(huán)節(jié)不可缺少。開題環(huán)節(jié)，教師要為學生后續(xù)研究活動做好以下準備：其一，為確定求解目標查詢相關(guān)資料，提升以多種方式查詢相關(guān)資料的能力（要改變學生等待教師提供背景資料的習慣） ；其二，為確定研究路徑制訂研究計劃，包括對選題的分析、解決問題的思路等，要引導學生深入分析、討論待研問題所涉及的相關(guān)數(shù)學知識和數(shù)學模型，在交流中增強用數(shù)學語言表達問題的能力和用數(shù)學模型解決問題的意識。

以探究茶水溫度問題為例，開題任務(wù)主要包括：

其一，查找文獻或上網(wǎng)搜索，了解最佳泡茶水溫和飲用水溫；

其二，分析影響茶水溫度的因素，了解與問題相關(guān)的背景知識，闡述需要確定的條件、需要準備的技術(shù)支持；

其三，闡述有效解決問題的辦法，包括數(shù)據(jù)收集的方法、提高數(shù)據(jù)精度的方法等，說明實施方案的依據(jù)和優(yōu)缺點；

其四，提出求解的目標、預期成果及其呈現(xiàn)方式。

上述任務(wù)都是為了研究而做的準備，開題環(huán)節(jié)教師應(yīng)指導學生提出計劃、討論交流、互相啟發(fā)、互相補充。

三、做題環(huán)節(jié)：難點是實驗數(shù)據(jù)的收集

做題包括收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、建立模型、求解模型等過程。學生要按照計劃，真實、具體地解決問題。

（一）實驗數(shù)據(jù)的收集

學生確定函數(shù)模型參數(shù)，一般需要相關(guān)數(shù)據(jù)支撐。如果沒有現(xiàn)成數(shù)據(jù)可用，學生可以采用實驗的方式生成數(shù)據(jù)。這就需要借助數(shù)學實驗設(shè)備來收集數(shù)據(jù)。

教師給TI-NSPIRE CAS圖形計算器配置采集器和傳感器（溫度傳感器、位移傳感器、光強傳感器、聲音傳感器、壓強傳感器等），讓學生用它收集數(shù)據(jù)以滿足數(shù)學建?；顒又?。教師將超級采集器與傳感器連接，還可以借助軟件進行演示和教學，借助傳感器有效收集數(shù)據(jù)。為達到具體要求和所需精度，師生要注意傳感器功能與技術(shù)參數(shù)要求（見表1）。

學生實際探究時，應(yīng)注意環(huán)境的參數(shù)，并有效控制數(shù)據(jù)的誤差。以“茶水溫度”為例，實驗環(huán)境室溫為21.0 ℃，為保證茶水的品質(zhì)一樣，學生用開水沖泡相同數(shù)量的茶葉，且每次實驗起始溫度都略高于某固定溫度。比如，本次實驗起始溫度為85.2 ℃，為保證茶水總水量不變，學生用相同的容器盛茶水，等等。

接下來，學生使用TI-NSPIRE CAS圖形計算器及溫度傳感器，采集茶水溫度與相應(yīng)時間數(shù)據(jù)（如圖1），將收集速率設(shè)置為10 秒/樣本，持續(xù)時間設(shè)置為480 s，將溫度傳感器插入茶水中，點擊“開始收集”，即可方便地獲取實驗數(shù)據(jù)。

結(jié)合多次實驗數(shù)據(jù)與散點圖分析，學生發(fā)現(xiàn)每隔1分鐘記錄的數(shù)據(jù)散點，生成的圖象能較好地反映函數(shù)模型特點，于是每隔1分鐘采集數(shù)據(jù)，將其作為建立函數(shù)模型的依據(jù)。

這里需要特別指出，數(shù)據(jù)是建立函數(shù)模型的依據(jù)，收集數(shù)據(jù)是評價學生數(shù)學建模成敗的重要參考。但數(shù)據(jù)可能有誤差，不同小組也可能不一致。教師評價時主要看學生數(shù)據(jù)收集的過程。數(shù)據(jù)差異并不影響數(shù)學建?；顒拥拈_展。

（二）函數(shù)模型的選擇

根據(jù)收集的數(shù)據(jù)建立函數(shù)模型，難在模型的選擇。學生使用TI-NSPIRE CAS圖形計算器強大的數(shù)據(jù)分析與繪制圖象的功能，可以解決這一問題。學生只需將收集的數(shù)據(jù)導入電子表格，調(diào)用數(shù)據(jù)分析中的擬合命令，選用幾個基本初等函數(shù)模型進行擬合，就可得相關(guān)指數(shù)用于判斷擬合效果，結(jié)合散點圖、殘差圖及具體情況分析，可找到合適的函數(shù)模型。

以本次實驗收集的茶水溫度數(shù)據(jù)為例（見表2），不同的函數(shù)模型擬合情況如下。

學生用“線性回歸”命令，選擇一次函數(shù)f（x）=b+mx模型進行擬合，得到擬合函數(shù)關(guān)系式為f（x）=83.18-3.095x。從相關(guān)指數(shù)R²= 0.982 061、散點圖與殘差圖（如圖2），可以看出吻合程度較好。

學生用“指數(shù)回歸”命令，選擇指數(shù)型函數(shù)f（x）=a×b^x模型進行擬合，得到擬合函數(shù)關(guān)系式為f（x）= 83.708 2×0.957 465^x。從相關(guān)指數(shù)R²= 0.992 915、散點圖與殘差圖（如圖3），可以看出吻合程度優(yōu)于線性回歸。

很顯然，學生用上述技術(shù)手段開展函數(shù)模型擬合研究忽略了一個重要影響因素，就如教科書所分析的那樣^[4]——茶水溫度降到室溫就不能再降，建模需要考慮室溫影響，選擇的函數(shù)模型應(yīng)該可以反映隨著時間的變化溫度趨于室溫的變化規(guī)律。學生嘗試選擇指數(shù)型函數(shù)y=a×b^x+c進行擬合，但該函數(shù)模型不能直接通過TI-NSPIRE CAS的集成命令得到。在探究中，學生分析得到c=21，將數(shù)據(jù)作平移變換，令z=y-21，用“指數(shù)回歸”命令，選擇指數(shù)型函數(shù)z=a×b^x進行擬合，得出擬合函數(shù)關(guān)系式為z=62.979 9×0.939 95^x，即y=62.979 9×0.939 95^x+21。從相關(guān)指數(shù)R²= 0.995 991、散點圖與殘差圖（如圖4），可以看出吻合程度更高。學生采用擬合方式構(gòu)建函數(shù)模型，發(fā)現(xiàn)當x=0時，y值為83.979 9與觀測值85.2有微小差異。

（三）模型一致的思考

牛頓冷卻模型指出：一個較周圍溫度高的物體的初始溫度為t₀，忽略表面積及外部介質(zhì)性質(zhì)和溫度的變化，它的冷卻速率與該物體的溫度f（t）與周圍環(huán)境的溫度C的差（f（t）-C）成正比，即，其中t為時間，k為一個正的常數(shù)。求解上述微分方程，得到f（t）=C+（t₀-C）e^-kt。這是一個指數(shù)型函數(shù)。以下，討論用上述實驗數(shù)據(jù)構(gòu)建模型一致的指數(shù)型函數(shù)。分析實驗的初始狀態(tài)，可知t₀=85.2，C=21.0，為了求出茶水溫度的衰減比例a=e^-k，學生從第2分鐘的溫度數(shù)據(jù)開始，計算每分（y-C）的值與上一分（y-C）值的比值（見表3）。

計算各比值的平均值，得

a=１/8（0.922 1+0.934 1+0.936 7+0.94 02+0.940 5+0.943 2+0.951 4+0.946 5）≈0.939 3。

將這個平均值作為衰減比例，所得函數(shù)模型y=64.2×0.939 3^x+21，與牛頓冷卻模型是一致的，與借助計算器得到的指數(shù)型函數(shù)模型也是吻合的。

四、結(jié)題環(huán)節(jié)：要點是建模活動的評價

結(jié)題是活動的重要環(huán)節(jié)，不可忽視或簡單處理。教師在學生自評、互評、小組選拔的基礎(chǔ)上，選出若干研究課題，在全年級的層面集中進行課題答辯，按照“滿意標準”與“加分條件”實施評價，尤其重視形成性評價^[5]。

具體實施時，教師首先要求研究小組（以表格等形式）提交結(jié)題報告；然后，讓課題研究小組對研究的過程、結(jié)果、體會或發(fā)現(xiàn)進行交流，分享成果或收獲；最后，讓學生自評、互評，選出優(yōu)秀成果，參與答辯。

教師從課題研究參與情況、過程與方法、成果與收獲等方面提出“滿意標準”，對符合“滿意標準”的課題作出合格的鑒定意見，并將成績納入綜合實踐活動的整體評價。教師在課題研究的四個環(huán)節(jié)中，注意小組成員的表現(xiàn)，為表現(xiàn)突出、有所創(chuàng)新的小組或個人設(shè)計了“加分條件”，給出評價意見，提高成績等級。

加分條件包含但不局限于以下五項。

第一，提出的問題有新意，闡述的研究價值符合基本認知。

第二，收集的數(shù)據(jù)精度高，方法簡單、容易操作、有推廣價值。

第三，闡明模型的局限，認識到數(shù)學模型有適用范圍（通常表現(xiàn)于模型的假設(shè)前提、模型的初始值及對模型中參數(shù)的限制）。

第四，對模型作前瞻分析，認識到用建立的數(shù)學模型進行推斷和預測，只是對現(xiàn)實近似的描述，與實際可能存在誤差，要更好地認識世界、把握世界，需逐步精確化。

第五，在研究中提升認知，清晰闡述在情感、態(tài)度與價值觀方面的收獲，在過程中有效合作、克服困難，對合作、交流等提出新看法，等等。

數(shù)學建模使數(shù)學突破自我封閉，構(gòu)建數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁。教師借助手持技術(shù)賦能數(shù)學建?；顒?，讓學生模擬真實情境，更簡潔、更快捷地收集數(shù)據(jù)，研究規(guī)律，在探究中深刻體驗，落實教學目標，促進學生核心素養(yǎng)發(fā)展。

注：本文系全國教育科學“十四五”規(guī)劃2022年度教育部重點課題“數(shù)學深度學習的發(fā)生機制、過程特征與目標旨向問題研究”（編號：DHA220411）的研究成果。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學課程標準：2017年版[S].北京：人民教育出版社，2018：34-36．

[2] 史寧中，王尚志．普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018：195．

[3][4]人民教育出版社課程教材研究所中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心．普通高中教科書 數(shù)學A版 必修 第一冊[M]．北京：人民教育出版社，2019：162，163．

[5] 章建躍．核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學課程教材教法研究[M]．上海 ：華東師范大學出版社，2021：374．

（作者系福建省福州第三中學數(shù)學教研組長，正高級、特級教師，省首批教學名師、省學科帶頭人，省市兩級名師工作室領(lǐng)銜名師，人教版高中數(shù)學教科書參與編寫者）

責任編輯：祝元志