直線與圓錐曲線都有相應(yīng)的參數(shù)方程.在解答圓 錐曲線問(wèn)題時(shí)，靈活運(yùn)用參數(shù)方程，不但能夠降低解 題的難度，還可以提高解題的效率.下面結(jié)合實(shí)例，談 一談如何巧妙運(yùn)用直線、橢圓、雙曲線的參數(shù)方程解 答圓錐曲線問(wèn)題.

一、巧用直線的參數(shù)方程解題

若直線 l 過(guò)點(diǎn) （x0，y0） ，且傾角為 θ ，則其參數(shù)方程 為 ì í ? x = x0 + t cos θ， y = y0 + tsin θ，t 為參數(shù).若 P（x，y） 為直線上的任意 一點(diǎn)，則 |PP | 0 = t ，即參數(shù) t 的幾何意義為 P、P0 兩點(diǎn) 之間的距離.在解題時(shí)，可根據(jù)題意設(shè)出直線的參數(shù)方 程，將直線上的點(diǎn)用含有 θ 的正余弦函數(shù)式表示出 來(lái)，即可快速求得弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

例1

解：

設(shè)出直線 l 的參數(shù)方程，即可根據(jù)參數(shù) t 的幾何 意義快速求得 |MA|、|MB| 的關(guān)系式.再根據(jù)韋達(dá)定理 建立關(guān)于 θ 的關(guān)系式，就能根據(jù)直線的斜率公式求得 直線 l 的斜率和方程.

例2

解：

我們需先求得圓的方程并設(shè)出直線的參數(shù)方程； 然后將兩個(gè)方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得到與 M、N 兩 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù) t1 、t2 的和與積；再根據(jù)弦長(zhǎng)公式以及 余弦函數(shù)的有界性求得弦長(zhǎng) |MN| 的取值范圍.在求解 線段長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)，靈活運(yùn)用參數(shù) t 的幾何意義，可快速 獲得問(wèn)題的答案.

二、巧用橢圓的參數(shù)方程解題

橢圓 x 2 a2 + y2 b 2 = 1（a gt; b gt; 0）的參數(shù)方程為 ì í ? x = a cos φ， y = b sin φ，其中 a gt; b gt; 0 ，φ 為離心角.在解答橢圓問(wèn)題時(shí)，可根 據(jù)橢圓的參數(shù)方程設(shè)出橢圓上的點(diǎn)，用含有 φ 的正余 弦函數(shù)式表示出目標(biāo)式，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù) 問(wèn)題，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得目標(biāo)式的最值、 取值范圍.

例3

解：

根據(jù)橢圓的參數(shù)方程可直接設(shè)出 B（2 cos θ， 3sin θ）， 這樣便將直線與圓錐曲線之間的最小距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化 為求點(diǎn)到直線的距離.再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式建 立關(guān)系式，就能直接根據(jù)余弦函數(shù)的有界性求得距離 的最小值.

三、巧用雙曲線的參數(shù)方程解題

雙 曲 線 x 2 a2 - y2 b 2 = 1（a gt; 0，b gt; 0） 的 參 數(shù) 方 程 為 {x = a sec ?， y = b tan ?，其中 a gt; 0，b gt; 0，? 為參數(shù).雙曲線還有另 一種參數(shù)方程 ì í ? ?? ?? x = a 2 （t + 1 t ） y = b 2 （t - 1 t ） ，其中 a gt; 0，b gt; 0，t 為參 數(shù).若圓錐曲線問(wèn)題中涉及了角，則用前一種參數(shù)方程 解題；若圓錐曲線問(wèn)題中的變量與角無(wú)關(guān)，則用后一 種參數(shù)方程解題.運(yùn)用雙曲線的參數(shù)方程解題，可以將 二次式化為一次式，這樣便能有效地減少運(yùn)算量，提 升解題的效率.

例 4.在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，以 O 為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，雙曲線 C 的參數(shù)方 程為 ì í ? ?? ?? x = 3 2 （m + 1 m）， y = 1 2 （m - 1 m）， （m 為參數(shù)）直線 l 的極坐標(biāo)方 程為 ρ cos（θ + π 4 ）= 2 .

解：

解答本題，需先利用雙曲線的參數(shù)方程，得到普 通方程；再根據(jù)直線 l 的參數(shù)方程以及韋達(dá)定理求得 A、B 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù) t1 、t2 的關(guān)系式，進(jìn)而求得 ||PA| - |PB|| 的值.

綜上所述，在解答圓錐曲線問(wèn)題時(shí)，靈活運(yùn)用直 線、橢圓、雙曲線的參數(shù)方程，不僅能用一個(gè)有關(guān)角 的變量表示出直線、曲線上的點(diǎn)，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化， 還可以轉(zhuǎn)換解題的思路，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn) 題來(lái)求解.

（作者單位：安徽省合肥市巢湖市第二中學(xué)）