三角函數(shù)最值問題通常綜合考查三角函數(shù)的基本公式、性質(zhì)、圖象的應用.這類問題的命題形式多樣，解法也各不相同.下面結(jié)合一道例題，談一談解答三角函數(shù)最值問題的幾種方法.

題目：已知+=1，求+的最小值.

解法一：柯西不等式法

柯西不等式是解答最值問題常用的方法.柯西不等式即：對于實數(shù)a，b，c，d，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當且僅當ad=bc時取等號.運用柯西不等式解題，需對代數(shù)式進行適當?shù)淖冃?，使其與柯西不等式的形式一致.

解：因為+=1，

根據(jù)柯西不等式得（cos2α+sin2α）（+）≥（+）2=1，

當且僅當a2 cos2α=b2 sin2α時等號成立，即+≥1.

我們先根據(jù)同角的三角函數(shù)關系式sin2α+cos2α=1進行代換，便能配湊出兩式的平方和；再根據(jù)柯西不等式求+的最小值；最后需檢驗等號成立的條件是否滿足題意.

解法二：利用三角函數(shù)的性質(zhì)

對于含有正弦、余弦函數(shù)的三角函數(shù)最值問題，通?？衫幂o助角公式asin x+bcos x=sin（x+φ）（其中tanφ=）、誘導公式、兩角和差公式等進行三角恒等變換，將函數(shù)式化為只含一種函數(shù)名稱的式子，這樣就可以直接根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的有界性和單調(diào)性來求最值.

解：因為+=1，

則bcosα+asinα=ab，

所以sin（α+φ）=，所以||≤1，即a2b2≤a2+b2，可得+≥1.

我們用輔助角公式將已知關系式化簡為sin（α+φ），即可根據(jù)正弦函數(shù)的有界性建立關系式||≤1，從而求得目標式的最值.在利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值時，往往要先根據(jù)題意確定自變量的取值范圍.

解法三：數(shù)形結(jié)合法

運用數(shù)形結(jié)合法，可將復雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何問題來研究，也可將復雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)運算問題來求解.對于三角函數(shù)最值問題，我們可以將某個角的三角函數(shù)值看作直角坐標系中的點，根據(jù)三角函數(shù)的定義構(gòu)造出圓、直角三角形等，就可以根據(jù)圓、直角三角形的性質(zhì)尋找到目標式取得最值的情形，從而順利解題.

解：設點M（cosα，sinα）在圓x2+y2=1上，

所以直線+=1與圓x2+y2=1相交或相切，

所以圓心到直線的距離d=

所以+≥1.

將+=1視為直線，并構(gòu)造單位圓x2+y2=1，即可根據(jù)直線與圓的位置關系建立關系式，從而求得+的最小值.

解法四：向量法

在解答三角函數(shù)最值問題時，我們通常可根據(jù)已知關系式的特點，將其與向量的數(shù)量積、模的公式關聯(lián)起來，以構(gòu)造出向量模型，通過向量的運算求得最值.

解：令=（cosα，sinα），=（，），

則?=+=1，

因為?≤||?||，

所以1≤?b（1）2，即+≥1.

設=（cosα，sinα），=（，），即可根據(jù)向量的數(shù)量積得出+=?=1.再根據(jù)關系式?≤||?||，就能求得目標式的最值.

可見，解答三角函數(shù)最值問題，可以利用向量、平面幾何圖形的性質(zhì)、柯西不等式、三角函數(shù)的性質(zhì)等知識來求解.同學們要學會根據(jù)不同的知識點，來尋找解題的思路，這樣便能拓寬解題的思路，優(yōu)化解題的方案.

（作者單位：江蘇省東臺市唐洋中學）