內(nèi)蒙古赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 王洋洋 (郵編:024000)

內(nèi)蒙古民族數(shù)學(xué)教育研究所 李書海 (郵編:024000)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022)》(以下簡稱“課標(biāo)”)提出:立足學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展,體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程育人價(jià)值,并且設(shè)置“綜合與實(shí)踐”主題,旨在整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科間的知識,完成跨學(xué)科實(shí)踐活動(dòng),感悟數(shù)學(xué)與生活,數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián),發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識[1],用數(shù)學(xué)學(xué)科視角回答跨學(xué)科問題,跨學(xué)科融合教學(xué)逐漸成為學(xué)者們研究的熱點(diǎn)問題.

例題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中不可或缺的一部分,凝練著知識核心,具有代表性和典型性,對于學(xué)生新知識的理解與鞏固、新技能的培養(yǎng)與提升都有非常大的作用.例題展示出了數(shù)學(xué)的解題思路,搭建了新知與舊知的橋梁,對于學(xué)生學(xué)習(xí)和探究以及思維能力的發(fā)展都起到積極的促進(jìn)作用,因此必須要精心設(shè)計(jì),滿足學(xué)生的發(fā)展需求.

“課標(biāo)”將初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容劃分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計(jì)、綜合與實(shí)踐[1]四個(gè)領(lǐng)域.總的來看,數(shù)與代數(shù)是其它幾個(gè)領(lǐng)域?qū)W習(xí)的基礎(chǔ),其它幾個(gè)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)離不開數(shù)與代數(shù)的支撐.初中數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容廣泛,幾乎貫穿整個(gè)初中數(shù)學(xué)課程.因此在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的例題中融入跨學(xué)科內(nèi)容,既可以提高學(xué)生對于知識的運(yùn)用能力,又可以幫助喚起學(xué)生的跨學(xué)科意識,感受學(xué)科之間的關(guān)聯(lián),培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考跨學(xué)科問題,會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)跨學(xué)科問題的意識和能力.

1 概念界定

1.1 跨學(xué)科

最早對于“跨學(xué)科”一詞進(jìn)行使用的是心理學(xué)家伍德沃斯[3].而在基礎(chǔ)教育階段,跨學(xué)科的理念出現(xiàn)得較早一些,哈佛大學(xué)“零點(diǎn)項(xiàng)目”負(fù)責(zé)人博伊克斯·曼西利亞(Boix Mansilla)探討了中小學(xué)跨學(xué)科學(xué)習(xí)實(shí)踐,給出了學(xué)校跨學(xué)科學(xué)習(xí)的含義,即學(xué)校的跨學(xué)科是將兩個(gè)或兩個(gè)以上的學(xué)科在課程、認(rèn)知和操作層面上聯(lián)系起來,進(jìn)而從不同的視角 ( 目標(biāo)、學(xué)習(xí)對象、概念和觀念、學(xué)習(xí)方法、技術(shù)能力等 ) 建立互補(bǔ)或合作聯(lián)系、相互滲透或相互作用的實(shí)踐[4].

我國 2022 年版“課標(biāo)”中所倡導(dǎo)的跨學(xué)科主題學(xué)習(xí),體現(xiàn)了義務(wù)教育階段課程設(shè)計(jì)綜合化和實(shí)踐化的特點(diǎn),超越學(xué)科與教科書的邏輯體系,通過跨學(xué)科概念將各種相互關(guān)聯(lián)的學(xué)科勾連起來,基于真實(shí)任務(wù)情境進(jìn)行問題解決,促進(jìn)學(xué)生體會學(xué)科之間相互依賴的關(guān)系,培養(yǎng)他們的高階思維和核心素養(yǎng)[3].對于數(shù)學(xué)教科書中的例題的內(nèi)容來說,就是在題干的設(shè)計(jì)上使得兩個(gè)或者多個(gè)學(xué)科的內(nèi)容融合,在探索蘊(yùn)含真實(shí)的情境中所蘊(yùn)含的關(guān)系中,發(fā)現(xiàn)和提出問題,運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法分析和解決問題[1].

1.2 例題

例題是教科書中涵蓋新知識并帶有詳細(xì)解答過程的數(shù)學(xué)問題,是數(shù)學(xué)樣例的主要表現(xiàn)形式之一.例題一般由數(shù)學(xué)問題以及解答步驟構(gòu)成,是對于數(shù)學(xué)原理以及概念的具體化表達(dá).例題具有展示問題、描述解決過程、解釋數(shù)學(xué)概念與規(guī)則、提高解決問題能力等多項(xiàng)復(fù)合功能[5].本文中的“數(shù)與代數(shù)部分的例題”,指的是“數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域”中的例題.

2 問題的提出

“課標(biāo)”提出,培養(yǎng)學(xué)生綜合能力,提升學(xué)生核心素養(yǎng).隨著時(shí)代的發(fā)展,傳統(tǒng)的教育模式下學(xué)科之間界限明顯,知識之間關(guān)聯(lián)不強(qiáng),知識點(diǎn)相對零散,已經(jīng)難滿足當(dāng)下教育發(fā)展新形勢的要求,因此加深不同學(xué)科之間的聯(lián)系是教育發(fā)展大勢所趨,是符合新時(shí)代的育人要求的.

教科書是數(shù)學(xué)知識的重要載體,是學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)的重要工具,學(xué)生大部分的知識都來源于教科書,教師所教授的內(nèi)容也以教科書為依據(jù),因此教科書內(nèi)容的合理編制對于學(xué)生來說至關(guān)重要.同時(shí),數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開例題的練習(xí),例題內(nèi)容的設(shè)置直接會影響到學(xué)生的學(xué)習(xí)效果甚至是思維的發(fā)展,因此在例題部分精心設(shè)計(jì)、加強(qiáng)學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)同樣非常有必要.

跨學(xué)科教學(xué)在初中階段的實(shí)施國內(nèi)還處于探索階段,并沒有細(xì)化以及進(jìn)一步落實(shí).相關(guān)的研究現(xiàn)狀為:一是中國和澳大利亞、日本、新加坡等國外初中數(shù)學(xué)教科書跨學(xué)科內(nèi)容、設(shè)置理念及其比較研究[6-8]; 二是中國初中數(shù)學(xué)教材“跨學(xué)科”綜合實(shí)踐活動(dòng)的比較研究[9];三是中國初中新手教師對數(shù)學(xué)教科書例題的認(rèn)識及使用情況調(diào)查、教學(xué)與學(xué)習(xí)策略研究[10-14].

上述研究發(fā)現(xiàn),關(guān)于初中教材(2012年審定)數(shù)與代數(shù)部分的例題中跨學(xué)科問題還沒有系統(tǒng)分析和研究,這是有待深入研究的問題.

本文對于人教版初中教材(2012年審定)數(shù)與代數(shù)部分的例題中跨學(xué)科問題進(jìn)行分析,并對教科書的編寫以及教師對于教科書的使用提出相應(yīng)的建議.

3 數(shù)與代數(shù)部分跨學(xué)科問題例題的分析

3.1 跨學(xué)科內(nèi)容例題在教科書中的分布情況

“課標(biāo)”中將初中(7～9)階段劃分為第四學(xué)段,該學(xué)段數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域主要分為數(shù)與式、方程與不等式以及函數(shù)[2]三個(gè)主題.在這一部分中,共有例題155道,分布如下(表1)

表1 例題所屬章節(jié)分布情況

可以發(fā)現(xiàn),在155道例題中,涉及跨學(xué)科內(nèi)容的例題共36道,占例題總數(shù)的23.23%,其中不等式與不等式組、一次函數(shù)以及反比例函數(shù)章節(jié)的例題中,涉及跨學(xué)科內(nèi)容的例題占比較大,分別達(dá)到了42.86%、44.44%、50.00%,有理數(shù)和二次函數(shù)則相對較少,只有18.18%、20%.而整式的乘法與因式分解、二次根式和一元二次方程則為0%.例題共涉及九個(gè)學(xué)科門類,各個(gè)學(xué)科的占比如圖1所示.我們可以發(fā)現(xiàn)其中經(jīng)濟(jì)學(xué)以及交通運(yùn)輸所占比重較大,分別達(dá)到了27.78%以及19.44%.環(huán)境工程學(xué)以及航空航天技術(shù)占比較少,僅為2.78%.整體來看,跨學(xué)科融合相關(guān)例題在所有例題當(dāng)中占比并不是很大,涉及的學(xué)科門類并不廣泛.

圖1 例題內(nèi)容學(xué)科來源分布情況

通過對于初中數(shù)學(xué)教科書例題分析發(fā)現(xiàn)(如表2),數(shù)與式主題中例題最多,函數(shù)次之,方程與不等式最少.但是涉及跨學(xué)科內(nèi)容的例題所占比例函數(shù)主題最多,為38.71%,方程與不等式次之,占比為27.27%,數(shù)與式最少,只有17.65%.可以看出涉及跨學(xué)科內(nèi)容的例題分布并不均衡,且不夠深入.

表2 例題所屬主題分布情況

3.2 跨學(xué)科內(nèi)容例題在教科書中呈現(xiàn)的案例

案例1(七年級下冊第九章不等式與不等式組第二節(jié)一元一次不等式例2)

去年某市空氣質(zhì)量良好(二級以上)的天數(shù)與全年天數(shù)(365)之比達(dá)到60%,如果明年(365天)這樣的比值要超過70%、那么明年空氣質(zhì)量良好的天數(shù)比去年至少要增加多少?

該例題出自于七年級下冊第九章第二節(jié)中,在這之前,學(xué)生學(xué)習(xí)了不等式的相關(guān)概念,為加強(qiáng)對知識的進(jìn)一步理解和運(yùn)用,本例題結(jié)合實(shí)際生活情境,將空氣質(zhì)量問題與數(shù)學(xué)結(jié)合,從跨學(xué)科實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)模型,引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際情境中運(yùn)用不等式知識解決相關(guān)的問題.在本題中,主要將數(shù)學(xué)學(xué)科與化學(xué)(空氣成分)和環(huán)境工程學(xué)相結(jié)合,一方面讓學(xué)生初步認(rèn)識用建立“數(shù)學(xué)模型化”的方法分析和解決具體問題,從而進(jìn)一步提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣,并通過例題體驗(yàn)和理解將具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程和方法.另一方面可以引起學(xué)生們對于當(dāng)前空氣質(zhì)量好與壞及其產(chǎn)生原因的思考,產(chǎn)生相關(guān)問題的好奇心,同時(shí)感受良好的空氣對于人們?nèi)粘Ｉ畹闹匾?進(jìn)而喚起學(xué)生的環(huán)保意識.

案例2(九年級下冊第二十六章第二節(jié)真實(shí)問題與反比例函數(shù)例3)

小偉欲用撬棍撬動(dòng)一塊大石頭,已知阻力和阻力臂分別為1 200 N和0.5 m.

(1)動(dòng)力F與動(dòng)力臂I有怎樣的函數(shù)關(guān)系?當(dāng)動(dòng)力臂為1.5 m時(shí),撬動(dòng)石頭至少需要多大的力?

(2〉若想使動(dòng)力F不超過題(1)中所用力的一半,則動(dòng)力臂I至少要加長多少?

這是一道結(jié)合情景解決反比例函數(shù)的問題,學(xué)生在本章第一節(jié)已經(jīng)對于反比例函數(shù)有了初步了解,并且在八年級下冊的物理課上,學(xué)生對于杠桿原理、阻力、阻力臂,動(dòng)力、動(dòng)力臂有了一定的了解,在此基礎(chǔ)之上,學(xué)生就可以根據(jù)已有知識經(jīng)驗(yàn),找出數(shù)量關(guān)系,建立數(shù)學(xué)模型,進(jìn)而解決實(shí)際問題.這道題將數(shù)學(xué)以及物理的學(xué)科知識進(jìn)行融合,結(jié)合學(xué)生已有的數(shù)學(xué)以及物理知識解決了實(shí)際問題,一方面加深了學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的鞏固和運(yùn)用,另一方面還可以幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系,體會學(xué)科間的密不可分性.

3.3 跨學(xué)科內(nèi)容例題在教科書中分布的廣度以及深度

在這些跨學(xué)科例題當(dāng)中,共涉及9個(gè)學(xué)科門類,且大多是將數(shù)學(xué)與另外一個(gè)單一學(xué)科融合在一起,涉及兩個(gè)學(xué)科門類級以上的學(xué)科共3道,在這部分例題中,學(xué)科間的交叉融合并不深入,僅僅將其作為解決數(shù)學(xué)問題的情境支撐,整體來看,在初中數(shù)與代數(shù)部分,跨學(xué)科融合的廣度以及深度都有待提高.

4 教科書例題編寫的建議

4.1 在例題設(shè)置的內(nèi)容方面

人教版初中數(shù)學(xué)教科書關(guān)于數(shù)與代數(shù)部分涉及跨學(xué)科內(nèi)容的例題在總例題中的占比并不多,而且可能受課本篇幅的限制,例題的內(nèi)容都很簡單,與其他學(xué)科雖然有一定的聯(lián)系,但是并不深入,在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中,也很難同時(shí)注意到數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科知識的聯(lián)系,也就很難達(dá)到發(fā)展學(xué)生思維的目的.以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,教科書中的例題編寫不僅要設(shè)置跨學(xué)科的內(nèi)容,也要注重背景的介紹以及適當(dāng)?shù)耐卣?結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和現(xiàn)有水平,設(shè)置相應(yīng)的探究活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地理解學(xué)科間的關(guān)系,感受不同學(xué)科的美妙之處.

4.2 在例題設(shè)置的位置方面

初中階段的數(shù)與代數(shù)部分,是學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號,以及感悟數(shù)學(xué)符號表達(dá)事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律的關(guān)鍵內(nèi)容,是學(xué)生初步形成抽象能力、推理能力、感悟用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的重要載體[1].

在數(shù)與式部分,要設(shè)置豐富的問題情境以及一些跨學(xué)科相關(guān)的探究活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建不同學(xué)科間的聯(lián)系,這樣既可以引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)生們主動(dòng)思考和學(xué)習(xí),也可以讓學(xué)生感受到學(xué)科間的關(guān)聯(lián).在學(xué)生初步形成量感之后,對于數(shù)與式有了更深的認(rèn)識,則可繼續(xù)結(jié)合具體實(shí)例深入學(xué)習(xí).對于函數(shù)以及方程專題來說,則應(yīng)當(dāng)編制不同類型的跨學(xué)科例題來理解數(shù)量關(guān)系以及變化規(guī)律,了解常量和變量變化的意義,加深與其他學(xué)科的聯(lián)系,抽象出存在于其中的數(shù)學(xué)模型,探索不同的未知量之間的關(guān)系.增強(qiáng)學(xué)生知識的運(yùn)用以及遷移能力.

4.3 在例題設(shè)置的廣度以及深度方面

學(xué)生的學(xué)習(xí)具有整體性和一貫性,因此例題的內(nèi)容設(shè)置也要呈現(xiàn)一定的系統(tǒng)性.人教版教科書跨學(xué)科問題例題中,涉及了九個(gè)一級學(xué)科門類,相對來說種類較少,且多為數(shù)學(xué)與一門其他學(xué)科的融合,是窄而淺的,只是簡單設(shè)置情境,沒有引發(fā)學(xué)生對于其他學(xué)科內(nèi)容的深度思考,學(xué)生還是將注意力完全放在解決數(shù)學(xué)問題上,掌握公式、定理,機(jī)械化的解決數(shù)學(xué)問題,這樣是沒有辦法進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新創(chuàng)造能力的.因此數(shù)與代數(shù)部分例題的編寫要加大數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系,而不僅僅是將跨學(xué)科內(nèi)容作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)背景,并且考慮將多個(gè)學(xué)科同時(shí)融入例題當(dāng)中,提高數(shù)與代數(shù)跨學(xué)科問題例題的廣度,當(dāng)然,也不是涉及的學(xué)科門類越多越好,也要考慮到是否合適,使學(xué)生以超學(xué)科的態(tài)度進(jìn)行學(xué)習(xí)和探究,才能更好的提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

4.4 在例題設(shè)置的類型方面

除了重視數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交叉融合之外,現(xiàn)代教育對于數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)也日益重視,通過對于數(shù)學(xué)學(xué)科與一些人文學(xué)科的融合,比如數(shù)學(xué)文化以及數(shù)學(xué)史,使得學(xué)生可以在這當(dāng)中感悟數(shù)學(xué)家們鍥而不舍的探究精神,產(chǎn)生對于數(shù)學(xué)家們的崇拜之情,并在這個(gè)過程中感受到數(shù)學(xué)的高峰并不是不可攀登,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生們的探索精神以及學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.因此,在例題的編寫部分,也要充分重視數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的滲透對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要作用,將數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容融入到例題的編寫中去,使例題更加鮮活,更加生動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的文化美.

4.5 教師對于教材的使用

教師是教學(xué)的實(shí)踐者,應(yīng)該不斷的更新自己的教育理念,意識到學(xué)科融合是教育發(fā)展的大勢所趨,并將其滲透到教學(xué)的全過程當(dāng)中去.因此,教師應(yīng)當(dāng)深入研讀教科書,有意識引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘例題中的跨學(xué)科知識,拓寬學(xué)生的知識面,培養(yǎng)學(xué)生的跨學(xué)科意識.對于例題中跨學(xué)科內(nèi)容有些欠缺的部分,教師需要針對所講授的內(nèi)容適當(dāng)進(jìn)行拓展,引導(dǎo)學(xué)生在更加豐富的情境中解決數(shù)學(xué)問題.在這個(gè)過程中,培養(yǎng)學(xué)生跨學(xué)科的應(yīng)用意識和實(shí)踐能力,提高學(xué)生核心素養(yǎng).