最值問題比較常見.解答最值問題通常有多種不同的方法和思路.本文以2023年高考乙卷文科單選題的第11題為例，談一談最值問題的解法，以供大家參考.

題目：已知實數(shù)x，y滿足x2+y2-4x-2y-4=0，則x-y的最大值是（）.

A.1+B.4 C.1+3 D.7

該題的難度不大，要求x-y的最大值，需重點研究已知關(guān)系式x2+y2-4x-2y-4=0，將其作為約束x、y的條件，來尋找解題的思路.解答本題主要有以下幾種方法.

一、數(shù)形結(jié)合法

對于最值問題，我們通常可以從代數(shù)式的幾何意義入手，將問題中的代數(shù)式視為直線的方程、圓的方程、二次函數(shù)式、冪函數(shù)式等，并畫出相應(yīng)的圖形，研究圖形中的位置關(guān)系，找到臨界的情形，如相切、最高點、最低點等，即可確定目標(biāo)式的最值.

解：x2+y2-4x-2y-4=（x-2）2+（y-1）2=9，

則該式可看作圓心為（2，1），半徑為3的圓.設(shè)直線x-y=k，

則圓心到直線x-y=k的距離d=≤3，解得1-3≤k≤1+3，

即x-y的最大值為1+3，故選C項.

我們將已知關(guān)系式看作圓的方程，將目標(biāo)式視為直線的方程，顯然它們有交點，則直線與圓相交或相切，使圓心到直線的距離小于或等于半徑，即可確保直線與圓相交或相切，求得此時k的范圍即可解題.

二、三角換元法

對于二次最值問題，通常要先將其配成完全平方式，并將其與同角的三角函數(shù)關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1相關(guān)聯(lián)，令x=cosθ、y=sinθ，或x=rcosθ+a、y=rsinθ+b；然后將其代入關(guān)系式中進(jìn)行運算，即可將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.利用三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性進(jìn)行求解，即可求得最值.

解：x2+y2-4x-2y-4=（x-2）2+（y-1）2=9，

令x=3 cosθ+2，y=3 sinθ+1，其中θ∈[0，2π]，

則x-y=3 cosθ-3 sinθ+1=3 cos（（θ++1，因為θ∈[0，2π]，所以θ+∈，，

則當(dāng)θ+=2π，即θ=時，x-y取最大值3+1，故選C項.

先將已知關(guān)系式配方，并令x=3 cosθ+2，y=3 sinθ+1，即可將目標(biāo)式化為三角函數(shù)式；再運用輔助角公式將其化簡為余弦函數(shù)式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性和有界性即可順利求得最值.

三、判別式法

對于二次最值問題，有時可將目標(biāo)式用參數(shù)替換，將其代入已知關(guān)系式中，以構(gòu)造出一元二次方程，即可根據(jù)方程有解，得出判別式Δ≥0，這樣便可建立關(guān)于參數(shù)的不等式.解該不等式，即可求得目標(biāo)式的最值.

解：令x-y=k，則x=k+y，

將其代入x2+y2-4x-2y-4=0，

化簡得2y2+（2k-6）y+k2-4k-4=0，

因為實數(shù)y存在，則Δ≥0，

即（2k-6）2-4×2（k2-4k-4）≥0，

化簡得k2-2k-17≤0，解得1-3≤k≤1+3，故x-y的最大值是3+1，故選C項.

令x-y=k，將其代入已知關(guān)系式，即可構(gòu)造出一元二次方程2y2+（2k-6）y+k2-4k-4=0.而實數(shù)y存在，則Δ≥0，建立關(guān)于參數(shù)k的不等式即可解題.

四、利用柯西不等式

柯西不等式：設(shè)ai，bi∈R，i=1，2，???，n，則（aibi）2≤ai2 bi2，當(dāng)且僅當(dāng)ai=kbi（k為常數(shù)）時成立.柯西不等式是求解多元最值問題的重要工具.在運用柯西不等式解題時，要將代數(shù)式配湊為積式的平方和、平方和的積，并在求得最值后，要檢驗等號成立的條件是否滿足題意.

解：

先將已知關(guān)系式配方為完全平方式；然后配湊出 兩常數(shù)的平方1 2 +（-1） 2 ，使 [（x - 2） 2 +（y - 1） 2 ] ? [1 2 +（-1） 2 ] 為兩平方和的積.而 （x - 2） 2 +（y - 1） 2 = 9 ，即可根據(jù)柯西 不等式求得 （x - y - 1） 2 的最值.

五、利用拉格朗日乘數(shù)法

拉格朗日乘數(shù)法是求變量受一個或多個條件所 限制的多元函數(shù)的極值的方法.設(shè)二元函數(shù) z = f （x，y） 和 φ（x，y）= 0，則拉格朗日函數(shù)F（x，y，λ）= f （x，y）+ λφ（x，y）， 其中 λ為參數(shù).

令 F（x，y，λ） 對 x 、y 和 λ的一階偏導(dǎo)數(shù)等于0，

由上述方程組解出的 x、y 和 λ，就是函數(shù) z = f （x，y） 在附加條件 φ（x，y）= 0 下的可能極值點.這樣便可快速 求得目標(biāo)式的最值.

解：

解答本題主要利用了拉格朗日乘數(shù)法.構(gòu)造拉格 朗日函數(shù) F（x，y，λ）= x - y + λ（x 2 + y2 - 4x - 2y - 4） ，分別 求 x 、y 和 λ 的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，據(jù)此建立方 程組，即可求得 x、y 的值，進(jìn)而求得 x - y 的最大值.

在遇到一道典型題目時，我們不能僅僅停留在 “會解題”的層面，還要深入研究題目的本質(zhì)，如為什 么要這樣解？是否還有其他解法？這類題目的通性 通法是什么？有什么相應(yīng)的結(jié)論？唯此才能真正掌 握題目的本質(zhì)，通過解一道題學(xué)會解一類題，便能大 大提升學(xué)習(xí)的效率.

本文系2023年度河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項目 《基于學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的高中數(shù)學(xué)試題命制研究》 （JCJYC2303110011）研究成果

（作者單位：王雷鳴，河南省漯河市教育教學(xué)研究 室；金萬玉，河南省漯河實驗高級中學(xué)）