文｜張進華

筆者在中學數(shù)學教學中遇到這樣幾道非常典型的數(shù)學題目：

題目一：如圖1，一個牧民趕著一匹馬從B處欲回到他的帳篷A，他又想在回程中先到以L1為界的草地吃草，繼而到河的岸邊L2去飲水，他應該走怎樣的路線最節(jié)省時間？

圖1

分析：在解題過程中，若我們想到現(xiàn)行義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學七年級下冊228 頁問題解決第二題：在某街道L同側有居民區(qū)A、B，要在街道旁修建一個奶站向居民區(qū)A、B供應牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A、B到它的路程和最短？

該題目不難解決，如圖2 所示，設想居民區(qū)B在以L為對稱軸的軸對稱B1處，那么由A到B1的最短路程，顯然以線段AB1為最短，這實際上給出了最短路線的求法，P就是奶站的位置。同樣在極小點P處，射線PA、PB與軸L成等角，這是最短路程的物理意義：反射路線所走的路線，乃是最短路程，或者說所用的時間最省。利用軸對稱，還可以解決較復雜的最短路線問題，為此我們不難找出題目一的解決方法：如圖1 所示，先作出A關于L2的對稱點A1，再作出A1關于L1的對稱點A2，連接A2B交L1為P1，連接P1A1交L2為P2，則可得P1為馬的吃草點，P2為馬的飲水點。另外，在實際生活中，臺球所經(jīng)的路線亦受此規(guī)律的約束，這樣我們可以順利解決幾何題目：如下圖3，設在一個矩形球臺P0P1P2P3上有二球A、B，沿怎樣的方向擊球A，可使它接連碰撞桌邊P0P1，P1P2和P2P3后恰好擊中球B？

圖2

圖3

初中數(shù)學的學習，特別是初中幾何知識的學習，最害怕陷入單純、枯燥的邏輯推理之中。如果能把某些推理過程或推理出的結論同我們的生活實際聯(lián)系起來，學生就會感到親切而且有無窮的趣味，從而消除單純推理的枯燥感，進而主動、積極地學好數(shù)學。但值得說明的是，雖然有一些數(shù)學題目是“編造”的，但也要合乎實際，以假亂真，才能收到預期的效果；如果一個非常有趣的題目，學生初看時“難于上青天”，一旦通過自己分析，找出課本上的原型，揭示題目的聯(lián)系，而解題方法巧妙又簡單出奇，不禁令人拍案叫絕，這樣就會激發(fā)出學生極大的興趣，同時還展示出數(shù)學美感。其實在幾何的學習園地里到處都體現(xiàn)著數(shù)學的美學價值、應用價值，曲徑通幽，只要我們同學生深入進去，就會在教學過程中感到美不勝收。精巧的幾何圖形本身就能引起學生極大的興趣，給人以美的享受，如果能與學生生活實際聯(lián)系起來，會使學生體會到學以致用，就更會興致盎然。

題目二：已知sina+cosa=，a∈（0，π），求cota的值.

分析：這是一道高考題，不少考生出現(xiàn)下列解法：

將已知式兩邊平方，得1+sin2a=，

又因為a∈（0，π），所以，得或

其實這個解答是錯誤的，事實上由sin2a＜0 知a∈（π/2，π），又sina+cosa=＞0

所以，a∈（π/2，3π/4）

上面的解法煩瑣難懂，運用的現(xiàn)成結論太多，且太多的篇幅用推理的方法確定角的象限，看似必要實際卻不必要。我們?yōu)楹尾粓?zhí)果尋因、探本求源，運用三角函數(shù)的定義去解決該問題呢？

分析如下：在平面直角坐標系中，欲求cota，只需求出

聯(lián)立方程求解，得x=-3，y=4

所以，cota=-.

其實，在中學數(shù)學教學中，我們探索捷徑時難免走彎路，此時若反過來追尋定義，對鉆研數(shù)學、解決數(shù)學問題都是很有必要的，因而對提高學生的數(shù)學素質(zhì)也是很有價值的。再如利用三角函數(shù)及其他數(shù)學知識的定義可以解決如下很多的問題：

題1 若tanθ＞0 且sinθ+cosθ＞0，試確定θ是第幾象限角.

分析：令tanθ=＞0，得x，y同號

所以x，y均為正，可知是θ第一象限角。

得原式＝－1.

題3 若θ∈（0，π/2），比較sinθ與tanθ大小.

分析：令sinθ=，tanθ=，且x，y，r均為正，x＜r，得sinθ＜tanθ.

題4 若θ為第二象限角，其終邊上一點為P（m，），且m（m不等于0），求sinθ的值.

分析：令cosθ==可求出

題5 設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線，交橢圓于點P，若三角形F1PF2為等腰三角形，則橢圓的離心律為（）

分析：該題是全國高考題，若熟悉橢圓的幾何定義，可有如下的解法：

事實勝于雄辯，在數(shù)學教學和中高考復習中要用好課本，以課本為主。多年來，我看到許多數(shù)學考試卷中有很多的題目是對課本上最基本的知識點或數(shù)學概念的考查，所以，我們要重視基礎概念的教學和復習，切實抓好基礎知識和基本訓練，深化知識，從本質(zhì)上發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的聯(lián)系，從而提高學生的解題能力。如上面解決問題的方法，實際上體現(xiàn)了“化歸”的數(shù)學思想和“變換”的數(shù)學方法。在中學數(shù)學教學及解題中“化歸”是廣為運用的法寶。中高考復習教學中教師要十分重視對學生“化歸”等數(shù)學思想的培養(yǎng)，要求每一個考生掌握數(shù)學“變換”的規(guī)律，熟練運用數(shù)學方法靈活地解決有關的數(shù)學問題。運用“化歸”的方法能將復雜的問題“化歸”為簡單的問題，將未解決的問題“化歸”為已解決的問題，這樣難關就會變成易行的大道，甚至恰當?shù)摹盎瘹w”會使人進入“留戀忘返，拍案叫絕”的境地。

題目三 過拋物線y2=2px焦點F的一條直線和拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1，y2.求證：y1y2=－p2.

分析：該題是現(xiàn)行高中數(shù)學課本第二冊（上）第119 頁習題8.5 第7 題，屬于中檔題，大多數(shù)學生通過分析都可得到證明方法。但值得注意的是，該題的證明方法和結論在圓錐曲線的交線問題中具有重要的意義?，F(xiàn)簡證如下：

（1）當直線垂直于x軸時，顯然有y1y2=－p2.

（2）當直線不垂直于x軸時，令直線的方程為y=k（x-p/2）（k≠0），又y2=2px，消去未知數(shù)x，整理得ky2-2py-kp2=0.

由韋達定理，得y1y2=－p2.

課本這道題可以當作一個圓錐曲線的數(shù)學模型，對學生形成模型觀念具有普遍性的意義，有利于感悟數(shù)學應用的重要性，其實，運用題目三的結論還可以解決如下很多的模型問題：

題6 過拋物線C:y2=4x的焦點F作弦AB，O是原點，則△OAB面積的最小值是（）

分析：該題是高考數(shù)學題的一道填空題。

由題目三結論知y1y2=－p2，所以y1y2＝-4

所以△AOB面積的最小值為2.

題7 設拋物線y2=2px（p＞0），F(xiàn)為該拋物線的一焦點，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC//x軸，證明：直線AC過原點O.

分析：該題是全國高考數(shù)學試題，在試卷中屬于中檔題。

本題的解題方法有多種，最常用的方法是采用坐標進行代數(shù)推理，可以證明AO+OC=AC，還可以證明OC與BF的交點A在拋物線上等。若考生能正確運用課本中的知識，則有如下的證明方法：

所以A、C、O三點共線，即直線AC過原點O.

題8 給定拋物線C∶y2=4x，該拋物線C的一個焦點是F，拋物線與過點F的直線L相交于A，B兩點.

（1）設直線AB的斜率為1，求向量與向量的夾角.

分析：該題是全國高考數(shù)學試題，考查了解析幾何的基本方法，屬于一道綜合性很強的難題，考查了考生的創(chuàng)新思維和運用數(shù)學的基本素質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學的超工具性。第一問學生通過代數(shù)運算不難得出正確的結果，但對大多數(shù)學生而言，第二問不容易求解。在第二問中，若能聯(lián)想到課本中的這一數(shù)學原型，即題目三的解題方法和證明的結論，可得如下的解題方法：

由題目三，得y1y2=-4

由已知條件，得y2=-λy1

又直線L的斜率為

所以直線L的方程為

再由λ∈［4，9］

得直線L截距的變化范圍為

以上可以再次充分看出：在中學數(shù)學教學和復習中要用好課本，以課本為主，充分利用知識的形成過程和例題的典型方法。

總之，數(shù)學試卷中的很多試題是課本上例題的直接運用或整合。在平時的教學中，如果教師都能注重課本，加強學生思維能力的培養(yǎng)，那么學生在遇到具體問題時就能運用平時所學到的知識加以解決。尤其是近些年許多考試題中的一個特點“少計算，多思考”，就要求學生平時加強基礎練習，提升思考能力。因此，作為教師，要重視基礎，切實抓好基礎知識和基本訓練，從源頭上發(fā)現(xiàn)數(shù)學概念間的聯(lián)系，從而提高學生應用知識的能力，全面培養(yǎng)學生的數(shù)學素質(zhì)。