劉 偉 劉 洋 李雙喜 翟志興 魏文豪

(北京化工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院, 北京 100029)

引 言

滾動(dòng)軸承在風(fēng)力渦輪機(jī)、航空發(fā)動(dòng)機(jī)等高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中發(fā)揮著重要作用。 軸承故障作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械最常見(jiàn)的故障之一,一直是故障診斷領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[1-4]。 在機(jī)械設(shè)備的故障診斷中,往往先從傳感器采集到的時(shí)域信號(hào)中獲取設(shè)備在各個(gè)時(shí)刻的運(yùn)行狀態(tài),然后對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換(Fourier transform,FT)并描述信號(hào)的頻率分布情況,通過(guò)將頻率信息與故障頻率進(jìn)行對(duì)比來(lái)診斷故障。 然而在實(shí)際應(yīng)用中,僅僅依靠時(shí)域或頻域信息判斷設(shè)備的健康狀況存在一定困難,在此背景下,時(shí)頻分析(time-frequency analysis,TFA)方法應(yīng)運(yùn)而生。

時(shí)頻分析是一種將一維時(shí)域信號(hào)映射到二維時(shí)頻空間的表征方法,它能夠反映頻率隨時(shí)間的變化關(guān)系和各個(gè)時(shí)頻點(diǎn)的能量強(qiáng)度[5]。 常用的線(xiàn)性時(shí)頻分析方法包括短時(shí)傅里葉變換(short-time Fourier transform,STFT)、連續(xù)小波變換(continuous wavelet transform,CWT)和S 變換等。 Auger 等[6]使用重排方法(reassigned method,RM)對(duì)時(shí)頻表示(time-frequency representation, TFR)進(jìn)行后處理,該方法通過(guò)將時(shí)頻空間中的分散能量聚集到其附近的重心來(lái)減少混疊現(xiàn)象,然而同時(shí)在時(shí)間軸和頻率軸壓縮能量會(huì)導(dǎo)致相位信息丟失,這使得該算法存在不可逆性的缺陷。 為了解決這一難題,Daubechies 等[7]提出了同步壓縮變換(synchrosqueezing transform,SST),其核心思想是沿頻率方向?qū)FR 進(jìn)行能量重排,雖然可讀性不如RM 方法,但是該方法具備信號(hào)重構(gòu)能力,且SST 及其高階版本已經(jīng)在STFT、CWT和S 變換的應(yīng)用中取得顯著成效[8-10]。 盡管SST在一定程度上提升了線(xiàn)性TFA 方法的能量集中度,但由于線(xiàn)性TFA 方法本身是通過(guò)信號(hào)和基函數(shù)間的內(nèi)積來(lái)定位局部的時(shí)變特征,導(dǎo)致該類(lèi)方法在處理強(qiáng)時(shí)變信號(hào)時(shí)效果不佳。 為此,Yu 等[11-12]提出了多重同步壓縮變換(multi-synchrosqueezing transform,MSST),這是一種對(duì)TFR 進(jìn)行多次SST 操作以提升時(shí)頻分辨率的迭代算法,缺點(diǎn)是會(huì)犧牲少量計(jì)算成本。 上述方法通常適用于轉(zhuǎn)子碰摩和齒輪故障的診斷。 然而,針對(duì)軸承缺陷產(chǎn)生的脈沖信號(hào),需要使用時(shí)間分辨率較高的時(shí)頻分析方法來(lái)處理,上述方法對(duì)脈沖信號(hào)的特征提取效果不佳。 最近,He等[13]提出時(shí)間重排同步壓縮變換(time-reassigned synchrosqueezing transform,TSST),該方法將TFR 中分散的時(shí)頻系數(shù)重新分配到群延時(shí)算子(group delay operator,GDO),從而大大提高了時(shí)間方向的分辨率,這對(duì)于脈沖特征提取非常重要。

受S 變換、MSST 和TSST 的啟發(fā),本文提出一種新的時(shí)頻分析方法—時(shí)間重排多重同步壓縮S 變換( time-reassigned multisynchrosqueezing S-transform,TMSSST),該方法對(duì)GDO 進(jìn)行多次迭代,使得時(shí)頻系數(shù)重排目標(biāo)越來(lái)越集中,并接近真實(shí)脈沖軌跡。 相較于傳統(tǒng)方法,該方法適用于具有快速變化特征的脈沖信號(hào)。 同時(shí),通過(guò)對(duì)TFR 進(jìn)行時(shí)頻掩碼(time-frequency masking,TFM)可實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的降噪處理。 對(duì)于軸承故障,該方法能夠獲得時(shí)間分辨率較高的時(shí)頻分布,在此基礎(chǔ)上可更準(zhǔn)確地獲取脈沖間隔從而提取故障頻率。 最后通過(guò)軸承故障的模擬信號(hào)和實(shí)驗(yàn)信號(hào)驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 TMSSST 方法

1.1 S 變換

對(duì)于能量有限的信號(hào)f,其頻域S 變換可以定義為

式中,A(ω)和?(ω)分別表示振幅和相位,-?′(ω)是理想的GDO。 式中的高斯函數(shù)為g(t) =()-1e-t2/2σ2, 其傅里葉變換為(ω) =e-ω2σ2/2,這里σ是調(diào)整窗寬的重要參數(shù),本文定義σ=()-1,這可以在一定程度上緩解測(cè)不準(zhǔn)定律。 其中(·^) 表示傅里葉變換,(·)*表示復(fù)共軛。

1.2 時(shí)間重排同步壓縮S 變換

時(shí)間重排同步壓縮S 變換(TSSST)的核心思想是在S 變換的時(shí)間方向進(jìn)行能量重排,即(t,ω)→((t,ω),ω)。 該方法建立在弱變頻信號(hào)的假設(shè)上,即對(duì)于任意頻率ω,都存在ε使得max{A′(ω),?″(ω)}≤ε,故(η)可以定義為

將式(3)代入式(2)得到

對(duì)式(4)求導(dǎo)可得GDO

聯(lián)立式(4)和式(5),沿時(shí)間方向積分可將模糊的時(shí)頻能量聚集到GDO 上。

1.3 時(shí)間重排多重同步壓縮S 變換

TMSSST 具備處理強(qiáng)變頻信號(hào)的能力,對(duì)該類(lèi)信號(hào)而言,對(duì)于任意頻率ω,都存在ε使得max{A′(ω),??(ω)}≤ε,則根據(jù)泰勒公式,該信號(hào)可以展開(kāi)為

將式(7)代入式(4)得到

聯(lián)立式(5)和(8)得到

對(duì)SST 變換后的TFR 再次進(jìn)行壓縮,得到新的GDO 為

對(duì)比式(9)和式(10)所得GDO 與真實(shí)GDO(式(5))間的差值,可知再次壓縮后的GDO 更加接近理想值。 文獻(xiàn)[12]中定義N次壓縮后的GDO 為^t[N](t,ω),故TMSSST 方法中的GDO 可以定義為

可見(jiàn),當(dāng)N趨近無(wú)窮大時(shí),^t[N](t,ω)就是理想的GDO。 因此,TMSSST 的表達(dá)式為

1.4 TMSSST 的信號(hào)重構(gòu)和降噪

沿時(shí)間方向?qū)[N](u,ω)積分,即可獲得信號(hào)的重構(gòu)表達(dá)式

從復(fù)雜信號(hào)中提取有效的脈沖特征可以實(shí)現(xiàn)軸承故障診斷。 脈沖信號(hào)通常具有寬頻特征,故常通過(guò)最顯著時(shí)頻振幅的頻率點(diǎn)來(lái)描述脈沖之間的間隔[12]。 由TMSSST 獲得的TFR 中每個(gè)頻率點(diǎn)的包絡(luò)頻率的最大值可以表示為

式中,α(ω)為T(mén)[N](:,ω)的平均值。

為了分離信號(hào)中的脈沖分量和其他分量,需要在重構(gòu)過(guò)程中利用MF1(u,ω)和MF2(u,ω)對(duì)T[N](u,ω)進(jìn)行時(shí)頻掩碼操作,從而得到高信噪比的時(shí)域信號(hào)。

式中,β和γ分別表示MF(ω)和∫MF1(u,ω)·|T[N](u,ω)|dω的平均值。 濾波后的重構(gòu)信號(hào)表達(dá)式如下。

基于上述TMSSST 的理論推導(dǎo),給出該算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下。

1)初始化 輸入信號(hào)s,迭代數(shù)N。

2)計(jì)算STGg[h,m],Gdg[h,m]。

3)計(jì)算初始GDO

2 TMSSST 在軸承故障診斷中的應(yīng)用

為了說(shuō)明所提方法在工程應(yīng)用中的潛力,本節(jié)采用一組軸承內(nèi)圈故障模擬信號(hào)和凱斯西儲(chǔ)大學(xué)的軸承內(nèi)外圈故障實(shí)驗(yàn)信號(hào)對(duì)TMSSST 進(jìn)行驗(yàn)證,并將所得結(jié)果與傳統(tǒng)時(shí)頻分析方法作對(duì)比。 此外,采用Renyi 熵對(duì)時(shí)頻分布的能量聚焦性進(jìn)行定量表征。 Renyi 熵是一種常用于度量時(shí)頻分布能量分散度的指標(biāo)[14],其值越小表示時(shí)頻分布的能量越聚焦,在本文中其計(jì)算公式為

2.1 模擬信號(hào)驗(yàn)證

滾動(dòng)軸承的局部故障會(huì)在軸承和傳感器之間產(chǎn)生高頻振動(dòng)[15]。 為了驗(yàn)證TMSSST 方法處理故障沖擊引起的軸承共振信號(hào)的效果,模擬一組變轉(zhuǎn)速的軸承外圈故障信號(hào)s(t)[16]

式中,t和θ分別為離散時(shí)間變量和角變量,P為周期調(diào)制函數(shù),Q為非負(fù)調(diào)幅周期函數(shù),N為高斯分布函數(shù),h為脈沖響應(yīng)函數(shù)。 本文所用仿真信號(hào)采樣頻率為10 kHz,軸承的滾動(dòng)體直徑d、節(jié)圓直徑D、滾動(dòng)體數(shù)z、軸承接觸角A、轉(zhuǎn)頻f以及對(duì)應(yīng)的故障頻率fo如表1 所示。

表1 工況、結(jié)構(gòu)參數(shù)和故障頻率Table 1 Operating conditions, structural parameters and fault frequency

軸承內(nèi)圈和外圈故障頻率計(jì)算公式分別為

該模擬信號(hào)的時(shí)域波形圖如圖1(a)所示,可見(jiàn)該信號(hào)的沖擊明顯且規(guī)律,其間隔與故障頻率大致吻合,且隨著轉(zhuǎn)速的線(xiàn)性變化而變化。 但在實(shí)際工況中,采集到的信號(hào)往往混疊著大量噪聲。 為此,將高斯噪聲加至模擬信號(hào)中得到信噪比(signal-tonoise ratio,SNR)為0 dB 的含噪聲信號(hào)(圖1(b)),其對(duì)應(yīng)的頻譜圖如圖1(c)所示。 由圖可看出在噪聲影響下難以提取故障特征,觀察頻譜信息僅能發(fā)現(xiàn)其主要頻率分布在2 ～4 kHz。

圖1 模擬信號(hào)、含噪信號(hào)及其頻譜Fig.1 Simulated signal, noisy signal and its amplitude spectrum

為了提取潛在的故障特征,圖2 顯示了ST、同步壓縮S 變換(synchrosqueezing S-transform,SSST)、二階同步壓縮S 變換(2-order synchrosqueezing Stransform,SSST2)、TSSST 和TMSSST 的TFR。 從圖中可以看出,ST 能夠檢測(cè)出每個(gè)瞬態(tài)沖擊的能量和頻帶,但受限于測(cè)不準(zhǔn)定律,其TFR 能量發(fā)散嚴(yán)重。SSST 和SSST2 雖然大大提高了TFR 的時(shí)頻分辨率,然而沿頻率方向的能量壓縮使得該類(lèi)方法難以檢測(cè)出沖擊故障。 TSSST 在時(shí)間方向重新分配能量,從而大大提升了脈沖特征的可讀性,不過(guò)由于其只使用了一階GDO 且僅進(jìn)行單次迭代,產(chǎn)生的模糊結(jié)果不適用于故障的精確分析。 TMSSST顯示出能量高度集中的TFR,且可以清楚地觀察到初始和結(jié)束的脈沖間隔分別為10.7 ms 和5.5 ms,對(duì)應(yīng)的故障頻率分別為1/10.7 ms =93.5 Hz 和1/5.5 ms =181.8 Hz,與外圈故障頻率接近,可以作為故障識(shí)別依據(jù)。

圖2 各時(shí)頻分析方法的時(shí)頻分布結(jié)果Fig.2 TFR results of each time-frequency analysis method

表2 給出了上述方法的Renyi 熵值,可以看出TMSSST 的Renyi 熵值小于其他方法,表明該方法結(jié)果的時(shí)頻能量聚焦性最佳。 為了進(jìn)一步分析不同方法對(duì)于噪聲的魯棒性,對(duì)比了上述方法在信噪比為-5 ～15 dB 條件下的Renyi 熵值,如圖3 所示。 可以看出對(duì)于脈沖信號(hào),頻率方向能量壓縮對(duì)噪聲并不敏感,在不同噪聲等級(jí)下,TMSSST 方法的Renyi熵均為最低。 此外,圖4 顯示了模擬信號(hào)與TMSSST和TSSST 的重構(gòu)結(jié)果對(duì)比,可見(jiàn)相比于含噪聲信號(hào),TMSSST 濾波后重構(gòu)的信號(hào)與原始信號(hào)之間的誤差較小,且具有明顯的脈沖特征,更適合實(shí)際應(yīng)用中的故障診斷,而TSSST 的重構(gòu)波形仍包含大量的噪聲,與原始信號(hào)的誤差較大。

圖3 模擬信號(hào)在信噪比為-5 ～15 dB 下不同方法的Renyi 熵Fig.3 Renyi entropy of the different methods for simulated signals with SNR of -5 to 15 dB

圖4 TMSSST 和TSSST 的重構(gòu)結(jié)果與原始信號(hào)對(duì)比Fig.4 Reconstruction of TMSSST and TSSST results compared with the original signal

表2 不同方法的Renyi 熵Table 2 Renyi entropy of different methods

2.2 實(shí)驗(yàn)信號(hào)驗(yàn)證

2.2.1 實(shí)驗(yàn)信號(hào)

以凱斯西儲(chǔ)大學(xué)數(shù)據(jù)中心提供的兩種類(lèi)型故障的數(shù)據(jù)集為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[17],對(duì)本文所提方法進(jìn)行驗(yàn)證。 實(shí)驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)如圖5 所示,由電機(jī)、扭矩傳感器和測(cè)力計(jì)等組成。 實(shí)驗(yàn)通過(guò)電火花加工在軸承內(nèi)圈和外圈兩處引發(fā)故障,振動(dòng)信號(hào)由置于電機(jī)殼體驅(qū)動(dòng)端的加速度傳感器記錄。 該實(shí)驗(yàn)的工況和軸承結(jié)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)如表3 所示,各參數(shù)的定義同表1。

圖5 軸承實(shí)驗(yàn)臺(tái)Fig.5 Bearing experiment rig

表3 工況、結(jié)構(gòu)參數(shù)和故障頻率Table 3 Operating conditions, structural parameters and fault frequency

2.2.2 外圈故障信號(hào)分析

圖6 顯示了外圈故障信號(hào)的時(shí)域波形圖及其頻譜,可以觀察到一些重復(fù)性的瞬態(tài)沖擊,且信號(hào)的主要頻率分布在1 ～2 kHz。 圖7 顯示了ST、SSST、SSST2、TSSST 和TMSSST 的TFR 結(jié)果。 可以看到,ST 僅僅能夠提供模糊的瞬態(tài)信息,難以實(shí)現(xiàn)精確定位;SSST 和SSST2 的結(jié)果在頻率方向上的分辨率較好;從TSSST 的結(jié)果中能發(fā)現(xiàn)較明顯的脈沖特征,但其能量有輕微的發(fā)散現(xiàn)象;TMSSST 提供了高分辨率的TFR,并能從中定位出脈沖的沖擊間隔為9.2 ms 左右,對(duì)應(yīng)的頻率為1/9.3 ms=108.7 Hz,基本可以據(jù)此判斷該軸承存在外圈缺陷。 此外,表4列出了不同時(shí)頻分析方法對(duì)應(yīng)的Renyi 熵,從表中數(shù)值上也能看出TMSSST 是提取脈沖特征的最佳方法。

圖6 外圈故障信號(hào)的波形和頻譜Fig.6 Waveform and spectrum of the outer ring fault signal

圖7 各時(shí)頻分析方法的時(shí)頻分布結(jié)果Fig.7 TFR results of each time-frequency analysis method

表4 圖7 中不同方法的Renyi 熵Table 4 Renyi entropy of the different methods shown in Fig.7

2.2.3 內(nèi)圈故障信號(hào)分析

帶有軸承內(nèi)圈故障的振動(dòng)信號(hào)如圖8 所示。 從圖中可以看出該信號(hào)混疊著大量的噪聲,瞬態(tài)特征并不顯著,能量主要分布在1 ～2 kHz。 圖9 給出了軸承內(nèi)圈故障信號(hào)的ST、 SSST、 SSST2、 TSSST和TMSSST 的TFR 結(jié)果。 同樣地,TMSSST 提供了最具可讀性的TFR,且能夠準(zhǔn)確定位沖擊間隔為6.1 ms,根據(jù)其對(duì)應(yīng)的頻率1/6.1 ms =163.9 Hz 可以判定該軸承存在內(nèi)圈缺陷。 同樣,表5 列出了不同時(shí)頻分析方法的Renyi 熵,可以看出TMSSST 結(jié)果的Renyi 熵低于其他方法,同樣說(shuō)明其TFR 能量集中度最高。

圖8 內(nèi)圈故障信號(hào)的波形和頻譜Fig.8 Waveform and spectrum of the inner ring fault signal

圖9 各時(shí)頻分析方法的時(shí)頻分布結(jié)果Fig.9 TFR results of each time-frequency analysis method

表5 圖9 中不同時(shí)頻分析方法的Renyi 熵Table 5 Renyi entropy of the different methods shown in Fig.9

3 結(jié)論

本文提出一種新的時(shí)頻分析方法—時(shí)間重排多重同步壓縮S 變換(TMSSST),并將其應(yīng)用于軸承故障診斷。 該方法通過(guò)計(jì)算群延時(shí)算子來(lái)捕獲脈沖特征,并采用多次迭代算法解決時(shí)頻能量發(fā)散問(wèn)題,因此可以更好地處理具有強(qiáng)時(shí)變特征的復(fù)雜信號(hào)。 所提方法的優(yōu)勢(shì)在于能夠在時(shí)間方向產(chǎn)生能量高度集中的時(shí)頻分布,這對(duì)于軸承故障診斷非常關(guān)鍵。 使用噪聲污染的模擬信號(hào)驗(yàn)證了TMSSST 方法的重構(gòu)能力和去噪能力;模擬信號(hào)和實(shí)驗(yàn)信號(hào)的對(duì)比結(jié)果都表明,相比ST、SSST、SSST2 和TSSST 等方法,TMSSST 能夠提供時(shí)頻能量更加集中的時(shí)頻分布,可以準(zhǔn)確地提取脈沖類(lèi)的故障特征。