祖沖之與祖暅之是中國(guó)歷史上最杰出的數(shù)學(xué)家父子。祖沖之所撰《綴術(shù)》是唐以前最艱深的數(shù)學(xué)經(jīng)典，后因深?yuàn)W而未得傳；祖沖之把圓周率精確到8位有效數(shù)字，在當(dāng)時(shí)世界上最為先進(jìn)，這一紀(jì)錄保持了近千年；祖暅之運(yùn)用祖暅之原理求出了“牟合方蓋”的體積，巧妙證得球的體積公式，這一成就比意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利至少要早1100年。此外，祖沖之與祖暅之還熱衷于天文學(xué)，祖沖之創(chuàng)制的《大明歷》最早將歲差引進(jìn)歷法，祖暅之修訂了《大明歷》，并先后三次上書，建議朝廷頒布實(shí)施《大明歷》，最終使父親的遺愿得以實(shí)現(xiàn)。

一、祖沖之與祖暅之的生平

祖沖之（429－500），字文遠(yuǎn)，祖籍范陽(yáng)郡遒縣（今河北淶水），生于南朝宋都建康（今江蘇南京）。曾祖父臺(tái)之適晉亂，舉家南遷，曾祖父、祖父、父親都先后仕晉和劉宋。祖父祖昌官至主管土木工程的大匠卿。祖家家學(xué)深厚，長(zhǎng)于歷算，沖之幼年聰慧，有機(jī)思，受到良好的傳統(tǒng)文化教育，尤其是歷算方面的教育，青年時(shí)代就成為有影響的學(xué)者。宋孝武帝“使直華林學(xué)省”，協(xié)助主持科研機(jī)關(guān)。后來他又任南徐州（今江蘇鎮(zhèn)江）迎從事，公府參軍。宋大明六年（462），他經(jīng)多年努力，完成《大明歷》。孝武帝令“善歷者難之，不能屈”。恰遇孝武帝駕崩去世，未能頒行。祖沖之出為婁縣（今江蘇昆山）縣令，后又為謁者仆射。祖沖之在數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得開拓性成就，注《九章》，造《綴術(shù)》數(shù)十篇，將圓周率的計(jì)算精確到8位有效數(shù)字。祖沖之又是機(jī)械制造專家。宋武帝在關(guān)中得到姚興的指南車，只有外殼，內(nèi)部機(jī)械已損壞，每當(dāng)行走時(shí)，需人在內(nèi)轉(zhuǎn)之。宋升明二年（478），祖沖之改造銅機(jī)，圓轉(zhuǎn)不窮，指南的方向始終如一，時(shí)人譽(yù)為“馬均以來未有也”。入齊，任長(zhǎng)水校尉，作《安邊論》，主張開荒屯田，以廣農(nóng)殖。祖沖之還造過千里船，日行百余里，造過水碓磨，及木牛流馬等運(yùn)載工具。他解音律，善博戲，當(dāng)世鮮有對(duì)手。他還著《易》《老》《莊》義，釋《論語(yǔ)》《孝經(jīng)》，撰《述異記》。

祖暅之（456—536），一作祖暅，字景爍，祖沖之之子。少傳家業(yè)，究極精微，善于思考。當(dāng)其詣微之時(shí)，雷霆不能入。有一次，他走路思考問題，一頭撞到仆射徐勉身上。徐勉喚他，才恍然大悟，傳為佳話。梁天監(jiān)初，修訂乃父《大明歷》，九年（510）正式頒行，后一直施行至陳亡（589）。南朝梁普通六年（525），祖暅之被北魏俘獲，由于數(shù)學(xué)家信都芳的推薦，受到安豐王元延明的禮遇。三人經(jīng)常在一起研討數(shù)學(xué)問題。后祖暅之南返，“留法授芳”，信都芳之?dāng)?shù)學(xué)水平大為提高。祖暅之提出祖暅之原理，從而求出了劉徽設(shè)計(jì)的“牟合方蓋”的體積，徹底解決了球體體積計(jì)算問題。

二、《綴述》與《綴術(shù)》

關(guān)于《綴術(shù)》的書名、卷數(shù)、作者，史籍記載互異?！赌淆R書》《南史》稱祖沖之“造《綴述》數(shù)十篇”?！端鍟ぢ蓺v志》云祖沖之“所著之書名為《綴術(shù)》”，未云卷數(shù)?！端鍟そ?jīng)籍志》《日本國(guó)見在書目》均作《綴術(shù)》六卷，而無著者姓名?！锻ㄖ尽纷鳌毒Y術(shù)》六卷，祖沖之撰。宋李籍《周髀算經(jīng)音義》與《舊唐書·經(jīng)籍志》《新唐書·藝文志》稱《綴術(shù)》五卷，祖沖之撰。唐王孝通《上緝古算經(jīng)表》稱祖暅之《綴術(shù)》，未云卷數(shù)。宋沈括《夢(mèng)溪筆談》卷一稱“北齊祖亙有《綴術(shù)》二卷”。上面這些資料表明，南北朝時(shí)期只有祖沖之造《綴述》的記載，而無《綴術(shù)》及祖暅之作《綴術(shù)》的說法。到隋、唐時(shí)期，出現(xiàn)《綴術(shù)》之名，為五卷或六卷，大多數(shù)仍說祖沖之著；同時(shí)，也有個(gè)別記載祖暅之作《綴術(shù)》。因此，一般認(rèn)為《綴述》與《綴術(shù)》是同一部著作。在流傳過程中，著作名稱改變是時(shí)有發(fā)生的?！毒Y術(shù)》中有祖暅之的增補(bǔ)，故后人又有祖暅之《綴術(shù)》之說。

《綴術(shù)》與祖沖之《九章注》的關(guān)系，也是人們爭(zhēng)論不休的問題?！赌淆R書》《南史》云祖沖之“注《九章》，造《綴述》數(shù)十篇”，令人理解上存在歧義。祖沖之注過《九章算術(shù)》是無疑的?！度毡緡?guó)見在書目》既有《九章》九卷（祖中注），《九章術(shù)義》九卷（祖中注），又有《綴術(shù)》?！白嬷小弊匀皇亲鏇_之之誤。但是，也可能其《綴術(shù)》就是《九章注》。錢寶琮主編的《中國(guó)數(shù)學(xué)史》持后一種看法：祖沖之寫成了數(shù)十篇專題論文，附綴于劉徽注的后面，叫它“綴述”，也就是《九章注》。目前難以對(duì)這兩種說法作出中肯的評(píng)判。

《綴術(shù)》的內(nèi)容已不可詳考。王孝通《上緝古算經(jīng)表》指責(zé)“祖暅之之《綴術(shù)》曾不覺方邑進(jìn)行之術(shù)，全錯(cuò)不通；芻甍、方亭之問，于理未盡”，可見方邑測(cè)望問題及體積問題是其中重要內(nèi)容。《隋書·律歷志》引祖沖之圓周率的成就和開差冪、開差立的內(nèi)容，李淳風(fēng)等《九章算術(shù)注釋》引祖暅之開立圓術(shù)，都應(yīng)該是《綴術(shù)》的內(nèi)容。

《綴術(shù)》失傳的時(shí)間已不可考。《宋史·楚衍傳》載楚衍通《綴術(shù)》。這常被人們作為《綴術(shù)》在宋初仍存世的證據(jù)。可是北宋元豐七年（1084），秘書省刊刻十部算經(jīng)時(shí)，已找不到《綴術(shù)》。博學(xué)多才的沈括將“南齊”誤為“北齊”，將“祖暅之”誤為“祖亙”，可見他亦未見到過此書。如果楚衍精通《綴術(shù)》，那么《綴術(shù)》是在楚衍之后不到半個(gè)世紀(jì)內(nèi)亡佚的。一般說來，一部書亡佚，或因?yàn)閼?zhàn)亂，或因?yàn)樗鸬忍鞛?zāi)，或因?yàn)槠D深而無人問津。但是，楚衍和他的弟子賈憲、朱吉都是數(shù)學(xué)大家，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)在度過了唐朝的衰敗后已經(jīng)復(fù)興，而當(dāng)時(shí)北宋沒有大的動(dòng)亂，11世紀(jì)上半葉還存在的重要著作，不會(huì)在下半葉便無蹤影。故我們認(rèn)為，《隋書·律歷志》提供了《綴術(shù)》失傳的原因，這就是“學(xué)官莫能究其深?yuàn)W，是故廢而不理”。唐初數(shù)學(xué)盡管有王孝通的三次方程解法，李淳風(fēng)等整理十部算經(jīng)，國(guó)子監(jiān)設(shè)算學(xué)館等創(chuàng)設(shè)，但數(shù)學(xué)水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于魏晉南北朝。李淳風(fēng)等《九章算術(shù)注釋》，不僅沒有什么創(chuàng)造，反而幾次指責(zé)劉徽，而所有這些，錯(cuò)誤的不是劉徽，而恰恰是李淳風(fēng)等，其數(shù)學(xué)水平之差躍然紙上；[1]甚至連圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)與圓徑之比為三比一都說“難曉”，需舉實(shí)物為喻?！毒Y術(shù)》在算學(xué)館需修四年，可見相當(dāng)艱深。因此，“學(xué)官莫能究其深?yuàn)W”是可信的。王孝通對(duì)《綴術(shù)》的指責(zé)為此提供了旁證。王孝通在歷法上是守舊派。他著《緝古算經(jīng)》，自詡千金不能易一字，缺乏一個(gè)科學(xué)工作者應(yīng)有的謙虛和實(shí)事求是作風(fēng)。他對(duì)《綴術(shù)》的指責(zé)說明他與算學(xué)館的學(xué)官一樣，不能理解《綴術(shù)》艱深的內(nèi)容。這很像明朝數(shù)學(xué)大家顧應(yīng)祥對(duì)李冶《測(cè)圓海鏡》的指責(zé)。總之，《綴術(shù)》是唐朝學(xué)官看不懂被廢而不理，完全湮沒大約在安史之亂之后。[2]

三、《大明歷》與《駁議》

劉宋何承天制定的《元嘉歷》“比古十一家為密”，是一部?jī)?yōu)秀歷法。但祖沖之經(jīng)過長(zhǎng)期觀測(cè)、研究與計(jì)算，以為尚疏。于是在《大明歷》中提出許多革新，所謂“改易之意有二，設(shè)法之情有三”。改易之意，其一是改革閏周，將傳統(tǒng)的19年7閏改為391年144閏。直到唐初歷法不再討論閏周為止，這是最準(zhǔn)確的數(shù)值。其二是首次將歲差引入歷法。歲差是東晉虞喜發(fā)現(xiàn)的，何承天也推算了歲差值，但未用于歷法。祖沖之在《大明歷》中使用的歲差數(shù)值為45年11月退行1度。此外，《大明歷》的回歸年長(zhǎng)度為365.24281481日，朔望月日數(shù)為29.5305915，后者的誤差每月僅長(zhǎng)了0.5秒。直到宋代歷法的精度才超過這兩個(gè)數(shù)值。

《大明歷》的三項(xiàng)新設(shè)法都與上元積年的計(jì)算有關(guān)。中國(guó)古代制定歷法時(shí)，大都要先推算出若干年前的一個(gè)理想的歷元，使各種天象周期都處于初始狀態(tài)。這個(gè)理想的歷元被稱作“上元”。從上元到編定歷法那年的年數(shù)被稱作“上元積年”。祖沖之在《大明歷》中提出：“上元之歲，歲在甲子，天正甲子朔夜半冬至，日月五星，聚于虛度之初，陰陽(yáng)遲疾，并自此始。”這就要求“上元”之年必須是甲子年，該年十一月初一必須是甲子日，其夜半又恰好是合朔和冬至節(jié)氣，并且此時(shí)日月五星恰好都聚集于虛宿初度。要推算出這個(gè)理想的上元，需要解一次同余方程組問題?！秾O子算經(jīng)》已有這種解法，可以認(rèn)為，祖沖之在解一次同余方程組方面的造詣是相當(dāng)高的，可惜我們無法深究其具體成就。祖沖之還創(chuàng)造了測(cè)算與計(jì)算冬至?xí)r刻的方法。他給出交點(diǎn)月為27.2122304日，這是中國(guó)歷史上第一個(gè)交點(diǎn)月日數(shù)，比現(xiàn)代的理論數(shù)值僅多0.0000152日。此外，他給出的五星周期的數(shù)據(jù)也比較精確。[3]

祖沖之將《大明歷》呈上朝廷，宋世祖劉駿“下之有司，使內(nèi)外博議”。朝廷官員中通歷算者極少，“竟無異同之辯”。唯世祖寵臣戴法興竭力反對(duì)，指責(zé)祖沖之“誣天背經(jīng)”。祖沖之毫不畏懼，據(jù)理駁斥，寫出著名的《駁議》，即《大明歷議》。他針對(duì)戴法興所說天象“非凡夫所測(cè)”，指出：“遲疾之率，非出神怪，有形可檢，有數(shù)可推。劉賈能述，則可累功以求密矣。”針對(duì)戴法興說的“古人制章”“萬世不易”，指出：“曲辯碎說，類多浮詭，甘石之書，互為矛楯。今以一句之經(jīng)，誣一字之謬，堅(jiān)執(zhí)偏論，以罔正理，此愚情之所未厭也?！庇秩纭爸寥袅A舊誤，張衡述而弗改；漢時(shí)斛銘，劉歆詭謬其數(shù)；此則算氏之劇疵也?！币虼?，不應(yīng)“虛推古人”。前代的歷法當(dāng)時(shí)或許是準(zhǔn)確的，但日久則疏。祖沖之以元嘉、大明四次月蝕為例說：“凡此四蝕，皆與臣法符同，纖豪不爽。而法興所據(jù)，頓差十度，違沖移宿，顯然易睹。故知天數(shù)漸差，則當(dāng)式遵以為典，事驗(yàn)昭晰，豈得信古而疑今?！彼麍?jiān)定地表示：“愿聞顯據(jù)，以核理實(shí)”“浮辭虛貶，竊非所懼”?！恶g議》是科學(xué)史上一篇重要文獻(xiàn)，既反映了祖沖之實(shí)事求是的科學(xué)學(xué)風(fēng)，又顯示了他不畏權(quán)貴，敢于堅(jiān)持真理，敢于斗爭(zhēng)的大無畏精神。

《宋書·律歷志》說，在祖沖之與戴法興的辯論中，朝臣們畏懼戴法興的權(quán)勢(shì)，皆附和戴法興，“唯中書舍人巢尚之是沖之之術(shù)，執(zhí)據(jù)宜用”[4]。大明八年（464），世祖決定采用沖之新歷，明年改元。未及頒行，世祖去世，改歷之事被擱置下來。直到梁武帝天監(jiān)九年（510），在祖暅之的再三請(qǐng)求下，經(jīng)過與實(shí)際天象校驗(yàn)后，《大明歷》才被予以正式頒行，這時(shí)距祖沖之去世已10年，距《大明歷》編成已近50年。

四、祖率

《隋書·律歷志》在回顧了人們求圓周率值的過程之后，談到了祖沖之的貢獻(xiàn)：

宋末，南徐州從事史祖沖之更開圓率密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈、朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率：圓徑七，周二十二。

此相當(dāng)于3.1415926＜π＜3.1415927，約率：π=，密率：π=。

祖沖之將圓周率精確到8位有效數(shù)字，這個(gè)精確度直到1247年才被中亞數(shù)學(xué)家阿爾·卡西所超過。而密率則是分母小于16604的接近真值的最佳分?jǐn)?shù)，它于1573年才被德國(guó)數(shù)學(xué)家奧托重新發(fā)現(xiàn)。后來，荷蘭工程師安托尼茲也得到同樣的結(jié)果。后者是用阿基米德的方法求出＜π＜，然后取二者分子、分母的平均值得出的。[5]西方將稱為安托尼茲率。日本學(xué)者三上義夫建議將稱為祖率，是有道理的。

祖沖之是怎樣求出上述值的，史書沒有記載。一般認(rèn)為，他是利用劉徽的計(jì)算圓周率的程序求得π的8位有效數(shù)字的。錢寶琮《中國(guó)數(shù)學(xué)史》的推測(cè)是：直徑為1丈的圓的內(nèi)接正6×210邊形的面積S10=3.14159251丈2，正6×211邊形的面積S11=3.14159261丈2，于是S11-S10=3.14159261丈2-3.14159251丈2=0.0000001丈2。由于S11＜S＜S10+2（S11-S10），那么得到圓面積的盈、朒二限：3.14159261丈2＜S＜3.14159271丈2。

利用《九章算術(shù)》的圓面積公式S=Lr，便可求出圓周長(zhǎng)的盈朒二限：3.14159261丈＜L＜3.14159271丈 。這正是祖沖之的結(jié)果。

約率實(shí)際上是何承天求出的。據(jù)《隋書·天文志上》，何承天說，周天365度，南北二極相去116度強(qiáng)，即天徑。天徑與天周之比與非常接近。

至于密率是怎么求得的，數(shù)學(xué)史界有各種猜測(cè)。有的學(xué)者認(rèn)為是通過繁分?jǐn)?shù)或漸近分?jǐn)?shù)求得的。但是，它不符合中國(guó)古代的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)。我們知道，《九章筭術(shù)》與劉徽時(shí)代很不愿意使用繁分?jǐn)?shù)（即重有分），這種傳統(tǒng)到祖沖之時(shí)代看不出有改變的跡象。錢寶琮《中國(guó)數(shù)學(xué)史》認(rèn)為祖沖之是用何承天的調(diào)日法求得密率的。已知＜π＜，以作為圓周的強(qiáng)率，作為弱率。將強(qiáng)、弱二率的分子、分母分別相加，得到=＜π。由此類推，便得到=。祖沖之將其作為圓周密率。

祖沖之與何承天都是南朝歷算大家，祖沖之繼承何承天的方法頗多。我們認(rèn)為，錢寶琮的推測(cè)是可信的。

五、祖暅之原理

中國(guó)古代處理圓柱、圓錐、圓亭以及球等圓體體積，主要借助于截面積原理，亦即祖暅之原理。截面積原理在《九章算術(shù)》時(shí)代就有其雛形，劉徽實(shí)際上已認(rèn)識(shí)到其實(shí)質(zhì)，祖暅之以簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言概括了這一原理。

（一）《九章算術(shù)》的底面積原理

《九章算術(shù)》和秦漢數(shù)學(xué)簡(jiǎn)牘給出了若干圓體的體積公式，除了使用“周三徑一”外，都是正確的。實(shí)際上這些圓體體積公式是通過比較圓體與相應(yīng)的方體的底面積得到的。很明顯，在《九章算術(shù)》中，方堢壔與圓堢壔，方錐與圓錐，方亭與圓亭都是成對(duì)的出現(xiàn)，而且在術(shù)文的形式上，后者都是前者加一個(gè)系數(shù)，也就是以后者的底面周長(zhǎng)構(gòu)造前者形狀的一個(gè)方體，比較其底面積，由前者推導(dǎo)后者。

（二）《九章算術(shù)》中錯(cuò)誤的球體積公式

《九章算術(shù)》開立圓術(shù)給出了已知球體積V，求球直徑的公式d=。也就是球體積公式：

V=d3 （1）

劉徽指出《九章算術(shù)》開立圓術(shù)所使用的球體積公式是錯(cuò)誤的。他說：

為術(shù)者蓋依周三徑一之率。令圓冪居方冪四分之三，圓囷居立方亦四分之三。更令圓囷為方率十二，為丸率九，丸居圓囷又四分之三也。置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也。故以十六乘積，九而一，得立方之積。丸徑與立方等，故開立方而除，得徑也。

圓囷就是圓堢壔，即今之圓柱。設(shè)圓與其外切正方形的面積分別為S圓，S方，圓柱與其外切正方體的體積分別為V圓柱和V正方體。劉徽記錄的《九章算術(shù)》的推導(dǎo)過程是：因?yàn)镾圓∶S方=3∶4，故V圓柱∶V正方體=3∶4，而

V球∶V圓柱=3∶4" " （2）

由于以d為邊長(zhǎng)的正方體體積是V正方體=d3，故有（1）式。

劉徽指出：“然此意非也。”造成錯(cuò)誤的關(guān)鍵在于推導(dǎo)中使用了錯(cuò)誤的（2）式。而（2）式錯(cuò)誤的原因是只考慮了球與圓柱的一個(gè)截面，即大圓和大方的面積之比，如圖1（1），而沒有考慮兩者任意截面的面積之比。實(shí)際上，只要不是球與圓柱的大圓和大方，其他任意截面上，（2）式都不成立，如圖1（2）所示。

（三）劉徽的截面積原理

劉徽在求由羨除分割出來的大鼈腝的體積時(shí)，提出：“推此上連無成不方，故方錐與陽(yáng)馬同實(shí)?！?“成”，層也。《周禮·秋官司寇》：“將合諸侯，則令為壇三成。”鄭玄注曰：“三成，三重也?！眲⒒赵谶@里使用了一個(gè)重要原理：同底等高的方錐與陽(yáng)馬沒有一層不是相等的方形，所以它們的體積才相等，如圖2。這是十分明確的截面積原理，并且把立體看成無數(shù)層平面一層層疊積而成的，類似于卡瓦列利的不可分量。

因此，劉徽常把立體體積稱作積分，如圓亭術(shù)注說“三方亭之積分”，委粟術(shù)注說“三方錐之積分”。這里的積分當(dāng)然不是積分學(xué)中的積分，但其本質(zhì)是一致的。實(shí)際上，點(diǎn)與線，線與面，都有類似于平面與立體的關(guān)系。劉徽認(rèn)為，從正六邊形開始割圓，終究會(huì)達(dá)到“不可割”的地步，實(shí)際上與圓周合體的正多邊形的每邊長(zhǎng)已退化成點(diǎn)。也就是說，圓周的這條線是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)積累而成的。所以，劉徽也稱線為“積分”，如委粟注中說“徑之積分”。

正因?yàn)橛羞@種認(rèn)識(shí)，劉徽才能指出《九章算術(shù)》使用的球體積公式是錯(cuò)誤的，才能設(shè)計(jì)出牟合方蓋，指出解決球體積問題的正確途徑。

總之，劉徽的大量論述表明，他已經(jīng)完全把握了截面積原理的本質(zhì)，并且，劉徽不僅討論兩者相等的情形，而且也討論了兩者呈率關(guān)系的情形。只是劉徽的這些論述分散在不同術(shù)文的注中，沒有以簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言將其概括出來。

（四）祖暅之原理

祖暅之繼承了劉徽關(guān)于截面積原理的深刻認(rèn)識(shí)，以相當(dāng)簡(jiǎn)潔的文字概括了這一原理?！毒耪滤阈g(shù)》開立圓術(shù)李淳風(fēng)等注釋所引祖暅之的開立圓術(shù)中說：“夫疊棊成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異。”就是說，兩立體，若它們?nèi)我獾雀咛幍慕孛娣e相等，則它們的體積不能不相等。這就是祖暅之原理，它與卡瓦列利原理是等價(jià)的。

在劉徽設(shè)計(jì)的牟合方蓋中，祖暅之不僅考慮兩個(gè)立體，而且考慮兩組立體，就是說，兩組立體，若它們分別在任意等高處的截面積之和相等，則它們的體積相等。

六、牟合方蓋與球體積

（一）劉徽設(shè)計(jì)的牟合方蓋

劉徽為解決球體積，設(shè)計(jì)了牟合方蓋。他說：

取立方棊八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸。規(guī)之為圓囷，徑二寸，高二寸。又復(fù)橫規(guī)之，則其形有似牟合方蓋矣。八棊皆似陽(yáng)馬，圓然也。按：合蓋者，方率也；丸居其中，即圓率也。推此言之，謂夫圓囷為方率，豈不闕哉？

劉徽取兩個(gè)相等的圓柱體使之正交，其公共部分稱作牟合方蓋，如圖3。設(shè)牟合方蓋的體積為V方蓋，劉徽指出：

V球∶V方蓋=π∶4" "（3）

由于V方蓋＜V圓柱是不言而喻的，因而證明了V球∶V圓柱=π∶4是錯(cuò)誤的。劉徽認(rèn)為，只要求出牟合方蓋的體積，便可求出球的體積公式。

劉徽經(jīng)過努力未能求出牟合方蓋的體積，不強(qiáng)為之說，坦誠(chéng)地記下了自己的困惑：

觀立方之內(nèi)，合蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結(jié)，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正。欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者。

顯示了一位真正科學(xué)家實(shí)事求是的高風(fēng)亮節(jié)。200年后的祖沖之父子就是劉徽期待的“能言者”，他們徹底解決了這個(gè)問題。

（二）祖暅之關(guān)于牟合方蓋的求積方法

祖暅之利用祖暅之原理求出了牟合方蓋的體積，解決了球體積問題，完成了劉徽的遺志。錢寶琮根據(jù)祖沖之《駁議》說“立圓舊誤，張衡述而弗改”，在《中國(guó)數(shù)學(xué)史》中說“《綴述》中很可能有一篇討論牟合方蓋和立圓體積的計(jì)算方法”，換言之，球體積的解決是祖沖之、祖暅之父子的共同貢獻(xiàn)。李淳風(fēng)等注釋引祖暅之開立圓術(shù)說：

祖暅之之開立圓術(shù)曰：以二乘積，開立方除之，即立圓徑。其意何也？取立方棊一枚，令立樞于左后之下隅，從規(guī)去其右上之廉；又合而橫規(guī)之，去其前上之廉。于是立方之棊分而為四：規(guī)內(nèi)棊一，謂之內(nèi)棊；規(guī)外棊三，謂之外棊。規(guī)更合四棊，復(fù)橫斷之。以勾股言之，令余高為勾，內(nèi)棊斷上方為股，本方之?dāng)?shù)，其弦也。勾股之法：以勾冪減弦冪，則余為股冪。若令余高自乘，減本方之冪，余即內(nèi)棊斷上方之冪也。本方之冪即內(nèi)外四棊之?dāng)嗌蟽?。然則余高自乘，即外三棊之?dāng)嗌蟽缫?。不問高卑，?shì)皆然也。然固有所歸同而涂殊者爾。而乃控遠(yuǎn)以演類，借況以析微。按：陽(yáng)馬方高數(shù)參等者，倒而立之，橫截去上，則高自乘與斷上冪數(shù)亦等焉。夫疊棊成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異。由此觀之，規(guī)之外三棊旁蹙為一，即一陽(yáng)馬也。三分立方，則陽(yáng)馬居一，內(nèi)棊居二可知矣。合八小方成一大方，合八內(nèi)棊成一合蓋。內(nèi)棊居小方三分之二，則合蓋居立方亦三分之二，較然驗(yàn)矣。置三分之二，以圓冪率三乘之，如方冪率四而一，約而定之，以為丸率。故曰丸居立方二分之一也。

祖暅之考慮立方的八分之一。他著言于正方體中在切割出牟合方蓋之后剩余的部分。記正方體的為ABCDEFGO，如圖4（1）所示。其內(nèi)切牟合方蓋的為AEFGO，稱為內(nèi)棊，如圖4（2）所示。正方體與牟合方蓋之間的部分在切割出牟合方蓋時(shí)被切割成三部分：ADEF，ABGF，ABCDF，稱為外三棊，如圖4（3）（4）（5）所示。用一平面在高OA上任一點(diǎn)N處橫截ABCDEFGO，得截面IJKN。設(shè)ON=a，稱為余高，則其截面IJKN的面積為球半徑之平方r2。內(nèi)棊的截面為正方形NMHL，設(shè)其面積為b2，那么，顯然，外三棊的截面，即長(zhǎng)方形LHQK，MIPH，和正方形HPJQ的面積之和應(yīng)為r2-b2。而由勾股形ONM，r2-b2=a2，即余高自乘。而a2恰恰等于一個(gè)長(zhǎng)、寬、高相等的陽(yáng)馬距頂點(diǎn)為a處的橫截面積，如圖4（6）所示。由祖暅之原理，外三棊的體積之和與其長(zhǎng)、寬、高為球半徑的陽(yáng)馬的體積相等，即等于小立方的。因此，內(nèi)棊的體積是小立方的。這就證明了牟合方蓋的體積是其外切正方體體積的。若取π=3，則球體積為：V球=×D3=D3。從而最終解決了球體積問題。

祖暅之的高明之處在于，他將祖暅之原理應(yīng)用于幾塊立體的截面積之和與另一立體的截面積的比較上；而且，這幾塊立體的截面積也沒有保持同一形狀，而是逐漸變化的；更重要的，各截面積的變化率也不是如《九章算術(shù)》和劉徽所論者都是線性，而是非線性的。這種應(yīng)用的拓展表明祖暅之對(duì)此原理的認(rèn)識(shí)比劉徽進(jìn)了一大步。

《隋書》還記載祖沖之開差冪、開差立，兼以正負(fù)參之，很可能是含有負(fù)數(shù)的2次、3次方程解法。

（作者簡(jiǎn)介：郭書春，中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所研究員，國(guó)際科學(xué)史研究院通訊院士，曾任中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所黨委委員、工會(huì)主席、學(xué)術(shù)委員會(huì)副主任兼數(shù)學(xué)史天文學(xué)史研究室主任、全國(guó)數(shù)學(xué)史學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)。）

欄目編輯：王魁詩(shī)

參考文獻(xiàn)

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[2]郭書春.是《綴術(shù)》“全錯(cuò)不通”，還是王孝通“莫能究其深?yuàn)W”？[M]//郭書春數(shù)學(xué)史自選集：下冊(cè).濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2018.

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