曹曉舟

（濟(jì)南大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，濟(jì)南 250002）

0 引言

Cleveland 等（1992）[1]率先研究了函數(shù)系數(shù)模型，可靈活捕獲豐富的動態(tài)特征，同時避免完全非參數(shù)形式中的“維數(shù)困難”現(xiàn)象。隨后該模型被廣泛用于協(xié)整關(guān)系的建模，統(tǒng)稱為函數(shù)系數(shù)協(xié)整模型。20世紀(jì)初，該模型的研究重點(diǎn)是系數(shù)的逐點(diǎn)估計方法。方法多基于最小二乘估計構(gòu)建，此類方法在殘差服從正態(tài)分布時存在一些良好的性質(zhì)[2]。同時，Cai 等（2000）[3]使用兩步法對系數(shù)進(jìn)行了局部多項(xiàng)式估計；Sun和L（i2011）[4]研究了局部常數(shù)和局部線性核估計量，且后者具有更小的均方誤差。

隨后學(xué)者們關(guān)注到數(shù)據(jù)中的異常值，研究發(fā)現(xiàn)基于最小絕對離差估計準(zhǔn)則（即L1損失函數(shù)）構(gòu)建的局部估計量效果更好[5,6]。同樣，模型中同方差的設(shè)定在解決現(xiàn)實(shí)問題時存在很大局限。部分學(xué)者假設(shè)動態(tài)波動中的主要特征由時變因素引起。Xu和Phillips（2008）[7]、Tu和Wang（2020）[8]分別在研究自回歸模型和函數(shù)系數(shù)協(xié)整模型時均提出構(gòu)建自適應(yīng)估計流程來減少時變波動方差對估計量產(chǎn)生的偏差；Zhu（2018）[9]擴(kuò)展研究了含厚尾特征和時變波動的自回歸模型，提出自適應(yīng)最小絕對離差估計量（Adaptive Least Absolute Deviations Estimator，ALADE）。

本文將關(guān)注時間序列含厚尾特征及時變波動方差時函數(shù)系數(shù)協(xié)整模型估計流程的優(yōu)化問題。

1 局部線性ALADE

1.1 引入模型

不失一般性，構(gòu)建含厚尾特征和時變波動方差的函數(shù)系數(shù)協(xié)整模型（FCCM）：

其中，xi，t是單位根過程，其系數(shù)依賴于單一外生變量zt變化；υt、μt是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的新息項(xiàng)；εt可服從厚尾分布以體現(xiàn)經(jīng)濟(jì)變量中常出現(xiàn)的極端事件；σt是用時間的連續(xù)或間斷函數(shù)表示的時變波動因子。該模型設(shè)定了易擴(kuò)展至高維模型和多平滑變量的情景。

1.2 時變波動方差的處理

Tu 和Wang（2020）[8]將自適應(yīng)估計用于含時變波動方差的函數(shù)系數(shù)協(xié)整模型，形如：

提出加權(quán)核最小二乘（Weighted KLS）估計，當(dāng)權(quán)重取1σt時估計量為：

其擁有最小方差-協(xié)方差矩陣。其中，K(·)=k(·/h)為核函數(shù)，h是窗寬。當(dāng)使用σ2的非參數(shù)估計值代替權(quán)重時，可得自適應(yīng)核權(quán)最小二乘（Adaptive KLS）估計。

1.3 厚尾特征的處理

Tang 和Wang（2005）[5]研究了含異常值或厚尾特征的函數(shù)系數(shù)模型：

對于任意z0∈[0，1]，在求解系數(shù)βj(z0)局部點(diǎn)的估計值時，周邊點(diǎn)的系數(shù)均用線性函數(shù)近似：aj+bj(z-z0)?；诮^對離差之和最小，即最小化式（5）可求系數(shù)的逐點(diǎn)估計值：

1.4 改進(jìn)的估計流程

基于模型（1）構(gòu)建局部線性ALADE流程。將L1最優(yōu)化準(zhǔn)則引入估計全流程，選擇局部線性估計方法，最優(yōu)窗寬選擇采用絕對值交叉驗(yàn)證方法，考慮可行的自適應(yīng)估計流程以減少時變波動方差的影響。估計流程見圖1。

第一，模型的局部線性LADE。將某點(diǎn)的系數(shù)值近似為：a0(zt)≈a0+b0(zt-z0)，aj(zt)xtj≈ajxtj+bj(zt-z0)xtj，最小化式（7）可得局部線性LADE。

第二，在估計流程的第五步中涉及廣義局部線性LADE：

當(dāng)權(quán)重ωt設(shè)定為時變方差時（ωt=gt），估計量擁有最小的漸近方差-協(xié)方差矩陣。該方法被稱為不可行的局部線性ALADE。

第三，可行的局部線性ALADE 的權(quán)重選擇。文獻(xiàn)中常將殘差的局部核估計值作為權(quán)重的替代值，即：

第四，窗寬的選擇。在核估計的過程中，窗寬的選擇起決定性作用。異常值的存在導(dǎo)致該點(diǎn)所求的殘差平方和將占據(jù)主導(dǎo)地位，窗寬的選取將異常困難，此處更適合采用絕對值交叉驗(yàn)證法（ACV）進(jìn)行窗寬選擇。

在流程中涉及三處窗寬選擇，窗寬b的選擇參考式（10）：

窗寬h的選擇參考式（11）：

2 蒙特卡洛模擬

本文將模擬含時變波動方差和厚尾特征的函數(shù)系數(shù)協(xié)整模型，生成樣本數(shù)據(jù)以分析局部線性ALADE 方法的優(yōu)劣?？紤]下列數(shù)據(jù)生成過程：

其中，zt服從（-0.5，0.5）上的均勻分布，x1，t、x2，t是初始值為0 的單位根過程。εt分別服從：（1）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；（2）位置參數(shù)為0、尺度參數(shù)為0.2 的柯西分布。g(t/n)為時變波動方差，分三種情形討論：

情形1 和情形2 代表了時變波動方差的突變形式，情形3 代表了方差的平滑特征。單變點(diǎn)令τ?。?.2，0.8）表示突變點(diǎn)發(fā)生在前端和后端；雙變點(diǎn)τ和1-τ的取值表示跳躍發(fā)生的時間點(diǎn)，令τ?。?.2，0.4）表示兩次跳躍發(fā)生在序列的兩端和中間處；平滑時變特征中令m?。?，2）表示變化快慢。同時令σ0=2，標(biāo)準(zhǔn)差前后變化之比設(shè)為δ=σ1/σ0，令δ的取值為（0.2，0.5，1，5）。

樣本量分別取200 和400，模擬次數(shù)設(shè)定為200 次。采用核權(quán)最小二乘估計（KLS）、自適應(yīng)核權(quán)最小二乘估計（AKLS）、局部線性LADE（LADE）三種方法做對比，綜合分析局部線性ALADE（ALADE）方法的表現(xiàn)。核函數(shù)選取二階EP 核，采用局部線性估計以保證方法間的可比性。

2.1 系數(shù)估計情況分析

先分析單次樣本數(shù)據(jù)下四種估計方法對模型系數(shù)擬合精度的表現(xiàn)。

當(dāng)εt～N(0,1)且存在時變波動方差時，基于L2準(zhǔn)則的系數(shù)估計曲線在各類時變波動情形下更加貼近系數(shù)真實(shí)值，而基于L1準(zhǔn)則的曲線擬合效果較差（圖略）。含單變點(diǎn)和雙變點(diǎn)的時變波動方差時，（τ，δ）取值為（0.2，0.2）時四種估計方法下的系數(shù)均與實(shí)際值更加貼近，取值為（0.2，5）時各方法下的系數(shù)較實(shí)際系數(shù)曲線偏離嚴(yán)重。含平滑時變波動方差時，（m，δ）取值為（1，0.2）時各估計方法下的系數(shù)均貼合實(shí)際曲線，取值為（1，5）時各估計方法下的系數(shù)偏離實(shí)際系數(shù)曲線最大。當(dāng)不存在時變波動（δ=1）時，AKLS 與KLS 估計的系數(shù)曲線基本重合，說明自適應(yīng)估計和傳統(tǒng)估計效果一致，且明顯優(yōu)于ALADE 和LADE。

當(dāng)εt～C(0,0.2)時，基于L1準(zhǔn)則的系數(shù)估計曲線更加貼近系數(shù)真實(shí)值（圖略），且ALADE 估計方法在部分情況下優(yōu)于LADE。含單變點(diǎn)和雙變點(diǎn)的時變波動方差時，（τ,δ）取值為（0.2，0.2）時四種估計方法的系數(shù)曲線接近且緊貼實(shí)際曲線，取值為（0.2，5）時基于L2方法的估計值偏離實(shí)際值較大。含平滑時變波動方差時，（m，δ）取值為（1，0.2）時四種估計方法的系數(shù)與實(shí)際值相近，取值為（1，5）時基于L2方法的系數(shù)估計值嚴(yán)重偏離實(shí)際系數(shù)曲線。

綜上，當(dāng)殘差中含厚尾特征且存在時變波動方差時：就系數(shù)估計精度而言，ALADE估計和LADE方法優(yōu)于AKLS方法；并且時變波動方差的存在會影響估計效果，且波動值越大影響越大。

2.2 系數(shù)整體擬合精度分析

分析可知，當(dāng)殘差服從柯西分布時，基于L1最優(yōu)準(zhǔn)則的估計系數(shù)表現(xiàn)相對較好，但ALADE 方法與LADE 方法間的差異通過圖形難以判斷。接下來選取加權(quán)平均誤差（Weighted Average Squared Error，WASE）指標(biāo)來分析系數(shù)整體擬合情況，定義如下：

在模擬過程中，產(chǎn)生200和400的樣本數(shù)據(jù)，并各進(jìn)行200次蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)后取WASE的均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行對比分析（見表1）。分析發(fā)現(xiàn)：第一，對比四種估計方法對系數(shù)整體的擬合效果可以發(fā)現(xiàn)，LADE和ALADE方法的WASE 的均值明顯小于KLS 和AKLS 估計的取值。第二，隨著樣本的增加，ALADE相比LADE對系數(shù)的擬合情況更好：單變點(diǎn)除（τ，δ）取值為（0.8,0.2）外，雙變點(diǎn)除δ=0.2 情形外，其他各類情況下ALADE 估計所得WASE 的均值相比LADE 估計值都更小，標(biāo)準(zhǔn)差也很接近且波動較小；含平滑變動時變波動方差的各類情況下，除（m，δ）取值（2，0.2），即方差變小且變動較慢外，其他各類情況下ALADE的WASE的均值均更小。整體而言，當(dāng)殘差來自厚尾分布時，ALADE估計對系數(shù)的擬合更好且穩(wěn)健。

表1 εt～C(0,0.2)時WASE的均值和標(biāo)準(zhǔn)差

接下來，從最優(yōu)窗寬的角度分析AKLS和ALADE兩種估計方法對系數(shù)的整體擬合效果，通過分析WASE與窗寬h間的函數(shù)曲線圖得出結(jié)論。限于篇幅，僅展示殘差服從柯西分布的部分情形（見下頁圖2）。

圖2 εt～C(0，0.2)及g1 下WASE的窗寬曲線圖

由圖2 可知，當(dāng)殘差服從柯西分布時，兩種估計方法的WASE 曲線在底部區(qū)域比較平緩，說明WASE 的取值對h的大小不太敏感，且δ取值越大，AKLS 估計下的WASE 曲線波動也越大。在各時變波動情形下，ALADE估計方法下的曲線低于AKLS 估計下的曲線，說明前者對系數(shù)的整體擬合精度更好。隨著時變方差前后波動取值變大（δ＞1），ALADE 估計的WASE 曲線相比AKLS的曲線更平滑且取值更低。但是，當(dāng)殘差服從正態(tài)分布時，AKLS估計下WASE曲線包絡(luò)ALADE的曲線，對系數(shù)擬合更有效。

2.3 模型的整體擬合情況

本文選取均方誤差（Mean Squared Error，MSE）來衡量模型偏差和方差的權(quán)衡情況。以ALADE 所計算的MSE 均值為基準(zhǔn)，計算LADE 方法下MSE 均值的相對值（即MSELADE/MSEALADE）。

分析表2可得，當(dāng)殘差序列含厚尾特征且樣本量較小時，ALADE 估計的MSE 均值遠(yuǎn)小于LADE 方法下的取值。隨著樣本量的增加，兩種估計方法下的MSE 均值差異均變小，整體而言，ALADE方法對模型的整體擬合效果更好，且隨著δ的取值變大，ALADE方法的優(yōu)勢更加明顯。

表2 εt～C(0,0.2)時MSE的相對值

綜上所述，當(dāng)殘差服從厚尾分布時，基于L1損失函數(shù)的估計方法對模型的擬合要整體優(yōu)于基于L2損失函數(shù)的方法。本文提出的局部線性ALADE方法在多數(shù)情況下對系數(shù)的擬合都更加精準(zhǔn)，對模型的整體估計也具有絕對優(yōu)勢，當(dāng)方差波動越大時表現(xiàn)出越好的穩(wěn)健性。

2.4 最優(yōu)窗寬選擇方法比較

為了選取適合ALADE流程的窗寬選擇方法，接下來分析絕對值交叉驗(yàn)證方法（ACV）和最小二乘交叉驗(yàn)證方法（CV）的表現(xiàn)。ALADE 流程共有三處需要進(jìn)行最優(yōu)窗寬選擇，分別為LADE估計時的窗寬h1、計算權(quán)重估計值時的窗寬b，以及ALADE 估計時的窗寬h2，且均采用ACV 方法?，F(xiàn)將三處統(tǒng)一替換為CV方法，比較替換前后兩者的表現(xiàn)。本文僅展示求解最優(yōu)窗寬h2的環(huán)節(jié)中ACV 和CV 兩種窗寬選擇方法中取值隨窗寬變化的曲線圖?？v軸的刻度沒有實(shí)際意義，僅比較曲線隨著窗寬變化的形態(tài)。要求曲線的形狀隨著窗寬的變動呈現(xiàn)平滑的凸性，且存在最小值。

當(dāng)殘差服從正態(tài)分布時，ALADE 估計中ACV 方法的表現(xiàn)略優(yōu)于CV方法，但整體而言兩者均為求解最優(yōu)窗寬帶來困難（圖略）。下頁圖3 呈現(xiàn)了殘差服從柯西分布時的表現(xiàn)。分析可知：ACV曲線在不同波動情況下均表現(xiàn)為一條較為平滑的凸性曲線，求解最優(yōu)值明顯且唯一，且隨著δ取值越大，圖形的凸性越明顯。CV 曲線對h的取值不敏感；隨著δ的取值變大，底部呈現(xiàn)“W”型波動形態(tài)，最優(yōu)值不唯一。故ALADE 估計中的ACV 方法在各種時變波動情形下均優(yōu)于CV方法。

圖3 εt～C(0，0.2)及g2 下ACV/CV隨窗寬變化圖

綜合分析KLS、AKLS、LADE以及ALADE四種估計方法的系數(shù)擬合曲線、系數(shù)估計精度平均表現(xiàn)、模型整體擬合效果以及窗寬選擇方法的優(yōu)劣后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)FCCM含厚尾特征和時變波動方差時，可行的局部線性自適應(yīng)LADE方法在大多數(shù)情況下都表現(xiàn)出了明顯優(yōu)勢，且估計流程中ACV方法更適合進(jìn)行最優(yōu)窗寬選擇。

3 實(shí)證分析

購買力平價理論（Theory of Purchasing Power Parity，簡稱PPP 理論）提供了相對價格關(guān)系間的客觀比較，能反映經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和價格水平所具有的本質(zhì)聯(lián)系。現(xiàn)利用函數(shù)系數(shù)協(xié)整模型對中英兩國PPP 理論的有效性進(jìn)行再檢驗(yàn)，模型構(gòu)建如下：

變量定義和數(shù)據(jù)來源見下頁表3。參考Tu 和Wang（2020）[8]的描述，zt選用兩國間收益率之差（簡稱利差）表示，定義zt=(T10Y，C，t-T5Y，C，t)-(T10Y，U，t-T5Y，U，t)。根據(jù)建模前的相關(guān)分析可知：EXt、Pt、序列中均含有突變點(diǎn)且含厚尾特征，原序列通過方差比檢驗(yàn)[10]均被確定為單位根過程，可構(gòu)建函數(shù)系數(shù)協(xié)整模型。

表3 變量選取說明

3.1 參照方法的估計結(jié)果

為了清晰地展示ALADE估計流程的優(yōu)勢，現(xiàn)梳理其他四種常用估計方法作為參照，分別是：傳統(tǒng)核權(quán)最小二乘估計（KLS）、對局部常數(shù)（LC）和局部線性（LL）估計分別進(jìn)行討論、Tu 和Wang（2020）[8]提出的自適應(yīng)核權(quán)最小二乘估計（AKLS）、Feng等（2012）[6]提出的最小絕對離差估計（LADE）。

使用KLS+LC、KLS+LL、AKLS、LADE四種方法對模型進(jìn)行估計，核函數(shù)均采用二階EP 核。選用方差比檢驗(yàn)對估計后的殘差進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，結(jié)果見表4，同時結(jié)合方差輪廓圖[11]以及Wu 和Xiao（2018）[12]提出的U 統(tǒng)計量對是否含時變波動方差進(jìn)行分析，當(dāng)這兩種方法都判定為同方差時，認(rèn)為序列不含時變波動方差。

表4 殘差檢驗(yàn)結(jié)果

經(jīng)檢驗(yàn)，四種估計方法得到的殘差均平穩(wěn)，證明變量間的復(fù)雜協(xié)整關(guān)系成立。U 統(tǒng)計量的結(jié)果和方差輪廓圖（見圖4）顯示，四種方法擬合后，殘差中均存在明顯的時變波動性，會影響估計效率。

圖4 方差輪廓圖

兩國間PPP 理論是否有效還需關(guān)注系數(shù)是否滿足理論要求。下頁圖5給出了四種估計方法下Pt和的系數(shù)隨利差的變動曲線圖。分析可知，局部常數(shù)KLS 估計和局部線性KLS 估計下兩國匯率和價格之差間的協(xié)整關(guān)系存在，但系數(shù)估計值偏離理論值較大，且殘差中含時變波動性。AKLS估計的系數(shù)估計值與理論值完全不符，判定中英兩國間PPP 理論非有效。LADE 估計方法證實(shí)序列間協(xié)整關(guān)系存在，但是系數(shù)隨利差波動出現(xiàn)偏離理論值和異常波動的情況，且殘差中含時變波動性。

圖5 不同方法下系數(shù)估計值隨利差變動曲線圖

3.2 ALADE流程估計結(jié)果

采用ALADE方法對模型（14）進(jìn)行估計，估計后各類檢驗(yàn)結(jié)果整理為表5。

表5 ALADE估計結(jié)果

將估計后殘差序列的非參數(shù)估計值作為時變波動方差的替代值，窗寬b取值很小使得局部平滑估計值參考周邊鄰點(diǎn)的信息較少，更加貼近殘差真實(shí)值。將非參數(shù)估計值作為權(quán)重代入ALADE 方法進(jìn)行估計，最優(yōu)窗寬h2取值適中，既能體現(xiàn)每個時點(diǎn)的波動特征，又能得到相對平滑的系數(shù)估計值。ALADE估計后模型的殘差序列經(jīng)檢驗(yàn)為平穩(wěn)序列。經(jīng)U統(tǒng)計量和方差輪廓圖（圖略）證實(shí)，模型殘差中不存在時變波動方差。中英兩國匯率和價差間的協(xié)整關(guān)系成立。

下頁圖6 為系數(shù)估計值隨利差變動曲線圖。分析后發(fā)現(xiàn)，ALADE方法對模型系數(shù)的擬合表現(xiàn)較為出色，圖形大部分取值圍繞±1波動，更符合PPP理論的要求。

圖6 系數(shù)估計值隨利差變動曲線圖（ALADE）

綜上，中英兩國匯率和價差序列所建模型中確實(shí)含時變波動方差和厚尾特征。通過ALADE方法進(jìn)行估計和驗(yàn)證后，證實(shí)了中英兩國PPP 理論的有效性，且系數(shù)的估計曲線隨利差平滑變動，估計效果穩(wěn)健且有效。

4 結(jié)論

函數(shù)系數(shù)協(xié)整模型被應(yīng)用于復(fù)雜經(jīng)濟(jì)問題的研究時，當(dāng)存在時變波動方差和厚尾特征時，估計量不再有效。本文考慮了此類特征后，提出局部線性自適應(yīng)最小絕對離差估計（ALADE）流程。

本文所提方法在系數(shù)估計精度、整體擬合效果、窗寬最優(yōu)選擇等方面都表現(xiàn)優(yōu)異，分析發(fā)現(xiàn)，ACV方法更適用于此類建模中的最優(yōu)窗寬選擇。實(shí)證分析部分將局部線性ALADE流程應(yīng)用于中英兩國PPP理論的建模分析，擬合后的殘差平穩(wěn)且不存在時變波動特征，系數(shù)更穩(wěn)健且符合理論要求，最終證實(shí)了PPP 理論的有效性。