摘 要：有質(zhì)量引力理論作為修正引力理論之一，對探究宇宙加速膨脹，以及解釋暗能量和暗物質(zhì)問題等有重要意義。研究了在常規(guī)相空間中de Rham-Gabadadze-Tolley（dRGT）有質(zhì)量引力下球?qū)ΨQ黑洞的熱力學第一定律、熱力學第二定律與弱宇宙監(jiān)督假設(shè)是否成立;并通過圖像探究熵的微分變化量隨事件視界r_d變化的影響，以及與dRGT黑洞無量綱自由參數(shù)α，β與引力子質(zhì)量對該圖像的影響。在研究過程中，通過引入標量粒子的能量-動量關(guān)系，來驗證黑洞熱力學第一定律是否成立，通過觀察事件視界對熵的微分變化量的影響，來驗證黑洞熱力學第二定律是否成立。研究發(fā)現(xiàn)，黑洞在吸收粒子的同時，其視界半徑始終存在，從而使奇點始終沒有裸露出來。結(jié)果表明，在dRGT有質(zhì)量引力下球?qū)ΨQ黑洞的熱力學第一定律，熱力學第二定律與弱宇宙監(jiān)督假設(shè)均成立。

關(guān) 鍵 詞：氧化鈷; 納米結(jié)構(gòu); 電容器; 電催化弱宇宙監(jiān)督假設(shè)； 熱力學第一定律； 熱力學第二定律； de Rham-Gabadadze-Tolley（dRGT）黑洞

中圖分類號：P145.8 文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1673-5862.2024.03.016

Thermodynamics and weak cosmic censorship conjecture of dRGT black holes

CUI Song^1，2， LYU Yan^1，2， CHEN Lanfeng^1，2LI Huiling， YANG Chengyu

（1. College of Physical Science and Technology， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）（College of Physics Science and Technology， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）

Abstract：As one of the revised gravity theories， the theory of mass gravity is of great significance for exploring the accelerated expansion of the universe and explaining the problems of dark energy and dark matter. In this paper we study whether the first law of thermodynamics， the second law of thermodynamics and the weak cosmic supervision hypothesis are valid for the spherically symmetric black holes under de Rham-Gabadadze-Tolley （dRGT） mass gravity in conventional phase space.The influence of the differential change of entropy with the change of event horizon r_d，and the influence of dimensionless free parameters α，β and graviton mass related to dRGT black hole on the image are explored. In the research process， the first law of black hole thermodynamics is verified by introducing the energy-momentum relationship of scalar particles， and the second law of black hole thermodynamics is verified by observing the influence of event horizon on the differential change of entropy. The study finds that the black hole absorbs particles at the same time，its event radius always exists， so that the singularity is never exposed. The results show that the first law of thermodynamics， the second law of thermodynamics and the weak cosmic supervision hypothesis are valid for the spherically symmetric black holes under dRGT mass gravity.

Key words：weak cosmic censorship conjecture; first law of thermodynamics; second law of thermodynamics; de Rham-Gabadadze-Tolley（dRGT）black hole

關(guān)于弱宇宙監(jiān)督假設(shè)即黑洞熱力學第三定律^［1］有效性驗證的工作最早是由Wald提出的臆想實驗^［2］。隨后，Penrous假設(shè)^［3］，存在一位宇宙監(jiān)督，為了避免奇點^［4］裸露出來，需要用視界把奇點包起來，讓它發(fā)出的不確定信息無法逃離黑洞^［5］，從而無法影響宇宙的演化^［6］。研究者關(guān)于弱宇宙監(jiān)督假設(shè)是否有效展開了大量的研究和探討^［7］。Hubeny發(fā)現(xiàn)向極端Reissner-Nordstrom（RN）黑洞投入帶電粒子時，弱宇宙監(jiān)督假設(shè)會失效^［8］。Jacobson和Sotiriou發(fā)現(xiàn)使極端Kerr黑洞發(fā)生超旋現(xiàn)象后，弱宇宙監(jiān)督假設(shè)同樣失效，但是利用自引力作用避免黑洞超旋后，弱宇宙監(jiān)督假設(shè)則會成立^［9］。2018年，Gwak探究了超旋與弱宇宙監(jiān)督假設(shè)有效性之間的關(guān)系^［10］。2020年，Hod通過研究球?qū)ΨQ和軸對稱黑洞來檢驗弱宇宙監(jiān)督假設(shè)的有效性^［11］。黑洞穩(wěn)定性的研究可以從另一個側(cè)面檢驗宇宙監(jiān)督假設(shè)^［12］。本文將探究dRGT有質(zhì)量引力下黑洞在常規(guī)相空間中的黑洞熱力學定律以及與dRGT黑洞有關(guān)的參數(shù)α，β與引力子質(zhì)量m_g對弱宇宙監(jiān)督假設(shè)的影響。

1 dRGT黑洞的熱力學

對于dRGT黑洞時空線元^［13］，有如下公式

ds²=-n（r）dt²+dr²/n（r）+r²dΩ²（1）

其中

n（r）=1-2M/r+Q²/r²-Λr²/3+γr+ζ（2）

這里

Λ=-3m²_g（1+α+β） γ=-cm²_g（1+2α+3β） ζ=c²m²_g（α+3β）（3）

其中：M是一個積分常數(shù)，與黑洞的質(zhì)量有關(guān)；Λ是宇宙學常數(shù)；m_g是引力子質(zhì)量；c是任意的常數(shù)；α和β是與dRGT黑洞有關(guān)的參數(shù)^［13］。當m_g=0時，對應(yīng)得到史瓦西黑洞。此外，在c=0 （即γ=ζ=0）的情況下，如果（1+α+β）＜0 ，則解以Schwarzschild-de-Sitter形式存在；如果（1+α+β）＞ ，對應(yīng)的是Schwarzschild-Anti-de Sitter解。本文研究（1+α+β）＞0時，解是Schwarzschild-Anti-de Sitter條件下dRGT黑洞的熱力學與弱宇宙監(jiān)督假設(shè)。通過求解n（r_d）=0，得到dRGT黑洞的事件視界r_d，并最終導出黑洞的質(zhì)量為

M=Q²/2r_d+r_d/2+r_d²γ/2+r_dζ/2-r_d³Λ/6（4）

在無窮遠處，黑洞在視界r_d處的電勢的表達式為

Φ=Q/r_d（5）

得到霍金溫度為

T=dn（r_d）/4πdr_d=（-6Q²+6Mr_d-2Λr_d⁴+3γr_d³）/12πr_d³（6）

根據(jù)貝肯斯坦-霍金熵面積公式，得到黑洞的熵為^［13］

S=∫1/T（?M/?r_d）dr_d=πr²_d（7）

根據(jù)能量守恒和電荷守恒定律可得，當dRGT黑洞吸收標量粒子時，其質(zhì)量m=dM，電荷為q=dQ，由此可得^［14］

dM=ΦdQ+p^r_d（8）

在常規(guī)相空間中，與視界有關(guān)的函數(shù)滿足如下變化

n（M+dM，Q+dQ，r_d+dr_d）=n（M，Q，r_d）+（?n_d/?M）dM+（?n_d/?Q）dQ+（?n_d/?r_d）dr_d（9）

式（9）中

?n_d/?M=-2/r_d ?n_d/?Q=2Q/r²_d

?n_d/?r_d=-2Q²/r³_d+2M/r²_d+γ-2r_dΛ/3=4πT（10）

將式（8）帶入式（9）可得

dr_d=-6p^r_dr²_d/（6Q²-6Mr_d-3γr³_d+2Λr⁴_d）（11）

對式（7）進行微分，并把式（10）帶入后得到熵的微分變化量dS，即

dS=2πr_ddr_d=-12πp^r_dr³_d/（6Q²-6Mr_d-3γr³_d+2Λr⁴_d）（12）

結(jié)合式（6）和式（12）可得

TdS=p^r_d（13）

可得dM=TdS+ΦdQ，說明隨著標量粒子被黑洞吸收，常規(guī)相空間中黑洞熱力學第一定律成立。

通過將式（4）帶入到式（12），推算出非極端黑洞熵的微分變化量為

dS=4πp^r_dr³_d/（-Q²+r²_d-Λr_d⁴+2γr_d³+ζ）（14）

圖1、圖2、圖3中Q=1，p^r_d=1，c=1，其中圖1為α=0.1，m_g=1，β分別為0.2與0.5時dS隨r_d的變化圖像；圖2為β=0.2，m_g=1，α分別為0.1與5時dS隨r_d的變化圖像；圖3為α=0.1，β=0.2，m_g分別為1與5時dS隨r_d的變化圖像。

從圖1～圖3中可以看出，隨著α，β與m_g的改變，熵的微分變化量雖然不同，但是整體的變化趨勢相同：當r_d較小時，隨著r_d的增加，dS快速減??；當r_d較大時，隨著r_d的增加，dS逐漸趨于0，并且熵的微分變化量始終為正值。這種變化趨勢有效地驗證了黑洞熱力學第二定律在dRGT有質(zhì)量引力下的黑洞中是成立的。從圖1中可以看出，β越大，熵的微分變化量dS下降趨勢越明顯。從圖2和圖3中可以看出α和m_g的影響與β相同。

2 dRGT黑洞的弱宇宙監(jiān)督假設(shè)

在常規(guī)相空間中， dRGT黑洞的半徑為r_k ，其函數(shù)n（r） 有最小值。當n（r_k）gt;0時，視界不存在，然而當n（r_k）≤0時，視界始終存在，即存在如下關(guān)系式^［15］

n|_r=rk≡n_k=χ≤0 ?_rn_r=rk≡n′k=0 （?_r）²n_r=rk≡n″kgt;0（15）

當極端黑洞χ=0時，r_d與r_k重合；χ對于非極端黑洞是一個極小值，并且r_k是內(nèi)外視界半徑間的一個黑洞半徑，隨著黑洞吸收一個粒子，n_k 可能會上下移動，這也導致了黑洞質(zhì)量和電荷的變化。當r_k 發(fā)生微小變化時，根據(jù)式（8）對于函數(shù)n（r）有

dn_k=n（r_k+dr_k）-n（r_k）=（?n_k/?M）dM+（?n_k/?Q）dQ（16）

式（16）的結(jié)果利用了式（15）?_rn_r=rk≡n^'_k=0，這里我們運用式（15）來討論在視界半徑r_k處的極端黑洞，將dM=ΦdQ+p^r_d代入式（16），抵消dQ，可得

dn_k=-2p^r_d/r_d（17）

式（17）表明，黑洞吸收標量粒子后，函數(shù)n（r_k+dr_k）比函數(shù)n（r_k）小。也就是說，始終存在一個事件視界使得時空的奇點能夠被隱藏，這也證明了弱宇宙監(jiān)督假設(shè)在常規(guī)相空間是成立的。

在非極端黑洞中，則采用r_k+χ代替r_k，dM=ΦdQ+p^r_d在r_k處展開，得到

dM=p^r_d-（dQ/r²_k）Qχ+（dQ/r_k）Q+O［χ］²（18）

將式（18）代入式（16）得

dn_k=（-2/r_k）p^r_d+（2dQ/r³_k）χQ+O［χ］²（19）

其中，χ很小，可以忽略不計，相比之下，r_k的取值較大，因此（19）式可以近似為

dn_k=（-2/r_k）p^r_d（20）

圖4為令高階修正項O［χ］²=0后繪出的r_k，dQ和dn_k的三維圖像。由圖4可知，當r_k和dQ取不同數(shù)值時，dn_k的取值始終為負數(shù)。因此，對于近極端dRGT黑洞，隨著帶電粒子被黑洞吸收，弱宇宙監(jiān)督假設(shè)在常規(guī)相空間中有效。

3 結(jié) 語

本文研究表明：在常規(guī)相空間中，當r_d較小時，隨著r_d的增加，dS快速減??；當r_d較大時，隨著r_d的增加，dS逐漸趨于0，并且熵的微分變化量始終為正值，從而驗證了dRGT有質(zhì)量引力下黑洞的熱力學第一定律、熱力學與第二定律均成立，且與dRGT黑洞有關(guān)的參數(shù)α，β與m_g越大，熵的微分變化量dS隨dRGT黑洞事件視界r_d的增加趨于零的速度越快，說明在dRGT有質(zhì)量引力理論下的黑洞中弱宇宙監(jiān)督假設(shè)也是有效的。

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【責任編輯：封文江】