崔濤　朱向東

1 原題呈現(xiàn)

如圖，P為正方形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接DP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作MN⊥DE分別交BC，AD于M，N.

（1）如圖1，求證：MN=DE.

（2）如圖2，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于直線DE對(duì)稱，連接FA并延長(zhǎng)交直線DE于點(diǎn)G，連接BG.

①設(shè)∠ADE的度數(shù)為x，求∠DGF的度數(shù)；

②猜想AF與BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

2 解題思路分析

核心概念，居于學(xué)科知識(shí)的中心地位，具有廣泛的適用性和解釋力.在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，核心概念表現(xiàn)出網(wǎng)絡(luò)狀、持久性和可遷移等特點(diǎn).對(duì)核心概念的深度理解，能夠幫助學(xué)生把握知識(shí)本質(zhì)，形成學(xué)科觀念；推動(dòng)知識(shí)關(guān)聯(lián)的高效形成，發(fā)展應(yīng)用能力；生長(zhǎng)和優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)核心素養(yǎng).

對(duì)于第（2）大問(wèn)的第②小問(wèn)，筆者立足核心概念，深挖概念背后的本質(zhì)屬性，明晰思維路徑，聯(lián)通知識(shí)網(wǎng)絡(luò).利用幾何直觀，圖形化核心概念的內(nèi)涵，給出如下解題方案：

第一種方案是以“軸對(duì)稱”為問(wèn)題分析的起點(diǎn)，構(gòu)造基本圖.利用圖形關(guān)系，與正方形的相關(guān)性質(zhì)形成關(guān)聯(lián).通過(guò)三角形相似或三角函數(shù)，落腳于線段的比，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)線段數(shù)量關(guān)系的求解.

第二種方案是立足“等腰三角形”，結(jié)合先驗(yàn)知識(shí)，添加常用輔助線.聚焦圖形變化，與正方形的相關(guān)性質(zhì)形成關(guān)聯(lián).通過(guò)幾何直觀，進(jìn)一步擬定解題策略.通過(guò)三角形相似或三角函數(shù)，求得目標(biāo)線段的數(shù)量關(guān)系.

3 解題方案實(shí)施

結(jié)合上面的兩種方案，有如下6種具體思路和解法.

思路1：聚焦軸對(duì)稱，構(gòu)造基本圖.通過(guò)幾何直觀，猜想并證明△CAF與△CBG相似.借助相似比，求得目標(biāo)線段之間的數(shù)量關(guān)系.

思路2：以軸對(duì)稱為起點(diǎn)，基本圖為根本.通過(guò)構(gòu)造和證明△CBH與△ABG全等，得到與線段AG等長(zhǎng)的線段CH.最后，通過(guò)線段和差與等腰直角三角形BGH的相關(guān)性質(zhì)，求得目標(biāo)線段之間的數(shù)量關(guān)系.

4 反思

通過(guò)思維路徑的明晰和解題方案的實(shí)施，不難發(fā)現(xiàn)，核心概念作為問(wèn)題分析的起點(diǎn)、知識(shí)融合的關(guān)聯(lián)點(diǎn)、素養(yǎng)提升的落腳點(diǎn)，貫穿解題活動(dòng)的始終.核心概念背后潛藏的知識(shí)、方法和思想，反映出學(xué)科的主要觀點(diǎn)和思維方式，搭建成學(xué)科骨架，內(nèi)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)的主干.為了加深數(shù)學(xué)理解、追求數(shù)學(xué)本質(zhì)、發(fā)展關(guān)鍵能力、養(yǎng)成必備品格，筆者立足“三會(huì)”，從核心概念的視角，對(duì)積淀核心素養(yǎng)的方法進(jìn)行了如下幾點(diǎn)思考：

4.1 豐富核心概念的圖形化內(nèi)涵，發(fā)展幾何直觀

在我國(guó)現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典中，對(duì)“直觀”的解釋是：用感官直接接受，直接觀察.國(guó)內(nèi)學(xué)者和教育家則認(rèn)為：直觀是直接從感覺(jué)和具體背后，發(fā)現(xiàn)抽象的實(shí)質(zhì).新課標(biāo)對(duì)幾何直觀的定義為：運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣.在教學(xué)和解題活動(dòng)中，將核心概念的內(nèi)涵圖形化，有利于發(fā)現(xiàn)思維起點(diǎn)，洞察知識(shí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，把握問(wèn)題本質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光.

4.2 厘清核心概念潛藏的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，提升推理能力

對(duì)核心概念的學(xué)習(xí)，應(yīng)該更側(cè)重于概念背后的知識(shí)、方法和思想，側(cè)重于思維方式的建立和意識(shí)、觀念的形成.在教學(xué)和解題活動(dòng)中，應(yīng)注重對(duì)學(xué)生循循善誘，啟發(fā)引導(dǎo).在探求概念實(shí)質(zhì)的過(guò)程中，積累推理經(jīng)驗(yàn)，體悟數(shù)學(xué)思想.在對(duì)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提出、猜想與證明的過(guò)程中，深化邏輯思維，提升推理能力.養(yǎng)成講道理、有條理的學(xué)科思維品質(zhì).

4.3 感悟核心概念的統(tǒng)攝性和解釋力，凝練數(shù)學(xué)表達(dá)

思維的統(tǒng)攝性，是指在思考和處理復(fù)雜的系統(tǒng)性事物時(shí)，能夠統(tǒng)籌兼顧各個(gè)部分，進(jìn)行優(yōu)化操作，使繁雜而浩大的思維工程有條不紊地進(jìn)行.

核心概念在學(xué)科知識(shí)中的統(tǒng)攝性，體現(xiàn)在其對(duì)學(xué)科知識(shí)的包容性、關(guān)聯(lián)性，以及普遍存在性和廣泛遷移性.核心概念統(tǒng)攝學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)科思維的發(fā)展，學(xué)科觀念的形成.在教學(xué)和解題活動(dòng)中，應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生發(fā)揮好核心概念的普遍解釋力，凝練好數(shù)學(xué)語(yǔ)言，多途徑、分層次地對(duì)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行精準(zhǔn)表達(dá).滲透用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)，發(fā)展用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的能力.