摘"" 要：弱宇宙監(jiān)督假設(shè)對(duì)于黑洞物理的進(jìn)一步研究起著至關(guān)重要的作用，它與黑洞熱力學(xué)定律有著十分緊密的聯(lián)系，但是迄今為止這一假設(shè)并沒有被準(zhǔn)確地證明。最早關(guān)于該假設(shè)的驗(yàn)證性工作是由Wald提出的臆想實(shí)驗(yàn)。運(yùn)用該實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證Rastall引力下正常相空間帶電AdS（Anti-de Sitter）黑洞的弱宇宙監(jiān)督假設(shè)。首先根據(jù)粒子在黑洞視界處的動(dòng)量-能量關(guān)系驗(yàn)證了黑洞熱力學(xué)第一定律成立；其次分析了正常相空間下黑洞熵的微分變化量，得到非極端帶電AdS黑洞熱力學(xué)第二定律是有效的。最后發(fā)現(xiàn)在Rastall引力下，無論是極端帶電AdS黑洞還是非極端帶電AdS黑洞，其弱宇宙監(jiān)督假設(shè)均成立。

關(guān) 鍵 詞：Rastall引力; 黑洞; 正常相空間; 弱宇宙監(jiān)督假設(shè)

氧化鈷; 納米結(jié)構(gòu); 電容器; 電催化

中圖分類號(hào)：P145.8""" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/ j.issn.16735862.2024.01.014

Weak cosmic censorship conjecture of charged Anti-de Sitter black hole in Rastall gravity

CUI Song "LYU Yan "CHEN Lanfeng^1，2

FU Ziyu1， LYU Yan2， LI Huiling2

（1. College of Physical Science and Technology， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）

（1. Experimental Teaching Center， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China; 2. College of Physics Science and Technology， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）

Abstract：

Weak cosmic censorship conjecture plays a crucial role in further research on black hole physics， as it is closely related to the thermodynamic laws of black holes. However， this conjecture has not been accurately proven so far. The earliest confirmatory work on this conjecture was a gadanken experiment proposed by Wald， and this article will use this experimental method to verify the weak cosmic censorship conjecture of a charged AdS black hole in normal phase space in Rastall gravity. Firstly， the momentum energy relationship of particles at the event horizon of a black hole was used to verify the existence of the first law of thermodynamics for black holes. Secondly， the differential variation of black hole entropy in normal phase space was analyzed， and it was found that the second law of thermodynamics for non-extremely charged AdS black holes is effective. Finally， it was found that weak cosmic censorship conjecture holds true for both extreme charged AdS black holes and non-extreme charged AdS black holes in Rastall gravity.

Key words：

Rastall gravity; black hole; normal phase space; weak cosmic censorship conjecture

近年來，由于霍金^［1］和貝肯斯坦^［2］的開創(chuàng)性工作，黑洞熱力學(xué)的研究取得了很大的進(jìn)展。物理學(xué)家研究了熱力學(xué)相變^［34］、熵^［5］、熱輻射和非熱輻射^［67］，以及黑洞^［89］在全息術(shù)和幾何框架下的熱力學(xué)特性。這些結(jié)果表明，黑洞熱力學(xué)已經(jīng)是廣義相對(duì)論中的一個(gè)基本課題。黑洞可以看作一個(gè)具有溫度的熱力學(xué)系統(tǒng)，其中的溫度與視界^［10］處的重力κ有關(guān)，而黑洞的熵與事件視界^［2］的面積成正比。由此可見黑洞的事件視界對(duì)于研究黑洞熱力學(xué)的重要性。同樣，事件視界對(duì)弱宇宙監(jiān)督假設(shè)的研究也很重要。弱宇宙監(jiān)督假設(shè)最早由物理學(xué)家彭羅斯提出^［11］，他認(rèn)為由引力坍塌引起的奇點(diǎn)都會(huì)在事件視界內(nèi)部隱藏起來從而使黑洞內(nèi)部的信息無法逃出事件視界之外，無法被觀測(cè)到。對(duì)弱宇宙監(jiān)督假設(shè)的研究最早是Wald提出的臆想實(shí)驗(yàn)，通過向Kerr-Newman黑洞^［12］投入一個(gè)粒子來探測(cè)這一猜想。這個(gè)實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于極端的Kerr-Newman黑洞，弱宇宙監(jiān)督假設(shè)是有效的，但對(duì)于近極端的Kerr-Newman黑洞^［13］和近極端的Reissner-Nordstm ^［14］黑洞，這個(gè)假設(shè)不成立。后來發(fā)現(xiàn)，由于考慮了反作用力和自力效應(yīng)，參考文獻(xiàn)［1314］中的時(shí)空奇點(diǎn)可以避免被暴露，而弱宇宙監(jiān)督假設(shè)是有效的。由于目前還沒有普遍的方法來證明這一假設(shè)，本文將研究Rastall引力下正常相空間帶電AdS黑洞的弱宇宙監(jiān)督假設(shè)是否成立。

1 Rastall引力下正常相空間帶電AdS黑洞的熱力學(xué)定律

在Rastall引力下^［15］，帶電荷AdS黑洞時(shí)空線元的黑洞解^［16］為

ds2=－h(huán)（r）dt2+1h（r）dr2+r2dθ2+r2sin2θdφ2（1）

這里h（r）為

h（r）=1－2Mr+Q2r2－Λr23－12λ（2）

其中：λ是Rastall引力參數(shù)；Λ是宇宙學(xué)常數(shù)；M是黑洞質(zhì)量；Q是黑洞電荷。這里Λ=－3/l2，代入式（2）得

h（r）=1+Q2r2－2Mr+3r2l2（3－12λ）（3）

根據(jù)參考文獻(xiàn)［17］可以知道，λlt;1/4對(duì)應(yīng)的是AdS時(shí)空，因此在接下來的討論中只考慮λlt;1/4的情況。根據(jù)黑洞事件視界半徑的定義式h（r）=0可以得到黑洞的質(zhì)量為

M=Q22r++r+2+3r3+2l2（3－12λ）（4）

式中r+是事件視界半徑，通過計(jì)算得到黑洞的霍金溫度為

T=14πdh（r）drr=r+=－Q22πr3++M2πr2++3r+2l2π（3－12λ） =－Q24πr3++14πr++9r+4l2π（3－12λ）（5）

由貝肯斯坦-霍金熵的面積公式可以得到黑洞的熵為

S=∫1T（Mr+）dr+=πr2+（6）

在正常相空間中，宇宙學(xué)參數(shù)Λ是一個(gè)常數(shù)，黑洞質(zhì)量M對(duì)應(yīng)是黑洞的內(nèi)能，根據(jù)能量和電荷的守恒規(guī)律，當(dāng)Rastall引力下AdS黑洞吸收一個(gè)荷電費(fèi)米子時(shí)，它的質(zhì)量和電荷滿足如下關(guān)系：

ω=dM， q=dQ（7）

根據(jù)文獻(xiàn)［17］，黑洞吸收荷電費(fèi)米子后的動(dòng)量-能量關(guān)系為

dM=ΦdQ+pr+（8）

正常相空間中視界有關(guān)函數(shù)的變化滿足

h（M+dM，Q+dQ，r++dr+）=h（M，Q，r+）+h+MdM+h+QdQ+h+r+dr+（9）

其中

h+Mr=r+=－2r+ h+Qr=r+=2Qr2+ h+r+r=r+=－2Q2r3++2Mr2++6r+l2（3－12λ）（10）

將式（8）帶入式（9），則dM項(xiàng)被消除，再解方程（9）可得dr+，即：

dr+=l2（－1+4λ）pr+r2+l2Q2（1－4λ）+l2M（－1+4λ）r+－r4+（11）

對(duì)黑洞的熵微分表達(dá)，再將（11）式代入到它的微分變化量中，可以得到

dS=2l2π（－1+4λ）pr+r3+l2Q2（1－4λ）+l2M（－1+4λ）r+－r4+（12）

根據(jù)式（5）和式（12），可以得：

TdS=Pr+（13）

由此可以將式（8）改寫成

dM=TdS+ΦdQ（14）

式（14）為黑洞熱力學(xué)第一定律的表達(dá)式，這也說明對(duì)于Rastall引力下帶電AdS黑洞的熱力學(xué)第一定律在正常相空間下是有效的。

應(yīng)用式（12）來檢驗(yàn)在正常相空間中Rastall引力下帶電AdS黑洞熱力學(xué)第二定律的有效性。當(dāng)黑洞的內(nèi)外視界面重合時(shí)，這種情況叫做極端黑洞，此時(shí)溫度在視界面處變?yōu)榱?，由此根?jù)式（5）可以得到極端黑洞的質(zhì)量為

M=Q2r++r3+l2（－1+4λ）（15）

將式（15）代入式（12），發(fā)現(xiàn)熵的微分變化量趨于無窮大，即極端黑洞。在這種情況下對(duì)研究黑洞熱力學(xué)第二定律無意義。因此，著重探討Rastall引力下非極端黑洞的熱力學(xué)第二定律。將式（4）代入式（12）可得：

dS=4l2π（－1+4λ）pr+r3+l2Q2（1－4λ）+l2（－1+4λ）r2+－3r4+（16）

對(duì)于非極端黑洞，它的霍金溫度Tgt;0，"""""""" 由此推導(dǎo)出熵的微分變化量始終是大于零的。因此，對(duì)于Rastall引力下正常相空間非極端帶電AdS黑洞的熱力學(xué)第二定律始終有效。

2 Rastall引力下正常相空間帶電AdS黑洞的弱宇宙監(jiān)督假設(shè)

最后檢驗(yàn)Rastall引力下正常相空間帶電AdS黑洞弱宇宙監(jiān)督假設(shè)是否有效。對(duì)于帶有半徑rm的帶電AdS黑洞，它的函數(shù)h（r）存在最小值。當(dāng)函數(shù)h（r）gt;0時(shí)，不存在黑洞視界；當(dāng)函數(shù)h（r）≤0時(shí)，黑洞視界總是存在的。在rm處，有如下關(guān)系^［18］：

h（r）|r=rm≡hm=∈≤0" rh（r）|r=rm≡h′m=0" （r）2h（r）|r=rm≡h″mgt;0（17）

對(duì)于極端AdS黑洞ε=0，黑洞半徑為rm；對(duì)于非極端AdS黑洞ε是一個(gè)微小的量，rm是AdS黑洞內(nèi)外視界半徑之間的一個(gè)半徑。隨著AdS黑洞不斷吸收粒子，函數(shù)hm可能會(huì)隨之移動(dòng)，這會(huì)使得AdS黑洞的質(zhì)量和電荷發(fā)生變化，結(jié)合式（8）和式（9）。消除dQ得：

dhm=h（rm+drm）－h(huán)（rm）=hmMdM+hmQdQ（18）

對(duì)于極端黑洞，用rm代替r+，將式（14）代入式（18）消除dQ可以得：

dhm=－2pr+rm（19）

由此分析可得，隨著AdS黑洞吸收荷電費(fèi)米子，dhmlt;0意味著函數(shù)h（rm+drm）始終比函數(shù)h（rm+drm）小，這說明始終有事件視界能夠?qū)r(shí)空奇點(diǎn)隱藏起來，因而弱宇宙監(jiān)督假設(shè)有效。

對(duì)于非極端黑洞，用rm+ε代替r+，將式（14）在視界半徑處展開，計(jì)算得：

dM=（QdQrm+pr+）－QεdQr2m+O［ε］2（20）

將式（20）代入式（18）得：

dhm=－2pr+rm+2εQdQr3m+O［ε］2（21）

在式（21）中，rm遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于ε，所以等式右側(cè)最后2項(xiàng)可以忽略不計(jì)，這樣式（21）的值也始終小于零。可以通過繪制圖像的方式來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。將高階項(xiàng)O［ε］2忽略后繪制rm，dQ和dhm的三維圖像如圖1所示。從圖1中也可以觀察到，無論rm和dQ取什么值，dhm總是負(fù)值。這與極端黑洞所得結(jié)論相同，也證明了對(duì)于非極端黑洞，弱宇宙監(jiān)督假設(shè)在正常相空間是有效的。

3 結(jié) 論

在正常相空間中，Rastall引力下的帶電AdS黑洞熱力學(xué)第一定律是成立的。通過研究熵的微分變化量，發(fā)現(xiàn)隨著黑洞事件視界的變化，對(duì)于極端帶電AdS黑洞熱力學(xué)第二定律是無意義的，而對(duì)于非極端帶電AdS黑洞熱力學(xué)第二定律始終成立。無論是極端黑洞還是非極端黑洞，隨著黑洞吸收荷電費(fèi)米子，Rastall引力下帶電AdS黑洞的函數(shù)變化始終為負(fù)值，也就是說總有黑洞視界的存在使得奇點(diǎn)不被裸露出來，進(jìn)而證明了弱宇宙監(jiān)督假設(shè)的有效性。

參考文獻(xiàn)：

［1］HAWKING S W.Particle creation by black holes［J］.Comm Math Phys，1975，43（3）：199220.

［2］BEKENSTEIN J D.Black holes and entropy［J］.Phys Rev D，1973，7（8）：23332346.

［3］SETARE M R.Corrections to the Cardy-Verlinde formula from the generalized uncertainty principle［J］.Phys Rev D，2004，70（8）：645648.

［4］CAVAGLIA M，DAS S.How classical are TeV-scale black holes？［J］.Classical Quant Grav，2004，21（19）：45114522.

［5］BARGUEO P，VAGENAS E C.Semiclassical corrections to black hole entropy and the generalized uncertainty principle［J］.Phys Lett B，2015，742（6）：1518.

［6］ZHANG J，ZHAO Z.Hawking radiation of charged particles via tunneling from the Reissner-Nordstrm black hole［J］.J High Energy Phys，2005，2005（10）：055.

［7］ZENG X X，YANG S Z.Fermions tunneling from Reissner-Nordstrm black hole［J］.Gen Relat Gravit，2008，40：21072114.

［8］RUPPEINER G.Stability and fluctuations in black hole thermodynamics［J］.Phys Rev D，2007，75（2）：024037.

［9］HAN Y，ZHANG J.Hawking temperature and thermodynamics geometry of the 3D charged-dilaton black holes［J］.Phys Lett B，2010，692（2）：7477.

［10］GRN ，HERVIK S.Einstein's general theory of relativity：With modern applications in cosmology［M］.New York：Springer，2007.

［11］PENROSE R.“Golden Oldie”：Gravitational collapse：The role of general relativity［J］.Gen Relat Gravit，2002，34：11411165.

［12］WALD R.Gedanken experiments to destroy a black hole［J］.Annals Phys，1974，82（2）：548556.

［13］JACOBSON T，SOTIRIOU T P.Overspinning a black hole with a test body［J］.Phys Rev Lett，2009，103（14）：141101.

［14］HUBENY V E.Overcharging a black hole and cosmic censorship［J］.Phys Rev D，1999，59（6）：064013.

［15］RASTALL P.Generalization of the Einstein theory［J］.Phys Rev D，2001，6（12）：33573359.

［16］MENG Y，PU J，JIANG Q Q.PV criticality and Joule-Thomson expansion of charged AdS black holes in the Rastall gravity［J］.Chin Phys C，2020，44（6）：065105.

［17］LI L，F(xiàn)U Z Y，LI H L.AdS black holes with perfect fluid dark matter and weak cosmic censorship conjecture［J］.Gen Relat Gravit，2022，54（5）：43.

［18］GWAK B，LEE B H.Cosmic censorship of rotating Anti-de Sitter black hole［J］.J Cosmol Astropart P，2016，2016（2）：15.

【責(zé)任編輯：封文江】