邊潔

【摘要】數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂，是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高要求.數(shù)軸是初中學(xué)生初次接觸到的將“數(shù)”與“形”完美結(jié)合起來的數(shù)學(xué)圖形，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個核心概念.在實踐教學(xué)中，教師可以通過合適的例題，巧妙滲透數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)軸；數(shù)形轉(zhuǎn)化

1 問題背景

初中數(shù)學(xué)蘊含的基本數(shù)學(xué)思想并不像概念、公式、定理等會明明白白地寫在教科書上，而是學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，教師以知識為載體，巧妙地滲透.數(shù)軸作為中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的第一個實例，它的出現(xiàn)不僅直觀地體現(xiàn)了“直線上的點”與“有理數(shù)和無理數(shù)”之間的一一對應(yīng)關(guān)系，還揭示了“數(shù)”與“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系——可互相轉(zhuǎn)化，使“數(shù)”的諸多性質(zhì)（大小、正負(fù)等）與衍生概念（絕對值、相反數(shù)等）可以通過數(shù)軸上的點的位置關(guān)系得到生動形象的說明，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)有理數(shù)的運算、類比在數(shù)軸上表示一個數(shù)、嘗試表示空間中一個點的位置（平面直角坐標(biāo)系）等做好了鋪墊.在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計中，教師不僅要引領(lǐng)學(xué)生探究數(shù)軸生成的前因后果，更要在運用數(shù)軸的知識解決問題時帶領(lǐng)學(xué)生感悟相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生完善自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 教學(xué)設(shè)計

2.1 創(chuàng)設(shè)情景，類比生成

（出示PPT）在數(shù)字還沒有產(chǎn)生之前，古代部落的人們會在一根長繩上打上繩結(jié)用來記錄獵物的數(shù)量.他們會在長繩上先系一根紅繩表示什么都沒有；部落里每捕獲一只獵物，就會在紅繩的一邊打一個結(jié)；部落里每吃掉一只獵物就會在紅繩的另一邊打一個結(jié).借助此繩，可以通過數(shù)繩結(jié)記錄一段時間內(nèi)該部落獵物的捕獲與消耗數(shù)量和速度．這便是“繩結(jié)計數(shù)法”.

師：在前兩節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)掌握了用正負(fù)數(shù)表示生活中具有相反意義的量.在這個故事中，你看到具有相反意義的量了嗎？

生：捕獲獵物和吃掉獵物.

師：你能將其用正負(fù)數(shù)表示嗎？

生：捕獲獵物記為正，則吃掉獵物記為負(fù).

師：請你們幫助這個部落的人，利用我們已經(jīng)擁有的“數(shù)字”，完善他們的“繩結(jié)計數(shù)法”.

（引導(dǎo)學(xué)生在每個繩結(jié)下面標(biāo)上相應(yīng)的數(shù)字）

師：同學(xué)們，如果你現(xiàn)在成為了這個部落里的“記錄員”，你可以將這個方法簡潔化嗎？

生：畫一條直線表示長繩；在繩上點一點表示“紅繩”，記作0；在這個點右邊表示捕獲，記作1，2，3，……，左邊表示吃掉，記作－1，－2，－3，……．

師：基于我們這位同學(xué)的研究成果，0稱為“原點”，表示什么都沒有；一般的，我們會規(guī)定向右為正，在直線的右端標(biāo)一個箭頭表示“正方向”；相鄰繩結(jié)之間，也就是相鄰兩個刻度之間的長度稱為“單位長度”，要保持一致.這樣一條，規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線就稱為“數(shù)軸”.

設(shè)計意圖 在實際教學(xué)中，我們可以從更貼合學(xué)生已有的知識角度去為他們編造出一個更容易理解的“數(shù)軸的來源”，從而去為初二學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系埋下伏筆.結(jié)合前兩節(jié)課剛剛學(xué)習(xí)過的，可以用正負(fù)數(shù)表示生活中具有相反意義的量，我為他們創(chuàng)設(shè)的情境是：繩結(jié)計數(shù)法，生動有趣，有益于引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.課堂活動的核心，就是讓學(xué)生參與教學(xué)，尤其是思維的參與.教師給出繩結(jié)計數(shù)的情境，學(xué)生類比生成數(shù)軸的概念，印象比教師直接給出概念來得更深刻.在概念的講解中教師要注意學(xué)生對數(shù)軸三要素“原點”“正方向”“單位長度”的準(zhǔn)確理解.

2.2 概念應(yīng)用，數(shù)形轉(zhuǎn)化

例1 如圖1，寫出數(shù)軸上點A、B、C、D表示的數(shù).

設(shè)計意圖 課堂中學(xué)生的反應(yīng)不能作為絕對的學(xué)習(xí)效果反饋，所以教師在備課時除了教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點，還要關(guān)注易錯點.在這個例題中點D表示的數(shù)如何分析得出，需要教師采取適當(dāng)?shù)淖穯枺簽槭裁词且粋€負(fù)數(shù)？為什么是負(fù)的0.5而不是負(fù)的1.5？其中第二個問題是一個難點，可以從整數(shù)點A輔助分析：－3，在原點左側(cè)，到原點的距離為3個單位長度，即從與原點的相對位置關(guān)系和到原點的距離兩個角度剖析，這樣學(xué)生也就能更為準(zhǔn)確地分析點D表示的數(shù)字.此時教師可以再隨機指一些點讓學(xué)生說出其表示的數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)軸上的每一個點都代表一個數(shù)字，體會由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想.

例2 畫數(shù)軸，把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來.

0，－4，2，－1.5，43，－2，－213.

設(shè)計意圖 這個例題指向畫數(shù)軸和在數(shù)軸上表示有理數(shù).

（1）在很多的教學(xué)設(shè)計中會有單獨的一個例題：“下列數(shù)軸的畫法正確嗎？為什么？”在實際教學(xué)中，雖然學(xué)生能跟著大部隊說出數(shù)軸畫法的錯誤之處，但并不會以此為戒，因為在沒犯錯之前，每個人都會覺得自己不會犯錯.所以筆者舍棄了那個例題.在學(xué)生了解了數(shù)軸的基本概念和教師的板書畫法示范之后，親自動手畫一畫數(shù)軸，動手體驗，學(xué)以致用.在學(xué)生畫數(shù)軸的過程中，教師可以走到學(xué)生中去，觀察尋找錯誤畫法的素材，投影展示，并讓其他同學(xué)糾錯.課堂上生成的問題盡可能在課堂上解決，課堂活動也在師生互動的基礎(chǔ)上融入了生生互動，效果要比憑空出現(xiàn)的案例好得多.

（2）在學(xué)生能夠準(zhǔn)確畫出數(shù)軸的情況下，再將所給的有理數(shù)在數(shù)軸上表示出來.這個題目中涵蓋了各種不同形式的有理數(shù)：整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù).其中整數(shù)和正分?jǐn)?shù)，學(xué)生上手很容易，但負(fù)分?jǐn)?shù)的準(zhǔn)確表示還需要教師輔以必要的引導(dǎo).在例1的鋪墊和講解下，在找表示－1.5的點時，可以拆成兩部分理解：“－”表示在原點的左側(cè)，“1.5”表示距離原點1.5個單位.－213也是一樣的方法.在這個過程中不僅要引導(dǎo)學(xué)生感悟每一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，體會由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化思想；同時通過細(xì)節(jié)分析，提高學(xué)生分析問題的能力，也為后面學(xué)習(xí)絕對值和相反數(shù)做鋪墊，起到承上啟下的作用.

2.3 合作探究，分類討論

合作探究 如圖2所示，將圓放置在原點處，從原點處剪開，平鋪在數(shù)軸上.

問題1 如圖3，若圓的周長為1個單位長度，則剪開的圓的另一端點落至何處？

設(shè)計意圖 將數(shù)軸與其他幾何圖形結(jié)合，有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和幾何直觀素養(yǎng).學(xué)生很容易說出1，教師通過引導(dǎo)學(xué)生注意題目并未說明平鋪的方向，從而啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識到有兩種情況：可能從原點向右平鋪，也可能向左平鋪，這便是分類討論思想.后面學(xué)習(xí)絕對值的代數(shù)意義也需要從正數(shù)、負(fù)數(shù)、0三個角度分類討論，在此處便可以讓學(xué)生提前感受分類討論思想的奇妙之處.

問題2 若圓的直徑為1個單位長度，則剪開的圓的另一端點落至何處？

問題3 所以無理數(shù)可以在數(shù)軸上表示嗎？

問題4 那數(shù)軸上的點一定表示一個有理數(shù)嗎？

設(shè)計意圖 有了問題1的鋪墊，這個問題的兩個關(guān)鍵點便迎刃而解了：圓的周長；注意分類.“無理數(shù)”本身是很抽象的內(nèi)容，而π作為無理數(shù)的典型代表，可以借助圓在數(shù)軸上的運動呈現(xiàn)出來，把抽象的無理數(shù)直觀地展現(xiàn)在數(shù)軸上，有利于學(xué)生更深刻地感知數(shù)、認(rèn)識數(shù)、理解數(shù)，建立良好的數(shù)感，從而理解無理數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示；反之，數(shù)軸上的每一個點，可能表示一個有理數(shù)，也可能表示一個無理數(shù).在這個環(huán)節(jié)中，注意讓學(xué)生充分觀察與思考、討論與探究，激發(fā)學(xué)生主動探索的主觀能動性，培養(yǎng)學(xué)生運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，加深對無理數(shù)的認(rèn)識.

問題5 如圖4，若周長為1個單位長度的圓放置在數(shù)軸上表示數(shù)1的點處，并將圓從此處剪開平鋪在數(shù)軸上，則剪開的圓的另一端點落至何處？

設(shè)計意圖 進(jìn)一步強化學(xué)生的分類討論意識.去除背景，這個問題也就是：數(shù)軸上到表示數(shù)1的點距離1個單位長度的數(shù)為？或者將數(shù)軸上表示數(shù)1的點平移1個單位長度，表示的數(shù)為？在學(xué)完絕對值后，將這個問題符號化，也就是：若｜x－1｜＝1，求x的值……這些都是同一個問題在不同情境下的不同呈現(xiàn)，學(xué)生的理解角度也會隨著知識的深入而變化.在此處學(xué)生可以借助圖形理解題意，同時培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想意識.爭取使學(xué)生做到胸中有圖、見數(shù)想圖，提高學(xué)生靈活借助幾何圖形解決代數(shù)問題的能力.課堂中一些小小的變式往往會有點睛之筆的效果，更利于學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng).

2.4 師生小結(jié)，深度生成

說說你對數(shù)軸的認(rèn)識.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生完善思維導(dǎo)圖，直觀地將本節(jié)課的知識點呈現(xiàn)出來，不僅考察學(xué)生對本節(jié)課的掌握情況，更是對學(xué)生歸納概括能力的提升.

2.5 知識運用，拓展延伸

如圖6，在數(shù)軸上A點所表示的數(shù)為π.

（1）若A、B兩點到原點的距離相等，那么點B所表示的數(shù)是多少？

（2）寫出A、B兩點之間的所有整數(shù).

（3）如果有一個點到A點的距離為2，那么這個點所表示的數(shù)是多少？

設(shè)計意圖 緊扣本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：會正確畫出數(shù)軸；會用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，能說出數(shù)軸上（表示有理數(shù)）的點所表示的數(shù)；知道有理數(shù)和無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，數(shù)軸上的任意一點都表示一個有理數(shù)或無理數(shù).

3 結(jié)語

著名的數(shù)學(xué)教育家米山國藏先生在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》中明確提出：學(xué)生在初中、高中等所接受的數(shù)學(xué)知識，因離開學(xué)校進(jìn)入社會沒有機會應(yīng)用，這種作為知識的數(shù)學(xué)通常出校門后不到一兩年就會忘掉.然而，不管他從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維方式、探究問題的方式、推理方法和著眼點等，卻隨時隨地地發(fā)揮著作用.雖然我們并不會真的借助方程、函數(shù)去買菜，但學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)給我們帶來的轉(zhuǎn)化思想——換位思考、分類思想——全面周全、數(shù)形結(jié)合——資源的充分利用，其實滲透在生活中的角角落落.生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)才來源于生活.為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？因為我們觸手可及，因為數(shù)學(xué)妙不可言.能在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的背后，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思想得到更本質(zhì)的升華，是我們課堂教學(xué)的最高境界.

參考文獻(xiàn)：

［1］何萍.一次難忘的教學(xué)經(jīng)歷——“數(shù)軸”一課的三次教學(xué)及其反[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（08）：5-7.

［2］汪曉勤，栗小妮.數(shù)學(xué)史與初中數(shù)學(xué)教學(xué)：理論、實踐與案例[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2019：341-357.

［3］龐彥福.初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2015：130-131.