李文榮

[摘 要] 計(jì)算是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的基本內(nèi)容，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分。比較法是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的一種教學(xué)方法，學(xué)生從具體事物中概括出相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而找出它們的聯(lián)系與區(qū)別。在計(jì)算教學(xué)中運(yùn)用比較法，能夠幫助學(xué)生理解算理和掌握算法，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，提升學(xué)生思維的主動性，提高學(xué)生的邏輯思維能力。

[關(guān)鍵詞] 比較法；計(jì)算能力；數(shù)學(xué)；小學(xué)生

筆者分類整理了學(xué)生各類失分題后，發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生在與計(jì)算相關(guān)的題上很難拿到滿分，學(xué)生由于計(jì)算錯誤而失分的題目在總的失分題中占有相當(dāng)大的比例。學(xué)生會熟練計(jì)算整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和相對應(yīng)的四則混合運(yùn)算方法，也會依據(jù)運(yùn)算特征靈活選擇運(yùn)算律進(jìn)行簡便計(jì)算，怎會有如此多的失分？這引起了筆者對學(xué)生計(jì)算能力的再思考：學(xué)生計(jì)算錯誤的根源是什么？如何通過對計(jì)算教學(xué)的研究，提高學(xué)生的計(jì)算能力？基于此，筆者對計(jì)算教學(xué)進(jìn)行思考。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)現(xiàn)狀

計(jì)算一直以來都是人們生活、學(xué)習(xí)中應(yīng)用最廣泛的基本技能，是一切數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)知識的形成、問題的解決以及規(guī)律的探究都需要計(jì)算活動。計(jì)算教學(xué)能夠培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本文從三個層面分析小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)現(xiàn)狀。

（一）教師層面

目前教師的課堂教學(xué)兩極分化：一部分教師受思維和經(jīng)驗(yàn)的影響，仍沿用了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，用大量、反復(fù)的計(jì)算練習(xí)不斷強(qiáng)化學(xué)生對算法的記憶，以此提高學(xué)生的計(jì)算能力。這樣的計(jì)算教學(xué)，只重視學(xué)生計(jì)算的熟練度，忽視學(xué)生對算理的推導(dǎo)，不利于學(xué)生對算法本質(zhì)的理解。另一部分教師依據(jù)課標(biāo)中計(jì)算教學(xué)增加算理講解的新要求，把課堂中大量的時間和精力用于算理的講解，留給學(xué)生探討、優(yōu)化算法以及進(jìn)行相應(yīng)訓(xùn)練的時間減少，導(dǎo)致學(xué)生對計(jì)算“只知其然，而不知其所以然”，沒有形成有算理支撐的計(jì)算技能。

（二）學(xué)生層面

學(xué)生計(jì)算素養(yǎng)有待提高。許多學(xué)生對計(jì)算興趣不高，缺乏良好的計(jì)算習(xí)慣。雖然教師在教學(xué)中關(guān)注到情境的創(chuàng)設(shè)，但是枯燥的算理講解和算法建構(gòu)仍占據(jù)計(jì)算教學(xué)的大部分時間。在這個過程中，學(xué)生無法體驗(yàn)計(jì)算學(xué)習(xí)的快樂，通過重復(fù)進(jìn)行計(jì)算練習(xí)來提高計(jì)算速度，對算理和算法之間的邏輯關(guān)系理不清，更不能依據(jù)算式特點(diǎn)靈活選擇運(yùn)算方法，如簡便計(jì)算法和按運(yùn)算順序計(jì)算的方法，無法準(zhǔn)確選擇運(yùn)算律。學(xué)生口算能力弱化，估算意識薄弱。

（三）學(xué)科層面

數(shù)的運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，數(shù)的認(rèn)識、幾何圖形的認(rèn)識、數(shù)學(xué)問題的解決都需要數(shù)的運(yùn)算。良好的計(jì)算能力是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教材編排中，數(shù)的運(yùn)算和問題解決是在一個單元教學(xué)，其他數(shù)學(xué)知識相對獨(dú)立，學(xué)生在問題解決中鞏固了算法，提高了計(jì)算能力，但對算理的掌握相對不夠。因此，教師要從學(xué)科本質(zhì)和學(xué)生學(xué)習(xí)視角重視計(jì)算教學(xué)，強(qiáng)調(diào)數(shù)的認(rèn)識及運(yùn)算教學(xué)的整體性和一致性，從學(xué)科層面進(jìn)一步強(qiáng)化算理和算法的統(tǒng)一，以此更好地提高學(xué)生的計(jì)算能力。

二、提高小學(xué)生計(jì)算能力的策略

基于以上現(xiàn)狀分析，如何提高學(xué)生的計(jì)算能力呢？從數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)來看，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。因此，教師要著力于研究與數(shù)學(xué)有關(guān)的事物之間的不同點(diǎn)和相同點(diǎn)，讓學(xué)生在操作和比較中發(fā)現(xiàn)它們之間存在的聯(lián)系，從而掌握數(shù)學(xué)相關(guān)知識和技能。

（一）借助類比，“理”“法”相通

1.橫向比較，尋找算理。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往一個數(shù)學(xué)問題會有多種不同算法，算法優(yōu)化是解決算法問題的一般方法，但常常達(dá)不到算法優(yōu)化和算理明晰的雙重目的。借助橫向比較策略，聚焦多種算法，既可以優(yōu)化算法，又可以引導(dǎo)學(xué)生在比較中尋找到不同算法中隱藏的盤根錯節(jié)的內(nèi)在聯(lián)系，即運(yùn)算的“理”。因此，在計(jì)算教學(xué)中，教師可以借助比較策略，聚焦不同算法中相同的算理，幫助學(xué)生找準(zhǔn)算理的內(nèi)部關(guān)聯(lián)、識別算理主要特征，展現(xiàn)意義聯(lián)結(jié)，同時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主遷移，類比推理，實(shí)現(xiàn)對算理的再認(rèn)識，以此更好地掌握算法，提高計(jì)算能力。

例如，在教師講解“分?jǐn)?shù)乘以整數(shù)”這一知識點(diǎn)時，學(xué)生依據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)列出分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)連加和小數(shù)乘法三種不同的算式。此時，教師組織學(xué)生進(jìn)行算法優(yōu)化：三種不同的算式都能算出[9/10]，它們之間有什么聯(lián)系嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注不同算法中的內(nèi)在聯(lián)系。學(xué)生依據(jù)已有計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，并結(jié)合圖例，精準(zhǔn)發(fā)現(xiàn)：分?jǐn)?shù)乘法就是求3個[1/10]×3=9個[1/10]；分?jǐn)?shù)連加是3個[1/10]加3個[1/10]加3個[1/10]的和，也就是9個[1/10]；而小數(shù)乘法就是3個0.1×3=9個0.1，也就等于9個[1/10]。因此，三種算法都依據(jù)了3個[1/10]×3=9個[1/10]。通過橫向比較不同的算法，學(xué)生對三種算法的本質(zhì)——“理”有了更清晰的認(rèn)識，也掌握了分?jǐn)?shù)乘以整數(shù)的計(jì)算方法：分子乘以整數(shù)的積作為分子，分母不變。

借助橫向比較，讓學(xué)生經(jīng)歷比較算法的“異”，探尋算理“同”的學(xué)習(xí)過程。在比較中，教師引導(dǎo)學(xué)生聚焦三種不同算法背后相通的算理，以此讓學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法，提高學(xué)生計(jì)算的準(zhǔn)確性。在比較的過程中也培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的眼光看問題的能力，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

2.縱向比較，溝通算法。小學(xué)數(shù)學(xué)中“數(shù)的運(yùn)算”的內(nèi)容是一個相對完整的結(jié)構(gòu)體系?？v向比較小學(xué)階段的運(yùn)算教學(xué)結(jié)構(gòu)體系，其分布呈現(xiàn)點(diǎn)狀特征，這些運(yùn)算知識之間有著密切的聯(lián)系，構(gòu)成完整的運(yùn)算教學(xué)知識脈絡(luò)。因此，在計(jì)算教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生從結(jié)構(gòu)化的視角，打通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算之間的聯(lián)系，在比較這些不同數(shù)的運(yùn)算算法時，將隱含的、抽象的算法串成知識鏈，幫助學(xué)生厘清各種運(yùn)算之間的聯(lián)系。

例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)乘以整數(shù)”算法后，教師提出“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)和以前學(xué)習(xí)的小數(shù)乘整數(shù)、整數(shù)乘法有什么相通之處？”的問題，以此引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)構(gòu)化的視角思考問題。學(xué)生列舉3個算式：20×4=80，0.2×4=0.8，[2/7]×4=[8/7]，并依據(jù)已有的運(yùn)算認(rèn)知，指出3個算式的算理：20×4是2個10乘4等于8個10，就是80；0.2×4是2個0.1×4等于8個0.1， 就是0.8；[2/7]×4是2個[1/7]×4等于8個[1/7] ，就是[8/7]。綜合學(xué)生的分析推理，總結(jié)出都是求幾個“計(jì)數(shù)單位”的和。教師通過縱向比較三類不同的乘法運(yùn)算，幫助學(xué)生加深對分?jǐn)?shù)乘以整數(shù)算理的理解，掌握整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法之間的算法，鞏固分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算法知識。

分?jǐn)?shù)乘法是學(xué)好分?jǐn)?shù)運(yùn)算的關(guān)鍵，讓學(xué)生經(jīng)歷縱向比較算法的過程，不僅能幫助學(xué)生整體建構(gòu)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算方法，體會“計(jì)數(shù)單位”作為運(yùn)算的重要核心概念對四則運(yùn)算的作用，還能在此過程中讓學(xué)生的運(yùn)算能力、概括能力、推理意識得到充分的發(fā)展。

（二）借助數(shù)形，“法”“理”相依

計(jì)算教學(xué)離不開算法的建構(gòu)和算理的表征，既需要讓學(xué)生在直觀中理解算理，也需要讓學(xué)生掌握抽象的算法。曹培英老師曾強(qiáng)調(diào)：“算法和算理是運(yùn)算能力的一體兩翼，尤其是在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，兩者相輔相成，不可偏廢?！币虼?，在教學(xué)時，教師可以借助直觀圖形進(jìn)行操作和演示，以形思數(shù)、以形助“理”，數(shù)形對照，讓抽象的算理可視化，引導(dǎo)學(xué)生循“理”如“法”、以“理”馭“法”，這樣學(xué)生才能真正掌握算法、理解算理。

例如，教師在講解“分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)”知識點(diǎn)時，引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖形進(jìn)行多層次的比較，幫助學(xué)生架起直觀圖形和算式之間的橋梁。學(xué)生依據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)計(jì)算[3/5]×[3/4]=[9/20]，但對結(jié)果的合理性闡述不清?；诖?，教師引導(dǎo)學(xué)生在圖形中進(jìn)行多層次操作，表示出[3/5]×[3/4]。結(jié)合圖形中平均分的操作過程，學(xué)生能準(zhǔn)確表達(dá)[3/5]×[3/4]的算理：在圖中平均分了5份，再平均分4份，一共分了20份；先取了3份，再取3份，一共取了9份。借助圖形上的“分”的操作，把“數(shù)”與“形”有效結(jié)合，在圖形的“分”與算法的比較中，學(xué)生就能理解分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)的算理，掌握分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)的算法：分母相乘的積作為分母，分子相乘的積作為分子。

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)最初的基本概念。教師借助數(shù)與形、操作與算法的比較，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)的算理和畫圖過程有著關(guān)鍵的聯(lián)系。借用形象直觀的語言 “分了再分，一共分了多少份”“取了再取，一共取了多少份”，讓學(xué)生清楚地感受到分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)算法背后的原理——再均分。通過不斷追問、質(zhì)疑、交流，學(xué)生生成對分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)意義和算法的認(rèn)識，真正做到借圖說理、“法”“理”相依，從而提高運(yùn)算能力。

（三）借助錯例，“律”“法”明晰

運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。法則和運(yùn)算律是學(xué)生進(jìn)行四則混合運(yùn)算的基礎(chǔ)，如果不能清晰地理解法則和運(yùn)算律的本質(zhì)，就不能準(zhǔn)確地使用運(yùn)算律去尋求簡潔的運(yùn)算途徑。因此，在運(yùn)算教學(xué)中，教師可以結(jié)合學(xué)生的典型錯題，比較同類錯誤的爭議點(diǎn)，讓學(xué)生從根源上厘清運(yùn)算律的本質(zhì)。這樣有利于學(xué)生準(zhǔn)確運(yùn)用，學(xué)生在觀察、辨析和概括中發(fā)展數(shù)學(xué)眼光，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提高計(jì)算能力。

例如，在學(xué)生學(xué)會乘法運(yùn)算律后，教師讓學(xué)生計(jì)算8×（125+25）和（4×6）×25。教師整理學(xué)生錯題后，比較兩題的典型錯誤：第一題中8只乘以125，沒有乘以25；第二題中25乘以4，25還乘以6。教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注錯誤的根源，提問：分別運(yùn)用了什么運(yùn)算律？在比較中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對運(yùn)算律的認(rèn)識和使用出現(xiàn)了混淆，乘法分配律和乘法結(jié)合律相似，在進(jìn)行簡便運(yùn)算時，學(xué)生受到非運(yùn)算律因素的影響，如8×125和25×4的特征數(shù)，而忽略運(yùn)算律的各自特點(diǎn)與方法。教師引導(dǎo)學(xué)生對比兩個算式的外形特征和兩種運(yùn)算律的本質(zhì)意義，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只有乘法的算式可以運(yùn)用乘法結(jié)合律；括號外是乘法、括號內(nèi)是加法的算式可以運(yùn)用乘法分配律。

計(jì)算中的錯誤，是學(xué)生計(jì)算思維最真實(shí)的直觀呈現(xiàn)。這些錯誤，有的是方法性的，有的是策略性的。讓學(xué)生比較這些計(jì)算錯誤產(chǎn)生的原因，能使學(xué)生在比較中充分認(rèn)識法則和運(yùn)算律的本質(zhì)內(nèi)涵，加深記憶。教師通過對學(xué)生錯誤資源的有效利用，帶領(lǐng)學(xué)生從“錯誤”走向“正確”。

（四）借助問題解決，“估”“算”聯(lián)手

估算在實(shí)際生活中運(yùn)用廣泛，因此培養(yǎng)學(xué)生的估算意識和估算能力尤為重要。在計(jì)算教學(xué)中，學(xué)生缺乏主動估算的意識，只會先“算”再“估”，以此完成估算的要求。因此，在計(jì)算教學(xué)中，教師應(yīng)該設(shè)計(jì)一些“有問題”的情境，通過對比先“算”再“估”和先“估”再“算”兩種解決問題的辦法，讓學(xué)生在解決問題的過程中，增強(qiáng)估算的意識。

例如，在分析“一個長方體鉛塊，長為40厘米，寬為10厘米，高為9厘米，現(xiàn)在把它熔鑄成底面直徑為8厘米、高為12厘米的圓錐形鉛錐，最多可以熔鑄多少個？”這一問題后，教師列出算式：40×10×9 ÷ （[1/3]×3.14×4×4×12）。學(xué)生在筆算后產(chǎn)生了困惑——豎式很難算。教師提出問題：如果不用豎式計(jì)算，采用估算可以得到答案嗎？激發(fā)學(xué)生思考：除數(shù)200.96估成200，3600÷ 200=18，因?yàn)槌龜?shù)估小了，所以商18大一些，最后取整數(shù)17。

估算是生活中經(jīng)常使用的計(jì)算方法之一，既能快速估計(jì)當(dāng)前情況，做出合理判斷，也能較好地發(fā)展學(xué)生的思維能力和計(jì)算能力。在教學(xué)中，教師要多創(chuàng)設(shè)與生活情境相似的問題，引導(dǎo)學(xué)生對比不同的解題策略，促發(fā)其對“估”還是“算”的思考，幫助其增強(qiáng)估算意識，提高估算能力。

在計(jì)算教學(xué)中多角度、多層次地使用比較法，可以更好地讓學(xué)生在比較中掌握算理和算法，搭建算理與算法互通的橋梁，讓學(xué)生深入體會算理和算法的本質(zhì)，感受算法背后的道理，能夠提升學(xué)生思維的靈活性，促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)性思維的發(fā)展，有效提高計(jì)算的準(zhǔn)確性。