江蘇省如皋市教師發(fā)展中心 印冬建 (郵編:226500)

教材“教學(xué)化”是在充分解讀教材后,將其由“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)向“教育形態(tài)”的根本路徑[1]．由于教材與學(xué)情的差異,在“教學(xué)化”過(guò)程中,會(huì)根據(jù)教學(xué)的需要,盡可能形成與學(xué)情、學(xué)科發(fā)展匹配的教學(xué)方案.然而,在實(shí)際教學(xué)中,不少教師對(duì)教材的過(guò)度加工,極易讓教學(xué)走偏,形成既不尊重學(xué)生現(xiàn)狀,又不符合教學(xué)實(shí)際的課堂,耗時(shí)多,成效差,為了避免這一現(xiàn)象的出現(xiàn),筆者提出了“鏈+”[2]數(shù)學(xué)的教學(xué)主張,旨在通過(guò)對(duì)教材內(nèi)容的學(xué)情化補(bǔ)充,從學(xué)生視角增加少量教學(xué)素材(情境、內(nèi)容、過(guò)程、方法等)并與原教材巧妙鏈接,助力學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展．本文擬結(jié)合人教版“14.1.1同底數(shù)冪的乘法”談?wù)剬?duì)教材“教學(xué)化”的思考,供大家參考．

1 教材分析

教學(xué)環(huán)節(jié)課本素材意圖分析引入新課問(wèn)題1 一種電子計(jì)算機(jī)每秒可進(jìn)行1千萬(wàn)億(1015)次運(yùn)算,它工作103s可進(jìn)行多少次運(yùn)算?貼士:在2010年全球超級(jí)計(jì)算機(jī)排行榜中,中國(guó)首臺(tái)千萬(wàn)億次超級(jí)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)“天河一號(hào)”雄居第一,其實(shí)測(cè)運(yùn)算速度可以達(dá)到每秒2570萬(wàn)億次.以“小貼士”的形式介紹我國(guó)“天河一號(hào)”超級(jí)計(jì)算機(jī)系統(tǒng),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.沿用“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域從實(shí)際生活中的問(wèn)題引入,以問(wèn)題1引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)本節(jié)課的新知探索是由于生活的需要而進(jìn)行的.通過(guò)1015×103的過(guò)程分析和結(jié)果得出,為新課探索夯實(shí)基礎(chǔ),利用式子算理分析,回顧乘方的意義.探索規(guī)律探究:根據(jù)乘方的意義填空,觀察計(jì)算結(jié)果,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(1)25×22=2( );(2)a3·a2=a( ); (3)5m×5n=5( )(m,n是正整數(shù)).引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)從特殊到一般的三個(gè)式子的結(jié)果分析,發(fā)現(xiàn)同底數(shù)冪運(yùn)算及其運(yùn)算的規(guī)律,嘗試用一般式子來(lái)歸納這一規(guī)律,為下一步進(jìn)行推導(dǎo)提供素材.推證結(jié)論一般地,對(duì)于任意底數(shù)a與任意正整數(shù)m,nam×an=(a·a……a)·(a·a……a)=a·a……a=am+n .因此,我們有am·an=am+n(m,n都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加.引導(dǎo)學(xué)生回到定義去,利用乘方的意義推證 am×an=am+n,教材給出了詳細(xì)的推證過(guò)程,進(jìn)一步形成了文字結(jié)論,為學(xué)生理解和運(yùn)用性質(zhì)提供了充分的路徑.鞏固新知例1 計(jì)算(1)x2·x5 ;(2)a·a6;(3)(-2)×(-2)4×(-2)3;(4)xm·x3m+1.(解題過(guò)程略)給定4道不同類(lèi)型的同底數(shù)冪的運(yùn)算,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)計(jì)算與過(guò)程分享,交流同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)用策略.練習(xí):計(jì)算(1)b5·b;(2)(-12)×(-12)2×(-12)3;(3)a2·a5;(4)y2n·yn+1.教材例題配套的4道練習(xí),供學(xué)生鞏固全課所學(xué)使用.

2 課堂再現(xiàn)及對(duì)比分析

2.1 教學(xué)過(guò)程再現(xiàn)

問(wèn)題1我們學(xué)過(guò)了整式的哪些運(yùn)算了?猜一猜,接下來(lái)會(huì)學(xué)習(xí)什么運(yùn)算?

問(wèn)題2am表示什么?(-2)2表示什么?(-2)3呢?(-2)m呢?(-a)m呢?

問(wèn)題3教材問(wèn)題1

活動(dòng)二 規(guī)律探究

教材探究歸納出一般規(guī)律,并用式子表示為am·an=am+n(m,n都是正整數(shù))．

活動(dòng)三 推證結(jié)論

立項(xiàng)與可行性研究報(bào)告的申報(bào)及批復(fù)是項(xiàng)目實(shí)施的前提，如果沒(méi)有上級(jí)主管的批復(fù)，意味著項(xiàng)目沒(méi)有“正名”，接下來(lái)的資金、政策、人力等支持都是不可能的，也是“不合規(guī)不合法的”。因此，在農(nóng)業(yè)基建項(xiàng)目管理中，甲方單位必須特別重視前期立項(xiàng)及可行性研究報(bào)告編制，確保報(bào)告文本的科學(xué)性、項(xiàng)目實(shí)施的可行性、立項(xiàng)的成功率。一旦立項(xiàng)及可行性研究報(bào)告得到上級(jí)部門(mén)批復(fù)，項(xiàng)目就可以依此獲得相應(yīng)的資金支持。同時(shí)，甲方還可以此批復(fù)去與地方行業(yè)管理部門(mén)溝通，取得項(xiàng)目實(shí)施所必須的合法證件，而這在農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)項(xiàng)目建設(shè)中是必不可少的環(huán)節(jié)。

引導(dǎo)學(xué)生從乘方的定義出發(fā)證明am·an=am+n(m,n都是正整數(shù)),并歸納出文字結(jié)論．

活動(dòng)四 鞏固新知

例1計(jì)算:(1)x2·x5;(2)a·a6;(3)xm·x3m+1;(4)(2a+b)2m+1×(2a+b)3×(2a+b)．

例2計(jì)算:(1)-a3·(-a)2·(-a)3;(2)(n-m)5·(m-n)2;(3)b2·b3+b5．

例3今年上半年,某新開(kāi)樓盤(pán)銷(xiāo)售商品房8.2×103m2,該樓盤(pán)商品房平均售價(jià)為1.7×104元/m2,該樓盤(pán)上半年商品房銷(xiāo)售總額是多少元?

活動(dòng)五 課堂小結(jié)

請(qǐng)學(xué)生回顧全課收獲,教師釋疑解惑．

活動(dòng)六 反饋訓(xùn)練

題1計(jì)算:(1)3×32×35;(2)x3·xn+1;(3)-b3·b2;(4)(s-t)m·(s-t)m+1．

題2已知am=2,an=2,求am+n的值．

2.2 對(duì)比分析

(1)教學(xué)環(huán)節(jié)

這節(jié)課,比教材多出了兩個(gè)環(huán)節(jié),即“活動(dòng)五課堂小結(jié)”和“活動(dòng)六反饋訓(xùn)練”．

(2)教學(xué)內(nèi)容

拋開(kāi)活動(dòng)五、六,活動(dòng)一、四出現(xiàn)明顯增加的教學(xué)內(nèi)容,活動(dòng)一中,增加了對(duì)已學(xué)整式運(yùn)算的回顧和即將開(kāi)展運(yùn)算的猜想,并通過(guò)對(duì)am,(-2)2,…,(-a)m等式子含義及運(yùn)算方法的追問(wèn),回顧冪的各部分名稱、含義及乘方運(yùn)算的意義.活動(dòng)四中,例1的計(jì)算將(2)a·a6換成(4)(2a+b)2m+1×(2a+b)3×(2a+b),把底數(shù)從單項(xiàng)式擴(kuò)展到了多項(xiàng)式,例1之后的配套鞏固練習(xí),新增了(5)(x-y)5·(x-y)2,這是對(duì)教材“教學(xué)化”后例1(4)的回應(yīng).

例2,例3均為新增內(nèi)容．例2的3道小題中(1)(2)難度大,學(xué)生在運(yùn)算結(jié)果符號(hào)的確定耗費(fèi)了大量的教學(xué)時(shí)間,但效果依然不佳．例3的計(jì)算同樣如此,學(xué)生看似列出了(8.2×103)×(1.7×104)的算式,但究竟如何得出運(yùn)算結(jié)果,眾說(shuō)紛紜,效果遠(yuǎn)未達(dá)到．

(3)教學(xué)方法

與教材編排基本相同,對(duì)同底數(shù)冪乘法性質(zhì)的探索都是沿著從特殊到一般展開(kāi)的．學(xué)生幾乎都經(jīng)歷了觀察、計(jì)算、猜想、推理、驗(yàn)證的進(jìn)程,而對(duì)運(yùn)算基本性質(zhì)的應(yīng)用,學(xué)生又經(jīng)歷了從一般到特殊的過(guò)程,把學(xué)到的性質(zhì)回到一般的運(yùn)算之中,要特別說(shuō)明的是,教師對(duì)性質(zhì)探索反復(fù)強(qiáng)調(diào)了要“回到定義去”,這是教材始終如一堅(jiān)持的方法,在很多新知的學(xué)習(xí)與應(yīng)用中都有體現(xiàn)．要說(shuō)學(xué)習(xí)方法上,這節(jié)課與教材的差別,主要體現(xiàn)在活動(dòng)一與活動(dòng)六上,活動(dòng)一增加了對(duì)整式已學(xué)運(yùn)算的回顧,這是本節(jié)課認(rèn)知基礎(chǔ)的喚醒,是教師引導(dǎo)學(xué)生從舊經(jīng)驗(yàn)出發(fā)開(kāi)展新學(xué)習(xí)的提醒,而隨之對(duì)am,(-2)2,…,(-a)m等式子的意義的追問(wèn),則從課時(shí)學(xué)習(xí)所需的角度,充分回顧了冪、指數(shù)、底數(shù)的意義及乘方的意義和求值方法,真正為課時(shí)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．活動(dòng)六是教師基于課標(biāo)對(duì)“教—學(xué)—評(píng)”一體化課堂教學(xué)評(píng)價(jià)現(xiàn)狀的一種轉(zhuǎn)變回應(yīng),以“反饋訓(xùn)練”的較高匹配度檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)業(yè)的效度,達(dá)成評(píng)價(jià)反推教學(xué)變革、影響推動(dòng)學(xué)生發(fā)展的美好局面．

2.3 優(yōu)化建議

(1)從教學(xué)匹配角度優(yōu)化復(fù)習(xí)內(nèi)容．

復(fù)習(xí)內(nèi)容或者說(shuō)引入環(huán)節(jié),從原來(lái)的一個(gè)問(wèn)題增加到3個(gè)問(wèn)題組,實(shí)際上是8個(gè)問(wèn)題,顯然,這樣的復(fù)習(xí)提問(wèn)是多了,而且關(guān)于(-a)m的復(fù)習(xí)對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)是有明顯干擾的．對(duì)(-a)m結(jié)果的討論,本身就有很多的情況,要分別對(duì)a的正負(fù)性,m的奇偶性展開(kāi)配對(duì)討論,情況之多,耗時(shí)之長(zhǎng),效果之差,與課時(shí)教學(xué)顯然是不適宜的．何況,從教師為研究例題“計(jì)算-a3·(-a)2·(-a)3”,而復(fù)習(xí)(-a)m這一角度出發(fā),這樣的設(shè)計(jì)是十分不妥的．對(duì)(-a)2,(-a)3甚至(-a)m的結(jié)果符號(hào)的探討可能學(xué)習(xí)積的乘方的性質(zhì)“(ab)m=ambm(m是正整數(shù))”之后,把(-a)m轉(zhuǎn)化[(-1)·a]m來(lái)交流或許更為簡(jiǎn)便容易些,何必在此耗費(fèi)時(shí)間和精力呢?因此,筆者建議可把(-a)m意義及運(yùn)算方法結(jié)果的探討從活動(dòng)一中刪去．

(2)從學(xué)科發(fā)展角度刪去部分例題

本節(jié)隨堂課中,新增了活動(dòng)四中的例題和鞏固練習(xí),活動(dòng)六的反饋練習(xí),而這種新增很大程度上是教師為了把底數(shù)由數(shù)字拓展到單項(xiàng)后進(jìn)一步拓展到多項(xiàng)式,這種拓展如果不涉及到符號(hào)的變化,筆者以為是適宜,但如果涉及到的結(jié)果中符號(hào)的討論,那就不太妥當(dāng)了．因?yàn)?這會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)生對(duì)本課時(shí)知識(shí)的認(rèn)知．把學(xué)生探索的視線轉(zhuǎn)移到下一節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容．如,(n-m)5·(m-n)2可以等于(n-m)7,也可以等于-(m-n)7,至于為什么這兩個(gè)結(jié)果都可以,抑或是這兩個(gè)結(jié)果為什么相等,教師可以以“(m-n)2=(n-m)2”一句話含糊地帶過(guò)去,但事實(shí)上,沒(méi)有“(ab)m=ambm(m是正整數(shù))”或者是“(m-n)2=m2-2mn+n2=(n-m)2”(下稱式①)的支撐,這樣的含糊是過(guò)不去的．所以,筆者以為此時(shí)與其講得不清不楚,不如等乘方學(xué)完后,給出“(m-n)2=[(-1)·(n-m)]2=(-1)2·(n-m)2=(n-m)2”或是學(xué)完完全平方公式后來(lái)交流式①,對(duì)“(m-n)2=(n-m)2”的理解更為深刻．再來(lái)說(shuō)說(shuō)例3,先看例3所列算式“(8.2×103)×(1.7×104)”,是不是很象接下去“14.1.4整式乘法”(第1課時(shí))問(wèn)題所列的式子“(3×105)×(5×102)”,很明顯,教師對(duì)問(wèn)題1的回應(yīng)用到了3節(jié)課之后所學(xué)的內(nèi)容,或許刪去更好.

(3)從教材吻合角度調(diào)整部分反饋練習(xí)

對(duì)于同底數(shù)冪的相關(guān)乘法運(yùn)算,人教版初中數(shù)學(xué)教材一般都會(huì)給出,其指數(shù)為正整數(shù)的限制,如am·an=am+n(m,n為正整數(shù))．這里對(duì)指數(shù)所提要求應(yīng)為本學(xué)段整式乘法的性質(zhì)應(yīng)用的前提,作為對(duì)教材的回應(yīng),我們?cè)O(shè)計(jì)的練習(xí)自然應(yīng)與之匹配,然而,在筆者觀摩的這節(jié)隨堂課上,教師給出的反饋練習(xí)題2中,“am=2,an=2”是無(wú)法同時(shí)保證“m,n均為正整數(shù)”的．這樣的設(shè)計(jì)顯然是不利于學(xué)生真正理解和應(yīng)用同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)的,所以,筆者建議把這道題改為“如果2m=4,2n=16,則2m+n=______”或許更為妥當(dāng)些．

3 幾點(diǎn)思考

3.1 理解教材,形成“鏈+”源頭

教材是最重要的教學(xué)工具．我們應(yīng)充分認(rèn)識(shí)教材的重要性,對(duì)教材進(jìn)行全面深入的解讀,形成課時(shí)教學(xué)“鏈+”的源頭．理解教材,不只是讀懂課時(shí)教學(xué)內(nèi)容,教學(xué)流程,還應(yīng)努力厘清課時(shí)內(nèi)容在學(xué)段乃至數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所處的地位和作用,要能清晰知曉所學(xué)內(nèi)容的認(rèn)知基礎(chǔ)和發(fā)展方向,進(jìn)而給教學(xué)以準(zhǔn)確的定位,形成教材優(yōu)化整合的邊界,避免如本課中出現(xiàn)(n-m)5·(m-n)2之類(lèi)的例題及配套練習(xí)情形的出現(xiàn)．理解教材,要重視對(duì)課堂教學(xué)基礎(chǔ)的分析,要適當(dāng)補(bǔ)充教材欠缺,避免沖淡課堂主題而弱化表述的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)的教學(xué)內(nèi)容,讓學(xué)生能形成課時(shí)“鏈+”探究的源頭,明明白白地開(kāi)展探究．比如本節(jié)課對(duì)am,(-2)2,…,(-a)m等式子的含義及運(yùn)算方法的回顧就是一種有效的內(nèi)容增加,是教師基于對(duì)教材深度理解之上的一次有效“補(bǔ)缺”,為課堂教學(xué)的有效開(kāi)展真正奠基．

3.2 變式拓展,守住認(rèn)知邊界

基于學(xué)情發(fā)展需求,對(duì)于教材給的內(nèi)容缺少的課時(shí),常會(huì)增加一些教學(xué)內(nèi)容,尤其是一些相關(guān)的例題式練習(xí),這在本節(jié)課十分明顯,但由于教師對(duì)學(xué)生認(rèn)知邊界的界定不清,例題或練習(xí)的添加常會(huì)越過(guò)邊界,使新增的內(nèi)容成為學(xué)生課時(shí)學(xué)習(xí)的羈絆,嚴(yán)重影響教學(xué)進(jìn)程的推進(jìn),文中對(duì)(m-n)2,(n-m)2,-a3,(-a)2,(-a)3等式子的探索就是此情形.筆者以為,在對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行添加前,教師應(yīng)去厘清學(xué)生認(rèn)知的邊界在哪里．邊界的確定可以從學(xué)情發(fā)展的速度上來(lái)考量,即學(xué)生能不能學(xué)得了,還要從教學(xué)內(nèi)容的目標(biāo)是否合規(guī)上來(lái)判斷.有時(shí),課標(biāo)給定的目標(biāo)并非教學(xué)中的課時(shí)目標(biāo),想要學(xué)生在一節(jié)課實(shí)現(xiàn)目標(biāo)幾乎沒(méi)有可能,我們就不能盲目地直接增加課標(biāo)目標(biāo)指向的例題或練習(xí).而有時(shí),一些例題或練習(xí)的解答,借用后面的所學(xué)能更為便捷講清說(shuō)明,教師完全可以尊重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的規(guī)律,順其自然,等到易于探究且便于解釋時(shí)再來(lái)剖析,這樣的教學(xué)尊重了教材、學(xué)情,守住了學(xué)生認(rèn)知的邊界,效果自然會(huì)很好．

3.3 過(guò)程“鏈+”,注重本質(zhì)研究

研究數(shù)學(xué)知識(shí),要重視“引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察實(shí)驗(yàn)、猜想計(jì)算、推理驗(yàn)證、數(shù)據(jù)分析等完整過(guò)程”,只有在此過(guò)程中學(xué)生才能真正理解數(shù)學(xué),才能在后續(xù)學(xué)習(xí)中用好所學(xué)解決新的問(wèn)題．而事實(shí)上,在很多教材給定內(nèi)容少、流程清晰的數(shù)學(xué)課上教師把過(guò)程“鏈+”的重心放到了知識(shí)的應(yīng)用上去了,因?yàn)閮?nèi)容少,所以用例題或練習(xí)來(lái)補(bǔ)充,以期用大量重復(fù)訓(xùn)練來(lái)提升學(xué)習(xí)的成效,這顯然與“習(xí)題的設(shè)計(jì)要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì),關(guān)注通性通法”[3]的課標(biāo)新要求是背離的.以本節(jié)課為例,并不是說(shuō)學(xué)生得到了“am·an=am+n(m,n為正整數(shù))”的式子并能解答好幾道例題、練習(xí),學(xué)生就理解了同底數(shù)冪的運(yùn)算的性質(zhì)．教師如果忽略了對(duì)等式含義的剖析,并引導(dǎo)學(xué)生有“回到定義去”的意識(shí),他們是很難得出推理的過(guò)程,而事實(shí)上如果缺少了對(duì)am的意義的回顧與分析,或許學(xué)生對(duì)活動(dòng)二中這個(gè)式子的特征的歸納,甚至連同底數(shù)冪為何物都未必能理清道明,哪來(lái)的后續(xù)的探索與應(yīng)用呢?因而,對(duì)此類(lèi)涉及到知識(shí)本質(zhì)的理解的探究,我們完全可以通過(guò)拉長(zhǎng)學(xué)程,回歸本質(zhì)的反復(fù)交流,來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解,以達(dá)成提質(zhì)增效的目的,為在課內(nèi)策應(yīng)“雙減”落地助力．

教材“教學(xué)化”,是對(duì)教材給定教學(xué)內(nèi)容、流程的優(yōu)化與完善,必要的補(bǔ)充與調(diào)整是難免的．但這種調(diào)整一定要適可而止,要充分考慮教材編排的邏輯體系和學(xué)生發(fā)展的許可范圍,在教材的充分應(yīng)用和學(xué)生的充分發(fā)展間找到平衡點(diǎn)．