文｜黃美紅

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》明確了數學思想方法教學的要求，豐富學生知識的同時，促進學生數學思維的發(fā)展。在教學改革中，傳統(tǒng)教學模式的弊端也不斷顯現，難以滿足學生的自我發(fā)展需要。數形結合思想的應用，不僅強化了學生的感知與體驗，還培養(yǎng)了學生的數學核心素養(yǎng)。因此，在新時代的教育教學改革下，教師要改變陳舊的理念，注重數形結合思想的滲透，通過全面的優(yōu)化與改進，實現數學教學在新時期的發(fā)展，同時為學生的全面發(fā)展夯實基礎。

一、數形結合思想概述

數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而達到優(yōu)化解題途徑的目的。數形結合思想指的是將抽象的數學問題與形象直觀的圖形相結合的一種教學思想。數形結合思想的應用是助力學生解決各類數學問題的重要手段。在數學活動中，通過滲透數形結合思想，借助代數簡潔與幾何直觀，實現復雜知識的簡單化，化繁為簡有助于提高學生學習興趣，提升數學學習效率。

二、利用數形結合法開展數學教學存在的問題

（一）教師的講解不夠深入

不同知識點對數形結合應用形式有著不同的要求。在以往的講解中，教師只是就題論題，未能將數形結合的方法、注意事項展示出來，幫助學生由淺入深地理解。因此，很多學生進入一種固化思維模式中，只會就題論題，沒有運用數形結合的方法來解決問題，只會對教師講解過的類型的題目使用此方法。

（二）學生原有的基礎不扎實

學生原有基礎不牢固，無法實現圖形與數字語言的轉化，或未能形成知識體系，導致對知識的掌握是散亂的。和其他的固化解題步驟相比，數形結合的多變性、靈活性更強，所以對數學知識、知識融合度的要求也更高。但是，數學基礎不扎實，利用數形結合開展問題的解答效果會大打折扣。因此，教師要努力夯實學生的數學基礎，通過采取合理的措施達到能力的提升。

三、數形結合思想在數學教學活動中的應用方法

數和形是數學的兩個重要概念，在課堂教學中有效地滲透數和形不僅能推動新課改理念的落實，還是課程改革的必然趨勢。因此，教師要明確數形結合的應用條件，將其有效地滲透于課堂教學的每一個環(huán)節(jié)，推動數學課堂教學的有序開展。數形結合思想的應用，展示了數學問題與圖形的關系。教師可以采取以形助數、以數解形、數形互變的方法。以下將結合實際的案例，對數形結合思想在教學中的應用進行分析。

（一）以形助數

新課標指出：在數學活動開展中，教師要立足數學基礎知識，采取不同的方式培養(yǎng)學生的空間能力。所謂的空間能力即從具體事物中抽象出幾何圖形，然后以幾何圖形為依據對實物特征進行描繪。在數學教學中，教師可以借助直觀實物，使學生在觀察的基礎上獲得感性認識，從而明確數量之間的關系，即以形助數。

以形助數即借助形的直觀性表明數之間的關系。這其中，形是手段，數為目的，如運用函數圖象分析函數的性質。缺少形難以讓學生獲得直觀的感受，形少數時難以入微。因此，在初中數學課堂中，復雜的數量關系就可以借助圖形的直觀性來解決。

例如，在一次函數的學習中，關于y=kx+b（k、b為常數，且k≠0）的解答中，教師可以在幾何畫板上畫出不同的圖形進行直觀的展示，如圖1 所示。

圖1

然后設置例題“直線y=kx+b經過A（0，2）和B（3，0）兩點，求一次函數的解析式”，讓學生運用數形結合思想對問題進行分析，通過分析與對比尋找相應的圖形。

問題解析：如若按照以往的方法，學生會根據題目給出的條件，一步步地代入、求解。但數形結合思想的應用則可以很好地優(yōu)化解題過程。以形助數通過復雜數量關系的直觀化展現，根據題目條件繪制圖形直觀展示，強化了學生對數量關系的理解，可以把復雜問題簡單化、抽象問題具體化。

不等式是初中數學的一部分，但以往的不等式問題的解答，因涉及參數多且解題過程復雜，加劇了學生的學習難度。數形結合思想的應用可以很好地解決這一問題。

如圖2，直線y1=kx+b過點A（0，2）且與直線y2=mx交于點P（1，m），則不等式mx＞kx+b的解集是______。

圖2

問題解析：針對上面的不等式問題，如若采取直接法解答是無法完成的。因為題目給出的已知點代入解析式中無法求出參數k、b的值以及m。針對這個問題，可以觀察圖象交點和交點兩側的圖象，判斷當x在什么范圍時y1＞y2或y2＞y1。

解答：不等式mx＞kx+b，即y2＞y1，通過對圖象的觀察，結合P點橫坐標在交點P的右側，即當x＞1時，y2＞y1，mx＞kx+b的解集是x＞1。

（二）以數解形

以數解形即借助數精確性、規(guī)范性的特征對形的特征進行闡述。數是手段，形是目的。以數解形的關鍵在于用數量關系對幾何圖形進行分析，用一定量的計算方式展現復雜的圖形，實現對圖形中有關內容的計算。以數解形經常用在幾何圖形問題的解答中，通過挖掘圖形內無法展示的條件，對具體關系進行分析。

例如，圖3 是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形。假設直角三角形較長的直角邊長為a，較短的直角邊長為b，如若（a+b）2=21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積是多少？”

圖3

問題解析：觀察圖3 可知，小正方形的面積＝大正方形的面積-4 個直角三角形的面積，利用已知（a+b）2＝21，大正方形的面積為13，可以得出直角三角形的面積，進而求出答案。

解答：∵（a+b）2＝21 ∴a2+2ab+b2＝21 ∵大正方形的面積為13 ∴2ab＝21-13＝8 ∴小正方形的面積是13-8=5。

在數學幾何問題的解答中，求某線段的長度是經常出現的題型。針對這部分題型，如若采取以往的方法一步步地進行分析，很容易將學生繞進去。而數形結合思想的應用，可以很好地解決這一問題。

如圖4，O為△ABC內一點，OA=OB=OC，BO⊥CO，OD⊥AB于點D，DO交AC于點E，已知BC=3，AC=4，則AE的長為_______。

圖4

問題解析：當問題中涉及線段較多，要想表達清楚這些線段之間的數量關系，可設其中一條或多條線段為未知數，再由線段成比例得到等量關系，從而列出方程（組），解出未知數，完成解題。

解答：連接BE，易得EB=AE，∠EAO=∠ECO=∠EBO?！摺螮CB+∠EBC=∠ECO+45°+∠EBC=∠OBE+45°+∠EBC=90°，∴∠BEC=90°，在Rt△BEC中，BC2-CE2=BE2，∴BC-CE=AE，設AE=x，則32-（4-x）2=x2，解得x=2+或（不合題意，舍去）

如若在教學中，教師能夠發(fā)揮以數解形的優(yōu)勢，不僅能幫助學生真正理解了數學知識，還能讓學生在靈活應用中解決數學問題，并為學生數學學習能力的提升奠定堅實的基礎。

（三）數形互變

利用數形結合思想表達數量與圖形的關系，可以實現兩者的有效轉化。數形結合的互相轉變，靈活變通，最終達到解答問題的目的。但關鍵還是要理解數學解題的本質，找到解題的規(guī)律，這樣才能靈活應用，找到最佳的解題方法。

如圖5，已知方程｜x2-4x+3｜=m有四個根，則實數m的取值范圍是什么？

圖5

分析：此問題不涉及方程根的具體值，只是求根的個數，而求方程根的個數問題可以直接轉化為求兩條曲線交點的個數問題。

解：｜x2-4x+3｜=m根的個數問題就是，函數y=｜x2-4x+3｜與y=m的函數圖象的交叉點的個數。所以可以作出拋物線y=x2-4x+3 的圖象，將x軸下方的圖象沿著x軸翻折上去，可以得到y(tǒng)=｜x2-4x+3｜的圖象，根據圖5 再作直線y=m，可以看出拋物線y=x2-4x+3 的頂點坐標是（2，-1），經過x軸翻折后可以變?yōu)椋?，1），當0＜m＜1 時，有四個交點，由此可以確定m的取值范圍是0＜m＜1。

再如，設f（x）是定義在R上的增函數且對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0 恒成立，如若實數m、n滿足不等式組f（m2-6m+23）+f（n2-8n），那么m2+n2的取值范圍是（）

解析：根據已經知道的f（x）的圖象關于點（1，0）中心對稱，于是由f（m2-6m+23）+f（n2-8n）＜0 可知m2-6m+23+n2-8n＜2 即（m-3）2+（n-4）2＜4，可以得到圖6，然后借助圖6 可求出參數的范圍（13，49）。

圖6

在實際的數學問題的解答中，特別是遇到抽象的題型，經常將以形助數和以數助形結合起來即數形結合的方式。一般先用以數助形，在圖上進行直觀展現、分析，然后明確有關形的關系，再通過以形助數，分析和確定簡單、容易的有關數之間的關系。一般情況下，在數學簡答題中經常用到數形結合法，在中考選擇題應用數形結合法時，只需以形助數就可以直接求出結果，提升學生解題的效率。當然，在選擇題的解答中，依然需要簡單的代數處理，即通過以數助形的方式完成簡單的代數計算。

綜上所述，數形結合思想的應用對學生的知識拓展、解題思維的開闊有著重要的作用，針對空間想象力弱的學生，可以借助“以數解形”來化解學生的學習困難；對于計算能力弱的學生，可以采取“以形助數”幫助學生明確數量間的關系。初中數學知識抽象性和邏輯性都很強，由于學生的思維、已有的知識水平、掌握的知識基礎等不同，在數學學習效果上有一定的偏差。因此，教師可以借助數形結合思想的優(yōu)勢組織數學活動，以實現課程內容的進一步深化，讓學生的基礎更扎實。因此，在初中數學教學活動中，教師要注重學生主體作用的發(fā)揮，并有意識地將數形結合思想滲透在教學活動中，在培養(yǎng)學生數學思維的同時，提升學生的自主探究與創(chuàng)新能力。加強數形結合思想在初中數學教學中有著很強的可行性，不僅提升了課堂教學質量，還推動了數學教學目標的完成，實現數學核心素養(yǎng)的形成。