永磁直線同步電機(jī)自適應(yīng)反推非奇異終端滑?？刂?/h1>
2023-12-28 09:13:58趙希梅
微特電機(jī) 2023年11期
張 悅,趙希梅
(沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院,沈陽 110870)
0 引 言
永磁直線電機(jī)省去了中間機(jī)械傳動(dòng)環(huán)節(jié),以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、可靠性高、定位精度高、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn),適用于高速高精度要求的場(chǎng)合,廣泛應(yīng)用于高檔數(shù)控機(jī)床、半導(dǎo)體制造、工業(yè)機(jī)器人等各類精密加工領(lǐng)域[1]。但直接驅(qū)動(dòng)方式也導(dǎo)致了各種擾動(dòng)將直接作用在電機(jī)動(dòng)子上,限制了系統(tǒng)位置跟蹤精度的提高[2]。因此,快速準(zhǔn)確的擾動(dòng)抑制是實(shí)現(xiàn)動(dòng)子高精度跟蹤的關(guān)鍵所在,這就對(duì)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提出了苛刻要求。
眾所周知,滑模控制(以下簡(jiǎn)稱SMC)具有設(shè)計(jì)簡(jiǎn)便、控制效果好、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),在電機(jī)控制領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)SMC采用線性滑模面,其跟蹤誤差的收斂時(shí)間無窮大;另外由于系統(tǒng)固有延遲及慣性問題的影響,系統(tǒng)狀態(tài)軌跡會(huì)在滑模面附近頻繁切換,產(chǎn)生高頻抖振,增加系統(tǒng)的電損耗和機(jī)械損耗,因此難以滿足高性能場(chǎng)合下的控制要求。而引入非線性項(xiàng)的終端SMC,可以使得被控狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂,成為了該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[3]。文獻(xiàn)[4]提出了非奇異快速終端SMC方法,避免了普通終端滑模中控制量無窮大的問題,并使其在系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)的位置也能得到較快的收斂,但外部擾動(dòng)出現(xiàn)時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。文獻(xiàn)[5]在非奇異快速終端滑模中引入自適應(yīng)控制算法,對(duì)系統(tǒng)的不確定性上界進(jìn)行自適應(yīng)補(bǔ)償,減小了滑模切換增益,削弱了抖振現(xiàn)象,提高了系統(tǒng)魯棒性。
近年來,反推控制得到了廣泛關(guān)注,作為一種非線性系統(tǒng)控制策略,運(yùn)用遞歸的思想,先引入虛擬控制輸入項(xiàng),將系統(tǒng)分解為低階子系統(tǒng),同時(shí)選擇合適的Lyapunov函數(shù),在保證各子系統(tǒng)的穩(wěn)定性的同時(shí),實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的全局調(diào)節(jié)[6]。文獻(xiàn)[7]提出了反推全局快速終端滑?？刂频姆椒?將反推與SMC相結(jié)合,先對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行分解,再利用全局快速終端SMC,使得系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近也能夠?qū)崿F(xiàn)快速收斂。但其控制器中指數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù),使系統(tǒng)控制量可能會(huì)趨于無窮大,進(jìn)而產(chǎn)生奇異現(xiàn)象。文獻(xiàn)[8]在全局積分終端滑模的基礎(chǔ)上,引入RBF徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擾動(dòng)觀測(cè)器,進(jìn)一步減小切換增益,削弱抖振。針對(duì)擾動(dòng)問題,文獻(xiàn)[9]通過非奇異快速終端SMC方法實(shí)現(xiàn)了永磁直線電機(jī)位置跟蹤誤差的快速收斂,并將系統(tǒng)集總擾動(dòng)通過高階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器反饋給滑模控制器,減小了系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象。其中非線性擾動(dòng)觀測(cè)器由于其計(jì)算簡(jiǎn)單,且能做到對(duì)非線性系統(tǒng)狀態(tài)的全部觀測(cè),獲得了廣泛應(yīng)用[10-11]。文獻(xiàn)[12]針對(duì)系統(tǒng)外部干擾,采用非線性擾動(dòng)觀測(cè)器(以下簡(jiǎn)稱NDO)進(jìn)行實(shí)時(shí)辨識(shí)并補(bǔ)償,提高了系統(tǒng)的跟蹤精度和抗干擾能力。
本文提出基于NDO的自適應(yīng)反推非奇異終端滑?？刂?以下簡(jiǎn)稱NDO-ABNTSMC)方法,將NDO與反推非奇異終端滑?？刂?以下簡(jiǎn)稱BNTSMC)相結(jié)合,首先通過反推控制將系統(tǒng)降階處理,再利用BNTSMC實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)有限時(shí)間內(nèi)的快速收斂,并利用自適應(yīng)控制適時(shí)調(diào)整滑模控制器切換項(xiàng),削弱滑模抖振。然后采用NDO觀測(cè)系統(tǒng)的集總擾動(dòng),并前饋補(bǔ)償給滑模位置控制器,以提高系統(tǒng)的魯棒性。最后,通過仿真對(duì)本控制方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。
1 數(shù)學(xué)模型
(1)
式中:ud、uq、id、iq、Ld、Lq分別為d、q軸的電壓、電流和電感;Rs為電樞電阻;ψPM為永磁體磁鏈;p為極對(duì)數(shù);x2為直線電機(jī)動(dòng)子速度;τ為極距。
電機(jī)電磁推力可表示:
(2)
(3)
式中:Kf為電磁推力系數(shù)。PMLSM動(dòng)力學(xué)方程可表示:
(4)
式中:M為PMLSM的動(dòng)子質(zhì)量;B為粘滯摩擦系數(shù);Γ表示系統(tǒng)集總不確定擾動(dòng),包括參數(shù)變化、負(fù)載擾動(dòng)、非線性摩擦力、端部效應(yīng)及齒槽效應(yīng)等。
2 PMLSM控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)
2.1 反推非奇異終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
PMLSM實(shí)現(xiàn)高精度位置跟蹤的控制,要求在擾動(dòng)情況下,電機(jī)動(dòng)子仍可以準(zhǔn)確跟蹤給定參考軌跡。因此,本文利用非奇異終端滑模的快速收斂性,再結(jié)合反推算法,逐步推導(dǎo)出實(shí)際的控制律,實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的全局控制,基于NDO-ABNTSMC的PMLSM系統(tǒng)控制框圖如圖1所示。
圖1 基于NDO-ABNTSMC的PMLSM系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)框圖
首先,定義位置跟蹤誤差:
e=x1-xd
(5)
式中:xd為給定參考位置;x1為動(dòng)子的實(shí)際位置。
(6)
式中:x2為動(dòng)子的實(shí)際速度。
定義穩(wěn)定函數(shù):
α1=-k1e+s
(7)
式中:k1>0;s為滑模面。
為保證穩(wěn)定性,構(gòu)造第一個(gè)Lyapunov函數(shù):
(8)
求導(dǎo)可得:
(9)
其次,定義虛擬控制輸入:
(10)
(11)
則:
(12)
將式(11)代入式(9)中可得:
(13)
當(dāng)s→0時(shí),有:
(14)
由Lyapunov定理可知,當(dāng)s→0時(shí),位置跟蹤誤差e漸進(jìn)穩(wěn)定。
接著,選定非奇異終端滑模面:
(15)
式中:設(shè)計(jì)參數(shù)c1,c2>0;m,n為正奇數(shù),且滿足1(16)
為證明穩(wěn)定性并保證系統(tǒng)狀態(tài)變量始終保持在滑模面s上,構(gòu)造第二個(gè)Lyapunov函數(shù):
(17)
求導(dǎo)可得:
(18)
代入式(11)和式(12),可整理得:
(19)
(20)
另外,選擇切換控制律:
(21)
式中:δ,η>0,為待設(shè)計(jì)的控制參數(shù),其中η為一較小值,δ為切換增益,且滿足系統(tǒng)集總擾動(dòng)|Γ|≤δ,通過選擇合適的δ值,可以削弱滑模抖振現(xiàn)象。
由此,系統(tǒng)總的控制律:
(22)
將式(22)代入式(19)得:
(23)
2.2 自適應(yīng)反推非奇異終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
實(shí)際仿真過程中,集總擾動(dòng)Γ的上界是很難獲得的,通常采用試湊法來選定切換增益δ的值,而切換增益過大會(huì)加劇系統(tǒng)抖振,過小則會(huì)降低系統(tǒng)的抗擾能力。為此,本文在BNTSMC中引入自適應(yīng)控制方法,自適應(yīng)調(diào)整切換增益,從而對(duì)系統(tǒng)抖振與抗擾效果進(jìn)行折衷考慮。
令λ=δ+η,則估計(jì)誤差:
(24)
(25)
對(duì)V3求導(dǎo),并結(jié)合式(23)和式(24)得:
(26)
(27)
此時(shí),自適應(yīng)切換控制律表示:
(28)
將式(27)代入式(26)可得到:
(29)
由Lyapunov第二方法可知,此時(shí)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。
2.3 NDO的設(shè)計(jì)
采用NDO對(duì)集總擾動(dòng)Γ進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償,來進(jìn)一步提高系統(tǒng)的魯棒性。NDO主要通過觀測(cè)器估計(jì)值與實(shí)際輸出之間的差值來對(duì)估計(jì)值進(jìn)行調(diào)整,其控制結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。
圖2 NDO結(jié)構(gòu)框圖
系統(tǒng)的集總擾動(dòng):
(30)
引入觀測(cè)器增益L,則NDO設(shè)計(jì):
(31)
定義輔助變量對(duì)式(31)進(jìn)行降階處理,即:
(32)
對(duì)式(32)求導(dǎo)可得:
(33)
即整理得到如下的NDO:
(34)
定義NDO的跟蹤誤差:
(35)
求導(dǎo)得:
(36)
(37)
引入非線性擾動(dòng)觀測(cè)器后,可對(duì)集總擾動(dòng)Γ進(jìn)行觀測(cè),因此系統(tǒng)的控制律中無需再忽略集總擾動(dòng)項(xiàng),此時(shí)系統(tǒng)等效控制律表示:
(38)
代入式(28)和式(38),系統(tǒng)總的控制律由式(22)變?yōu)?
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
對(duì)式(43)兩端同時(shí)積分,可得:
(44)
因此,當(dāng)t≥0時(shí),Lyapunov函數(shù)非增且有界。又因?yàn)閑、s有界,當(dāng)t→∞時(shí),則有:
(45)
由Barbalat引理,k1e2+λ|s|有界,因此有
(46)
可推出s和e漸進(jìn)收斂,因此基于NDO的ABNTSMC方法可以使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,保證系統(tǒng)位置跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)衰減為零。
3 系統(tǒng)仿真結(jié)果及其分析
PMLSM的主要參數(shù):Rs=2.1 Ω,Ld=Lq=41.4 mH,ψPM=0.09 Wb,τ=32 mm,M=16.4 kg,Kf=50.7 N/A,B=8.0 N·s/m。
其中SMC控制器參數(shù):c=18,δ=18,η=0.1;ABNTSMC控制器參數(shù):c1=200,c2=10,m=5,n=3,k1=5,r1=1 200;NDO-ABNTSMC控制器參數(shù):c1=90,c2=1,m=5,n=3,k1=5,r1=1 200,L=2 000。
首先,驗(yàn)證NDO的擾動(dòng)觀測(cè)能力,為便于分析,忽略電機(jī)內(nèi)部參數(shù)的變化,而只改變電機(jī)的外加負(fù)載情況,施加如圖3所示的突加負(fù)載?？梢钥闯?0.5 s時(shí)負(fù)載由零突變?yōu)?0 N,NDO可以較好地觀測(cè)負(fù)載變化,在4 ms內(nèi)逐漸逼近真實(shí)值,且?guī)缀鯚o波動(dòng)。由此可見,本文所設(shè)計(jì)的NDO具備較高的觀測(cè)速度與觀測(cè)精度。
圖3 突加負(fù)載實(shí)際值與觀測(cè)值曲線
為驗(yàn)證有效性,分別對(duì)SMC、ABNTSMC、NDO-ABNTSMC三種方法控制的PMLSM伺服系統(tǒng)在不同工況下進(jìn)行對(duì)比。
1)驗(yàn)證本方法在階躍信號(hào)下的響應(yīng)性能。
系統(tǒng)空載起動(dòng),跟蹤幅值為1 mm的階躍信號(hào),并在0.8 s時(shí)刻突加100 N的負(fù)載擾動(dòng),觀察系統(tǒng)的響應(yīng)情況。三種控制方法的位置響應(yīng)曲線如圖4所示。
由圖4可以看出,隨著電機(jī)空載起動(dòng),SMC方法緩慢跟蹤給定信號(hào),并在突加100 N負(fù)載時(shí),立即偏離跟蹤信號(hào),穩(wěn)定后始終維持著平均25 μm左右的穩(wěn)態(tài)誤差;而ABNTSMC和NDO-ABNTSMC方法具有更快的響應(yīng)速度,電機(jī)空載起動(dòng)后大約0.05 s到達(dá)了期望軌跡,其中ABNTSMC方法下系統(tǒng)在起動(dòng)期間有約20%的超調(diào)量,在0.8 s突加負(fù)載后產(chǎn)生較大的偏移量,雖然在約0.6 s時(shí)可收斂至跟蹤信號(hào),但其突加負(fù)載瞬間產(chǎn)生誤差較大,可達(dá)到0.13 mm,且收斂緩慢;而基于NDO-ABNTSMC方法在電機(jī)起動(dòng)期間避免了超調(diào)現(xiàn)象,在突加負(fù)載時(shí)的瞬間誤差非常小,只有5.6 μm,且收斂速度非?？?約0.05 s后即收斂到給定值附近。由此可見,相較于另外兩種方法,基于NDO-ABNTSMC方法通過NDO觀測(cè)負(fù)載擾動(dòng)并進(jìn)行前饋補(bǔ)償,使得階躍信號(hào)跟蹤下,系統(tǒng)具有更快的響應(yīng)響應(yīng)速度和更強(qiáng)的抗擾能力。
2)驗(yàn)證周期性正弦信號(hào)下,本方法的響應(yīng)性能。
對(duì)系統(tǒng)給定如圖5所示的幅值30 mm、周期為2 s的正弦位置信號(hào),在標(biāo)稱狀態(tài)下和電機(jī)參數(shù)變化(粘滯摩擦系數(shù)B變?yōu)?倍)的情況下,三種控制方法下系統(tǒng)的位置響應(yīng)誤差曲線分別如圖6和圖7所示。
圖5 給定正弦信號(hào)
圖7 正弦信號(hào)下系統(tǒng)的響應(yīng)性能曲線(參數(shù)變化)
由圖6可以看出,在標(biāo)稱狀態(tài)下三種方法對(duì)正弦位置信號(hào)都有著不錯(cuò)的跟蹤效果,在給定信號(hào)隨著時(shí)間發(fā)生變化時(shí),均能夠緊密地跟蹤給定信號(hào)。SMC下系統(tǒng)跟蹤誤差跟隨給定信號(hào)產(chǎn)生較大的上下波動(dòng),誤差約在±5 μm之間。與之相比,ABNTSMC下,位置誤差的波動(dòng)范圍明顯減小,在±3 μm左右。而NDO-ABNTSMC方法對(duì)系統(tǒng)的控制方法進(jìn)一步優(yōu)化,具有最小的位置跟蹤誤差,誤差波形約在-1.5 μm～1.5 μm的范圍內(nèi)隨著給定信號(hào)小幅度上下波動(dòng),與前兩種控制方法相比,位置誤差波動(dòng)范圍分別減小了70%和50%?？梢?NDO-ABNTSMC方法可以較好地抑制擾動(dòng),誤差波動(dòng)更小,系統(tǒng)位置跟蹤效果更好。
如圖7所示,當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí),三種控制方法下伺服系統(tǒng)仍有著不錯(cuò)的位置響應(yīng)性能,只是跟蹤誤差的波動(dòng)范圍均有所擴(kuò)大。在參數(shù)變化的情況下,SMC和ABNTSMC方法下系統(tǒng)的位置誤差范圍分別擴(kuò)大到±10 μm和±8 μm之間。而相較之下,NDO-ABNTSMC方法由于非線性擾動(dòng)觀測(cè)器的加入,電機(jī)參數(shù)的變化得以被觀測(cè)和補(bǔ)償,因此與ABNTSMC相比,系統(tǒng)的抖振明顯減小,同時(shí)位置跟蹤誤差也最小,僅在約±2 μm的范圍內(nèi)隨著給定正弦信號(hào)小幅度波動(dòng)。因此,NDO-ABNTSMC方法能夠較好地克服參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)的影響,可以較好的提高系統(tǒng)的抗擾能力和位置跟蹤精度。
4 結(jié) 語
為提高系統(tǒng)位置響應(yīng)性能,本文提出了一種基于NDO的ABNTSMC方法,并在PMLSM的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上,對(duì)控制算法的有效性進(jìn)行仿真驗(yàn)證。由上述結(jié)果可以看出:
1)本文將反推與非奇異終端SMC相結(jié)合,提高了系統(tǒng)魯棒性,保證了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性,且避免了奇異問題。同時(shí)結(jié)合自適應(yīng)算法,動(dòng)態(tài)調(diào)整滑模切換增益,削弱了滑模抖振;
2)引入的NDO實(shí)現(xiàn)了對(duì)負(fù)載擾動(dòng)的觀測(cè)與補(bǔ)償,提高了系統(tǒng)抗擾能力,進(jìn)一步提高了系統(tǒng)位置跟蹤性能;
3)在負(fù)載擾動(dòng)和參數(shù)變化條件下,基于NDO的ABNTSMC方法可以對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行有效識(shí)別,系統(tǒng)響應(yīng)更快誤差更小,抖振現(xiàn)象減弱,具有強(qiáng)魯棒性。
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永磁直線電機(jī)省去了中間機(jī)械傳動(dòng)環(huán)節(jié),以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、可靠性高、定位精度高、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn),適用于高速高精度要求的場(chǎng)合,廣泛應(yīng)用于高檔數(shù)控機(jī)床、半導(dǎo)體制造、工業(yè)機(jī)器人等各類精密加工領(lǐng)域[1]。但直接驅(qū)動(dòng)方式也導(dǎo)致了各種擾動(dòng)將直接作用在電機(jī)動(dòng)子上,限制了系統(tǒng)位置跟蹤精度的提高[2]。因此,快速準(zhǔn)確的擾動(dòng)抑制是實(shí)現(xiàn)動(dòng)子高精度跟蹤的關(guān)鍵所在,這就對(duì)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提出了苛刻要求。
眾所周知,滑模控制(以下簡(jiǎn)稱SMC)具有設(shè)計(jì)簡(jiǎn)便、控制效果好、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),在電機(jī)控制領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)SMC采用線性滑模面,其跟蹤誤差的收斂時(shí)間無窮大;另外由于系統(tǒng)固有延遲及慣性問題的影響,系統(tǒng)狀態(tài)軌跡會(huì)在滑模面附近頻繁切換,產(chǎn)生高頻抖振,增加系統(tǒng)的電損耗和機(jī)械損耗,因此難以滿足高性能場(chǎng)合下的控制要求。而引入非線性項(xiàng)的終端SMC,可以使得被控狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂,成為了該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[3]。文獻(xiàn)[4]提出了非奇異快速終端SMC方法,避免了普通終端滑模中控制量無窮大的問題,并使其在系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)的位置也能得到較快的收斂,但外部擾動(dòng)出現(xiàn)時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。文獻(xiàn)[5]在非奇異快速終端滑模中引入自適應(yīng)控制算法,對(duì)系統(tǒng)的不確定性上界進(jìn)行自適應(yīng)補(bǔ)償,減小了滑模切換增益,削弱了抖振現(xiàn)象,提高了系統(tǒng)魯棒性。
近年來,反推控制得到了廣泛關(guān)注,作為一種非線性系統(tǒng)控制策略,運(yùn)用遞歸的思想,先引入虛擬控制輸入項(xiàng),將系統(tǒng)分解為低階子系統(tǒng),同時(shí)選擇合適的Lyapunov函數(shù),在保證各子系統(tǒng)的穩(wěn)定性的同時(shí),實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的全局調(diào)節(jié)[6]。文獻(xiàn)[7]提出了反推全局快速終端滑?？刂频姆椒?將反推與SMC相結(jié)合,先對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行分解,再利用全局快速終端SMC,使得系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近也能夠?qū)崿F(xiàn)快速收斂。但其控制器中指數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù),使系統(tǒng)控制量可能會(huì)趨于無窮大,進(jìn)而產(chǎn)生奇異現(xiàn)象。文獻(xiàn)[8]在全局積分終端滑模的基礎(chǔ)上,引入RBF徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擾動(dòng)觀測(cè)器,進(jìn)一步減小切換增益,削弱抖振。針對(duì)擾動(dòng)問題,文獻(xiàn)[9]通過非奇異快速終端SMC方法實(shí)現(xiàn)了永磁直線電機(jī)位置跟蹤誤差的快速收斂,并將系統(tǒng)集總擾動(dòng)通過高階超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器反饋給滑模控制器,減小了系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象。其中非線性擾動(dòng)觀測(cè)器由于其計(jì)算簡(jiǎn)單,且能做到對(duì)非線性系統(tǒng)狀態(tài)的全部觀測(cè),獲得了廣泛應(yīng)用[10-11]。文獻(xiàn)[12]針對(duì)系統(tǒng)外部干擾,采用非線性擾動(dòng)觀測(cè)器(以下簡(jiǎn)稱NDO)進(jìn)行實(shí)時(shí)辨識(shí)并補(bǔ)償,提高了系統(tǒng)的跟蹤精度和抗干擾能力。
本文提出基于NDO的自適應(yīng)反推非奇異終端滑?？刂?以下簡(jiǎn)稱NDO-ABNTSMC)方法,將NDO與反推非奇異終端滑?？刂?以下簡(jiǎn)稱BNTSMC)相結(jié)合,首先通過反推控制將系統(tǒng)降階處理,再利用BNTSMC實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)有限時(shí)間內(nèi)的快速收斂,并利用自適應(yīng)控制適時(shí)調(diào)整滑模控制器切換項(xiàng),削弱滑模抖振。然后采用NDO觀測(cè)系統(tǒng)的集總擾動(dòng),并前饋補(bǔ)償給滑模位置控制器,以提高系統(tǒng)的魯棒性。最后,通過仿真對(duì)本控制方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。
1 數(shù)學(xué)模型
(1)
式中:ud、uq、id、iq、Ld、Lq分別為d、q軸的電壓、電流和電感;Rs為電樞電阻;ψPM為永磁體磁鏈;p為極對(duì)數(shù);x2為直線電機(jī)動(dòng)子速度;τ為極距。
電機(jī)電磁推力可表示:
(2)
(3)
式中:Kf為電磁推力系數(shù)。PMLSM動(dòng)力學(xué)方程可表示:
(4)
式中:M為PMLSM的動(dòng)子質(zhì)量;B為粘滯摩擦系數(shù);Γ表示系統(tǒng)集總不確定擾動(dòng),包括參數(shù)變化、負(fù)載擾動(dòng)、非線性摩擦力、端部效應(yīng)及齒槽效應(yīng)等。
2 PMLSM控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)
2.1 反推非奇異終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
PMLSM實(shí)現(xiàn)高精度位置跟蹤的控制,要求在擾動(dòng)情況下,電機(jī)動(dòng)子仍可以準(zhǔn)確跟蹤給定參考軌跡。因此,本文利用非奇異終端滑模的快速收斂性,再結(jié)合反推算法,逐步推導(dǎo)出實(shí)際的控制律,實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的全局控制,基于NDO-ABNTSMC的PMLSM系統(tǒng)控制框圖如圖1所示。
圖1 基于NDO-ABNTSMC的PMLSM系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)框圖
首先,定義位置跟蹤誤差:
e=x1-xd
(5)
式中:xd為給定參考位置;x1為動(dòng)子的實(shí)際位置。
(6)
式中:x2為動(dòng)子的實(shí)際速度。
定義穩(wěn)定函數(shù):
α1=-k1e+s
(7)
式中:k1>0;s為滑模面。
為保證穩(wěn)定性,構(gòu)造第一個(gè)Lyapunov函數(shù):
(8)
求導(dǎo)可得:
(9)
其次,定義虛擬控制輸入:
(10)
(11)
則:
(12)
將式(11)代入式(9)中可得:
(13)
當(dāng)s→0時(shí),有:
(14)
由Lyapunov定理可知,當(dāng)s→0時(shí),位置跟蹤誤差e漸進(jìn)穩(wěn)定。
接著,選定非奇異終端滑模面:
(15)
式中:設(shè)計(jì)參數(shù)c1,c2>0;m,n為正奇數(shù),且滿足1 (16) 為證明穩(wěn)定性并保證系統(tǒng)狀態(tài)變量始終保持在滑模面s上,構(gòu)造第二個(gè)Lyapunov函數(shù): (17) 求導(dǎo)可得: (18) 代入式(11)和式(12),可整理得: (19) (20) 另外,選擇切換控制律: (21) 式中:δ,η>0,為待設(shè)計(jì)的控制參數(shù),其中η為一較小值,δ為切換增益,且滿足系統(tǒng)集總擾動(dòng)|Γ|≤δ,通過選擇合適的δ值,可以削弱滑模抖振現(xiàn)象。 由此,系統(tǒng)總的控制律: (22) 將式(22)代入式(19)得: (23) 實(shí)際仿真過程中,集總擾動(dòng)Γ的上界是很難獲得的,通常采用試湊法來選定切換增益δ的值,而切換增益過大會(huì)加劇系統(tǒng)抖振,過小則會(huì)降低系統(tǒng)的抗擾能力。為此,本文在BNTSMC中引入自適應(yīng)控制方法,自適應(yīng)調(diào)整切換增益,從而對(duì)系統(tǒng)抖振與抗擾效果進(jìn)行折衷考慮。 令λ=δ+η,則估計(jì)誤差: (24) (25) 對(duì)V3求導(dǎo),并結(jié)合式(23)和式(24)得: (26) (27) 此時(shí),自適應(yīng)切換控制律表示: (28) 將式(27)代入式(26)可得到: (29) 由Lyapunov第二方法可知,此時(shí)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。 采用NDO對(duì)集總擾動(dòng)Γ進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償,來進(jìn)一步提高系統(tǒng)的魯棒性。NDO主要通過觀測(cè)器估計(jì)值與實(shí)際輸出之間的差值來對(duì)估計(jì)值進(jìn)行調(diào)整,其控制結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。 圖2 NDO結(jié)構(gòu)框圖 系統(tǒng)的集總擾動(dòng): (30) 引入觀測(cè)器增益L,則NDO設(shè)計(jì): (31) 定義輔助變量對(duì)式(31)進(jìn)行降階處理,即: (32) 對(duì)式(32)求導(dǎo)可得: (33) 即整理得到如下的NDO: (34) 定義NDO的跟蹤誤差: (35) 求導(dǎo)得: (36) (37) 引入非線性擾動(dòng)觀測(cè)器后,可對(duì)集總擾動(dòng)Γ進(jìn)行觀測(cè),因此系統(tǒng)的控制律中無需再忽略集總擾動(dòng)項(xiàng),此時(shí)系統(tǒng)等效控制律表示: (38) 代入式(28)和式(38),系統(tǒng)總的控制律由式(22)變?yōu)? (39) (40) (41) (42) (43) 對(duì)式(43)兩端同時(shí)積分,可得: (44) 因此,當(dāng)t≥0時(shí),Lyapunov函數(shù)非增且有界。又因?yàn)閑、s有界,當(dāng)t→∞時(shí),則有: (45) 由Barbalat引理,k1e2+λ|s|有界,因此有 (46) 可推出s和e漸進(jìn)收斂,因此基于NDO的ABNTSMC方法可以使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,保證系統(tǒng)位置跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)衰減為零。 PMLSM的主要參數(shù):Rs=2.1 Ω,Ld=Lq=41.4 mH,ψPM=0.09 Wb,τ=32 mm,M=16.4 kg,Kf=50.7 N/A,B=8.0 N·s/m。 其中SMC控制器參數(shù):c=18,δ=18,η=0.1;ABNTSMC控制器參數(shù):c1=200,c2=10,m=5,n=3,k1=5,r1=1 200;NDO-ABNTSMC控制器參數(shù):c1=90,c2=1,m=5,n=3,k1=5,r1=1 200,L=2 000。 首先,驗(yàn)證NDO的擾動(dòng)觀測(cè)能力,為便于分析,忽略電機(jī)內(nèi)部參數(shù)的變化,而只改變電機(jī)的外加負(fù)載情況,施加如圖3所示的突加負(fù)載?？梢钥闯?0.5 s時(shí)負(fù)載由零突變?yōu)?0 N,NDO可以較好地觀測(cè)負(fù)載變化,在4 ms內(nèi)逐漸逼近真實(shí)值,且?guī)缀鯚o波動(dòng)。由此可見,本文所設(shè)計(jì)的NDO具備較高的觀測(cè)速度與觀測(cè)精度。 圖3 突加負(fù)載實(shí)際值與觀測(cè)值曲線 為驗(yàn)證有效性,分別對(duì)SMC、ABNTSMC、NDO-ABNTSMC三種方法控制的PMLSM伺服系統(tǒng)在不同工況下進(jìn)行對(duì)比。 1)驗(yàn)證本方法在階躍信號(hào)下的響應(yīng)性能。 系統(tǒng)空載起動(dòng),跟蹤幅值為1 mm的階躍信號(hào),并在0.8 s時(shí)刻突加100 N的負(fù)載擾動(dòng),觀察系統(tǒng)的響應(yīng)情況。三種控制方法的位置響應(yīng)曲線如圖4所示。 由圖4可以看出,隨著電機(jī)空載起動(dòng),SMC方法緩慢跟蹤給定信號(hào),并在突加100 N負(fù)載時(shí),立即偏離跟蹤信號(hào),穩(wěn)定后始終維持著平均25 μm左右的穩(wěn)態(tài)誤差;而ABNTSMC和NDO-ABNTSMC方法具有更快的響應(yīng)速度,電機(jī)空載起動(dòng)后大約0.05 s到達(dá)了期望軌跡,其中ABNTSMC方法下系統(tǒng)在起動(dòng)期間有約20%的超調(diào)量,在0.8 s突加負(fù)載后產(chǎn)生較大的偏移量,雖然在約0.6 s時(shí)可收斂至跟蹤信號(hào),但其突加負(fù)載瞬間產(chǎn)生誤差較大,可達(dá)到0.13 mm,且收斂緩慢;而基于NDO-ABNTSMC方法在電機(jī)起動(dòng)期間避免了超調(diào)現(xiàn)象,在突加負(fù)載時(shí)的瞬間誤差非常小,只有5.6 μm,且收斂速度非?？?約0.05 s后即收斂到給定值附近。由此可見,相較于另外兩種方法,基于NDO-ABNTSMC方法通過NDO觀測(cè)負(fù)載擾動(dòng)并進(jìn)行前饋補(bǔ)償,使得階躍信號(hào)跟蹤下,系統(tǒng)具有更快的響應(yīng)響應(yīng)速度和更強(qiáng)的抗擾能力。 2)驗(yàn)證周期性正弦信號(hào)下,本方法的響應(yīng)性能。 對(duì)系統(tǒng)給定如圖5所示的幅值30 mm、周期為2 s的正弦位置信號(hào),在標(biāo)稱狀態(tài)下和電機(jī)參數(shù)變化(粘滯摩擦系數(shù)B變?yōu)?倍)的情況下,三種控制方法下系統(tǒng)的位置響應(yīng)誤差曲線分別如圖6和圖7所示。 圖5 給定正弦信號(hào) 圖7 正弦信號(hào)下系統(tǒng)的響應(yīng)性能曲線(參數(shù)變化) 由圖6可以看出,在標(biāo)稱狀態(tài)下三種方法對(duì)正弦位置信號(hào)都有著不錯(cuò)的跟蹤效果,在給定信號(hào)隨著時(shí)間發(fā)生變化時(shí),均能夠緊密地跟蹤給定信號(hào)。SMC下系統(tǒng)跟蹤誤差跟隨給定信號(hào)產(chǎn)生較大的上下波動(dòng),誤差約在±5 μm之間。與之相比,ABNTSMC下,位置誤差的波動(dòng)范圍明顯減小,在±3 μm左右。而NDO-ABNTSMC方法對(duì)系統(tǒng)的控制方法進(jìn)一步優(yōu)化,具有最小的位置跟蹤誤差,誤差波形約在-1.5 μm～1.5 μm的范圍內(nèi)隨著給定信號(hào)小幅度上下波動(dòng),與前兩種控制方法相比,位置誤差波動(dòng)范圍分別減小了70%和50%?？梢?NDO-ABNTSMC方法可以較好地抑制擾動(dòng),誤差波動(dòng)更小,系統(tǒng)位置跟蹤效果更好。 如圖7所示,當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí),三種控制方法下伺服系統(tǒng)仍有著不錯(cuò)的位置響應(yīng)性能,只是跟蹤誤差的波動(dòng)范圍均有所擴(kuò)大。在參數(shù)變化的情況下,SMC和ABNTSMC方法下系統(tǒng)的位置誤差范圍分別擴(kuò)大到±10 μm和±8 μm之間。而相較之下,NDO-ABNTSMC方法由于非線性擾動(dòng)觀測(cè)器的加入,電機(jī)參數(shù)的變化得以被觀測(cè)和補(bǔ)償,因此與ABNTSMC相比,系統(tǒng)的抖振明顯減小,同時(shí)位置跟蹤誤差也最小,僅在約±2 μm的范圍內(nèi)隨著給定正弦信號(hào)小幅度波動(dòng)。因此,NDO-ABNTSMC方法能夠較好地克服參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)的影響,可以較好的提高系統(tǒng)的抗擾能力和位置跟蹤精度。 為提高系統(tǒng)位置響應(yīng)性能,本文提出了一種基于NDO的ABNTSMC方法,并在PMLSM的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上,對(duì)控制算法的有效性進(jìn)行仿真驗(yàn)證。由上述結(jié)果可以看出: 1)本文將反推與非奇異終端SMC相結(jié)合,提高了系統(tǒng)魯棒性,保證了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性,且避免了奇異問題。同時(shí)結(jié)合自適應(yīng)算法,動(dòng)態(tài)調(diào)整滑模切換增益,削弱了滑模抖振; 2)引入的NDO實(shí)現(xiàn)了對(duì)負(fù)載擾動(dòng)的觀測(cè)與補(bǔ)償,提高了系統(tǒng)抗擾能力,進(jìn)一步提高了系統(tǒng)位置跟蹤性能; 3)在負(fù)載擾動(dòng)和參數(shù)變化條件下,基于NDO的ABNTSMC方法可以對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行有效識(shí)別,系統(tǒng)響應(yīng)更快誤差更小,抖振現(xiàn)象減弱,具有強(qiáng)魯棒性。2.2 自適應(yīng)反推非奇異終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
2.3 NDO的設(shè)計(jì)
3 系統(tǒng)仿真結(jié)果及其分析
4 結(jié) 語
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