楊徐夢(mèng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)表達(dá)、概括歸納、遷移應(yīng)用等學(xué)習(xí)過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)除了基本概念、原理、法則、性質(zhì)等內(nèi)容的掌握，更要會(huì)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.這就要培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移應(yīng)用能力.“將軍飲馬”模型在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，就是利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”這一簡(jiǎn)單的原理解決生活和學(xué)習(xí)中的許多數(shù)學(xué)問(wèn)題.模型的遷移應(yīng)用可以把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化.通過(guò)建立聯(lián)系，形成規(guī)律，從而準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

1 “將軍飲馬”情境再現(xiàn)

唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題.這首詩(shī)中將軍騎馬觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)（如圖1）出發(fā)，騎馬到河邊飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng)，要怎樣走才能使所走的總路程最短.

2 “將軍飲馬”模型

如圖2，把宿營(yíng)地和山腳出發(fā)點(diǎn)看作兩個(gè)點(diǎn)A，B，把河流看作直線a，即在直線a同側(cè)有兩個(gè)定點(diǎn)A，B，在直線a上找一點(diǎn)C，使AC+BC的值最小.如果點(diǎn)A，B在直線a的異側(cè)，利用公理“兩點(diǎn)之間線段最短”就可以解決.下面利用兩個(gè)模型進(jìn)行探究學(xué)習(xí).

模型一：“異側(cè)兩定一動(dòng)”模型.

已知：定點(diǎn)A，B在定直線l的兩側(cè).

要求：在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小.

分析：連接AB，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求點(diǎn).線段AB的長(zhǎng)度即為PA+PB的最小值.

理由：“兩點(diǎn)之間線段最短”，可以利用“三角形兩邊之和大于第三邊”來(lái)證明.如圖3，在直線l上任取一點(diǎn)P′（點(diǎn)P′與點(diǎn)P不重合），連接AP′，BP′.

因?yàn)樵凇鰽BP′中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP，所以當(dāng)P為直線AB與直線l的交點(diǎn)時(shí)，PA+PB的值最小.

模型二：“同側(cè)兩定一動(dòng)”模型.

已知：定點(diǎn)A和定點(diǎn)B在定直線a的同側(cè).

要求：在直線a上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最?。ɑ颉鰽BP的周長(zhǎng)最?。?

分析：此問(wèn)題的關(guān)鍵是要把“同側(cè)兩定”轉(zhuǎn)化成“異側(cè)兩定”，這樣就可以利用模型一來(lái)解決.而要實(shí)現(xiàn)等距離遷移，就不難想到利用對(duì)稱來(lái)解決.所以可以作點(diǎn)B關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)B′，如圖4，連接AB′，交直線a于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是所要找的點(diǎn).

理由：因?yàn)镻B′=PB，所以可得

PA+PB=PA+PB′=AB′.

3 “將軍飲馬”模型的遷移應(yīng)用

3.1 在方案設(shè)計(jì)題中的遷移應(yīng)用

例1 在河流CD的同側(cè)有兩個(gè)村莊A，B，A村莊到河流的距離AC=10 km，B村莊到河流的距離BD=30 km，且CD=30 km.現(xiàn)在打算在河邊建一個(gè)自來(lái)水廠，向A和B兩個(gè)村莊供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為3萬(wàn)元/km，要使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，請(qǐng)你在河流CD上選擇水廠的位置M，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用？

分析：A，B兩定點(diǎn)在直線CD的同側(cè)，M是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以此題屬于“同側(cè)兩定一動(dòng)”模型.

解：如圖5所示，作點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交CD于點(diǎn)M，則AM+BM=AM+B′M=AB′，此時(shí)水廠建在點(diǎn)M時(shí)，費(fèi)用最小.

對(duì)于“將軍飲馬”模型類問(wèn)題，利用軸對(duì)稱變換，通過(guò)化曲為直，把折線路徑轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”求出線段之和或三角形周長(zhǎng)最小值，可利用兩邊之和大于第三邊作簡(jiǎn)單證明.此類問(wèn)題的解題步驟為：（1）選擇模型；（2）作對(duì)稱；（3）定交點(diǎn)；（4）連路徑.