江 鵬, 關(guān)振群, 趙國忠, 張 群, 秦志強(qiáng)

(1.大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系,遼寧 大連 116024; 2.英特工程仿真技術(shù)(大連)有限公司,遼寧 大連 116023; 3.大連工業(yè)大學(xué) 藝術(shù)與信息工程學(xué)院,遼寧 大連 116400)

有限元方法和等效磁路方法已被廣泛用作電磁系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的工具[1].有限元方法具有計(jì)算精度高、適用于復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)和非線性問題的優(yōu)點(diǎn),但是在計(jì)算較大規(guī)模的問題時(shí),求解效率較低,往往不能適應(yīng)機(jī)電裝置動(dòng)態(tài)性能的快速評(píng)估和優(yōu)化設(shè)計(jì)的需求[2-5].等效磁路方法[6-12]通過集總參數(shù)將復(fù)雜的系統(tǒng)簡化為簡單的數(shù)學(xué)模型,具有求解速度快、易于實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn),但它可能缺乏準(zhǔn)確性,難以應(yīng)用于一些具有復(fù)雜幾何形狀的模型,無法給出磁場(chǎng)的具體分布,常常局限于近似分析中.磁阻網(wǎng)絡(luò)法[13-18]是在等效磁路模塊基礎(chǔ)上發(fā)展而來適用于電磁機(jī)構(gòu)分析和優(yōu)化的方法,該方法保持了磁路法求解速度的優(yōu)勢(shì),但是為了準(zhǔn)確計(jì)算漏磁需要建立較復(fù)雜的磁阻網(wǎng)絡(luò)模型[19].

等效磁路法和有限元法具有優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的特點(diǎn),因此空間映射技術(shù)綜合了磁路法和有限元法的優(yōu)點(diǎn),通過建立磁路模型與有限元模型間的映射關(guān)系,實(shí)現(xiàn)模型的快速計(jì)算[20-23].翟國富等[2]將空間映射方法首先應(yīng)用在繼電器上,通過有限元模型數(shù)據(jù)修正磁路法的結(jié)果,在保證計(jì)算精度的同時(shí)提高了計(jì)算效率,并采用遺傳算法對(duì)電磁繼電器的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行優(yōu)化.Yang等[24]在此基礎(chǔ)上針對(duì)繼電器設(shè)計(jì)提出一種基于補(bǔ)償矩陣的快速算法,該方法使用二維補(bǔ)償矩陣,對(duì)不同銜鐵位移、線圈電流下磁路法計(jì)算忽略的漏磁和飽和進(jìn)行修正,具有計(jì)算速度快和精度高的特點(diǎn).

文獻(xiàn)[2,24]中基于空間映射原理的電器快速仿真算法具有較廣泛的通用性,有效綜合了磁路法和有限元法的各自優(yōu)勢(shì),可以應(yīng)用于一般電器產(chǎn)品的快速計(jì)算和優(yōu)化設(shè)計(jì).但是對(duì)于固定幾何結(jié)構(gòu)、未磁飽和的電磁閥和繼電器等電器,還可以通過改進(jìn)磁路模型的磁阻假設(shè),在大幅減少有限元數(shù)值仿真次數(shù)的同時(shí),獲得高精度的非飽和磁路模型,從而實(shí)現(xiàn)高效、準(zhǔn)確的電器產(chǎn)品仿真計(jì)算.常規(guī)等效磁路模型常對(duì)鐵芯和氣隙的磁阻采用理想假設(shè),雖然能解釋機(jī)電運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)所受到的磁吸附效應(yīng),但是難以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)實(shí)際的仿真結(jié)果.本文在磁路模型中采用機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)位移的3次多項(xiàng)式表示總磁阻,并通過上、下運(yùn)動(dòng)極限處的靜態(tài)磁力和電感值標(biāo)定4個(gè)待定系數(shù);改進(jìn)的磁路模型可更加準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)磁吸力和電感隨機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)位移的變化,進(jìn)而聯(lián)合機(jī)電裝置的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程,實(shí)現(xiàn)電磁制動(dòng)器、電磁閥等機(jī)電運(yùn)動(dòng)裝置的準(zhǔn)確快速動(dòng)態(tài)仿真.

1 直動(dòng)式機(jī)電運(yùn)動(dòng)裝置的磁路-運(yùn)動(dòng)耦合模型

圖1所示為單邊勵(lì)磁的直動(dòng)式機(jī)電運(yùn)動(dòng)裝置簡化模型[25],包含了機(jī)電系統(tǒng)的基本元件,即外端電系統(tǒng)、機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)和外端機(jī)械系統(tǒng).在該模型中,外端電系統(tǒng)由電壓源U和電阻R串聯(lián)而成,該電阻R包括機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)自身電損耗在內(nèi)的所有電損耗,如電壓源的等效電阻、機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的繞組電阻等;e為電端口處的電壓即線圈感應(yīng)電勢(shì).設(shè)機(jī)械系統(tǒng)的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)位移x范圍為x1≤x≤x2,其中x1和x2分別為運(yùn)動(dòng)位移上、下極限.在機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)中,常設(shè)有氣隙結(jié)構(gòu),能量通過氣隙的開合實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換.

考慮機(jī)電裝置中的電磁-運(yùn)動(dòng)耦合問題,該機(jī)電裝置中的電路方程[25]為

(1)

式中:λ為磁鏈;i為線圈電流;Lw為線圈自感;t為時(shí)間.該機(jī)電裝置中的機(jī)械系統(tǒng)簡化為一個(gè)勁度系數(shù)為K的彈簧和一個(gè)質(zhì)量為M的質(zhì)量塊,所受到的磁力為Fm,則機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力方程[25]為

(2)

式中:x0為彈簧在自然松弛狀態(tài)下的x值.引入速度變量v,將電磁運(yùn)動(dòng)耦合系統(tǒng)的微分方程式(1)和(2)表示為積分形式[25],得到:

(3)

根據(jù)式(3),對(duì)于任意輸入電壓U,可以求解出結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)位移x和線圈電流i等.

2 多項(xiàng)式表示總磁阻的改進(jìn)模型

在直動(dòng)式機(jī)電運(yùn)動(dòng)裝置模型中,參照文獻(xiàn)[25],線圈自感Lw和機(jī)構(gòu)所受磁力Fm可表示為

(4)

式中:N為線圈匝數(shù);Rt(x)為非飽和磁路的總磁阻;Rc(x)為鐵芯磁阻;Rg(x)為氣隙磁阻.當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)位移x變化時(shí),運(yùn)動(dòng)氣隙邊緣及相鄰鐵芯端部的磁場(chǎng)變化一般較為復(fù)雜,Rc(x)往往不是常值,Rg(x)與氣隙厚度或運(yùn)動(dòng)位移x也不滿足簡單的線性關(guān)系.為了更加準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)Fm和Lw隨x的變化規(guī)律,對(duì)Rt(x)采用x的n次多項(xiàng)式表示為

Rt(x)=(A+Bx+Cx2+Dx3+…)ν0

(5)

式中:A、B、C和D等為多項(xiàng)式的待定系數(shù),其中A為機(jī)構(gòu)初始狀態(tài)(運(yùn)動(dòng)位移為0)時(shí)的磁阻,Bx為磁阻的線性變化部分,Cx2+Dx3+…表示運(yùn)動(dòng)位移引起磁阻變化的高階量;ν0為空氣磁阻率常數(shù),作為多項(xiàng)式的比例因子.將圖2(a)中分布的鐵芯磁阻和氣隙磁阻集中為式(5)中多項(xiàng)式表示的總磁阻Rt(x),得到圖2(b)的磁路模型.

圖2 直動(dòng)式機(jī)電裝置的磁路模型

由式(4)和總磁阻表達(dá)式(5),Lw和Fm可以進(jìn)一步表示為

(6)

(7)

由式(6)和式(7)可知,可利用不同位移x處的線圈電感Lw或機(jī)構(gòu)所受磁力Fm的仿真值標(biāo)定系數(shù)A、B、C、D等.雖然式(5)中多項(xiàng)式的階次越高,對(duì)總磁阻的擬合精度也越高,但是過高的階次對(duì)改善精度的作用較小,同時(shí),過多的待定系數(shù)需要較多的數(shù)值仿真進(jìn)行標(biāo)定.本文限定式(7)中的多項(xiàng)式階次n≤3,且僅利用直動(dòng)式機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)上、下極限處的靜態(tài)線圈電感和磁吸力的仿真值標(biāo)定待定系數(shù).Lw(x1)和Fm(x1)是對(duì)應(yīng)x1的電感和磁力數(shù)值仿真解,分別簡記為L1、F1;Lw(x2)和Fm(x2)是對(duì)應(yīng)x2的電感和磁力數(shù)值仿真解,分別簡記為L2、F2.

當(dāng)選擇多項(xiàng)式次數(shù)n=1時(shí),式(5)中的總磁阻是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)位移x的1次多項(xiàng)式:

Rt(x)=(A+Bx)ν0

(8)

當(dāng)選擇多項(xiàng)式次數(shù)n=2時(shí),總磁阻是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)位移x的2次多項(xiàng)式:

Rt(x)=(A+Bx+Cx2)ν0

(9)

當(dāng)選擇多項(xiàng)式次數(shù)n=3時(shí),總磁阻是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)位移x的3次多項(xiàng)式:

Rt(x)=(A+Bx+Cx2+Dx3)ν0

(10)

由于可利用的標(biāo)定值有4個(gè),所以僅有1種標(biāo)定方式,需要利用全部L1、F1、L2、F2來標(biāo)定系數(shù):

(11)

相比1次和2次多項(xiàng)式磁阻模型,3次多項(xiàng)式磁阻模型可以表示機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)引起的更復(fù)雜的磁阻變化,同時(shí)3次多項(xiàng)式磁阻模型充分利用上、下運(yùn)動(dòng)位移極限處的靜態(tài)線圈電感和磁力仿真值標(biāo)定未知系數(shù),因而一般具有更高的精度.

3 基于改進(jìn)3次磁路-運(yùn)動(dòng)耦合模型的快速仿真

非飽和磁阻多項(xiàng)式的系數(shù)由靜態(tài)線圈電感和機(jī)構(gòu)所受磁力確定,可適用于直動(dòng)式機(jī)電運(yùn)動(dòng)裝置不同運(yùn)行工況的動(dòng)態(tài)分析.將式(10)中改進(jìn)的磁阻Rt(x)代入式(6)可得到改進(jìn)的電感Lw(x)和電感梯度dLw(x)/dx,進(jìn)一步代入式(3),可得到改進(jìn)的磁路-運(yùn)動(dòng)耦合模型.基于改進(jìn)的3次磁路-運(yùn)動(dòng)耦合模型仿真流程如圖3(a)所示,主要包括以下幾個(gè)步驟:首先,采用數(shù)值仿真手段獲得運(yùn)動(dòng)位移上極限處x1的磁力F1和電感L1,以及運(yùn)動(dòng)位移下極限處x2的磁力F2和電感L1;然后,利用兩個(gè)運(yùn)動(dòng)極限處的磁力和電感仿真值,根據(jù)式(11)計(jì)算式(10)中的系數(shù)A、B、C和D,從而確定Lw(x)和dLw(x)/dx的表達(dá)式;最后,通過搭建的Simulink系統(tǒng)計(jì)算動(dòng)態(tài)特性方程(3),并繪制i和x等變量的時(shí)間歷程曲線.圖3(b)為動(dòng)態(tài)特性方程(3)在Simulink系統(tǒng)中的實(shí)現(xiàn),圖中的3個(gè)積分器分別對(duì)應(yīng)式(3)中的3個(gè)積分方程.

圖3 基于改進(jìn)磁路-運(yùn)動(dòng)耦合模型的快速動(dòng)態(tài)仿真流程

4 算例驗(yàn)證

4.1 電磁制動(dòng)器動(dòng)態(tài)特性的快速仿真

圖4所示為制動(dòng)器主體的軸對(duì)稱幾何模型和外電路.在圖4(a)的主體結(jié)構(gòu)中,上端運(yùn)動(dòng)銜鐵與彈簧相連,銜鐵下方為靜止的護(hù)鐵.定義銜鐵向上運(yùn)動(dòng)為正方向,當(dāng)銜鐵與護(hù)鐵接觸時(shí)位移為0,并限定銜鐵的運(yùn)動(dòng)上、下極限位移分別為0.5和2.5 mm,銜鐵初始位移為2.5 mm.在圖4(b)的電路模型中,絞線圈作為電路中的一部分,與24 V的電源及開關(guān)構(gòu)成回路,并與續(xù)流電阻和二極管并聯(lián),續(xù)流電阻Rf為100 Ω.絞線圈匝數(shù)N為2 548,線圈電阻Rw為50 Ω,銜鐵和護(hù)鐵的相對(duì)磁導(dǎo)率分別設(shè)為 2 000 和 1 000,銜鐵質(zhì)量M為0.25 kg,彈簧勁度系數(shù)K為1 kN/m,初始拉伸長度為0.01 m.仿真總時(shí)長為0.2 s,開始時(shí)電源開關(guān)閉合,在0.1 s時(shí)斷開.

圖4 電磁制動(dòng)器軸對(duì)稱幾何模型和外電路模型

在對(duì)該電磁制動(dòng)器進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真前,對(duì)比數(shù)值模型和不同磁路模型計(jì)算得到的磁力和電感隨氣隙厚度變化曲線,驗(yàn)證改進(jìn)的3次磁路模型具有較高的精度.設(shè)定線圈穩(wěn)態(tài)電流大小為0.48 A,利用上、下運(yùn)動(dòng)極限處靜態(tài)電感和磁力的數(shù)值仿真結(jié)果標(biāo)定不同階次總磁阻磁路模型的待定系數(shù),得到表1中的待定系數(shù)值.圖5對(duì)比了理想磁路模型、改進(jìn)的磁路模型以及有限元模型計(jì)算得到的磁吸力和電感隨氣隙厚度或運(yùn)動(dòng)位移的變化曲線.其中有限元模型采用三角形網(wǎng)格劃分,網(wǎng)格總數(shù)為 3 708,當(dāng)銜鐵運(yùn)動(dòng)時(shí),氣隙網(wǎng)格會(huì)發(fā)生擠壓變形.可以發(fā)現(xiàn),改進(jìn)的3次磁路模型具有最高的精度,準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)了不同氣隙厚度的磁力和電感的有限元仿真結(jié)果,說明3次多項(xiàng)式表示的總磁阻磁路模型充分考慮了氣隙厚度變化引起的氣隙邊緣及鐵芯端部磁場(chǎng)變化.

表1 電磁制動(dòng)器磁路模型系數(shù)值

圖5 電磁制動(dòng)器中磁力與自感對(duì)比

利用不同階次的磁路-運(yùn)動(dòng)耦合模型,在Simulink系統(tǒng)中對(duì)該電磁制動(dòng)器的動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行仿真.圖6為線圈電流、線圈感應(yīng)電勢(shì)e、銜鐵磁力及運(yùn)動(dòng)位移的時(shí)間歷程曲線,并且與有限元-運(yùn)動(dòng)耦合模型的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,發(fā)現(xiàn)只有改進(jìn)的3次磁路-運(yùn)動(dòng)耦合模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)該制動(dòng)器動(dòng)態(tài)過程的各個(gè)輸出量.此外,改進(jìn)的3次磁路-運(yùn)動(dòng)耦合模型將有限元仿真所需的223 s縮短為1.6 s,大幅提高了電磁制動(dòng)器動(dòng)態(tài)特性計(jì)算的效率.

圖6 電磁制動(dòng)器中改進(jìn)的磁路-運(yùn)動(dòng)耦合模型與有限元-運(yùn)動(dòng)耦合模型的結(jié)果對(duì)比

4.2 伺服閥動(dòng)態(tài)特性的快速仿真

圖7為某伺服電磁閥的軸對(duì)稱幾何模型示意圖.鐵芯材料的相對(duì)磁導(dǎo)率為 4 000,Rw為55 Ω.電磁閥外電路采用圖4(b)中的電路模型,Rf為 100 Ω.在初始時(shí)刻打開開關(guān),然后在0.05 s閉合開關(guān),因此在0.05 s時(shí),式(3)中的電壓U從初始24 V變?yōu)?,電路總電阻R從55 Ω變?yōu)?50 Ω.

圖7 電磁比例閥軸對(duì)稱幾何模型示意圖

利用改進(jìn)的3次磁路-運(yùn)動(dòng)耦合模型對(duì)電磁比例閥進(jìn)行快速動(dòng)態(tài)仿真.首先,通過將上、下運(yùn)動(dòng)極限處電磁閥的靜態(tài)電感和閥芯所受磁力的有限元仿真結(jié)果代入式(11),確定式(10)中總磁阻3次多項(xiàng)式的4個(gè)系數(shù),得到電感和電感梯度表達(dá)式,從而確定動(dòng)態(tài)特性方程(3);然后,對(duì)方程(3)采用圖3(b)中搭建的Simulink系統(tǒng)進(jìn)行快速求解,得到圖8中線圈電流、線圈感應(yīng)電勢(shì)、閥芯磁力及位移的計(jì)算結(jié)果.有限元-運(yùn)動(dòng)耦合模型采用三角形網(wǎng)格劃分,網(wǎng)格總數(shù)為12 284,當(dāng)銜鐵運(yùn)動(dòng)時(shí),采用氣隙動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)求解.通過與有限元-運(yùn)動(dòng)耦合模型的計(jì)算結(jié)果對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn)兩者結(jié)果曲線較吻合,說明改進(jìn)的磁路-運(yùn)動(dòng)耦合模型可以準(zhǔn)確反映有限元仿真結(jié)果;此外,改進(jìn)的磁路-運(yùn)動(dòng)耦合模型將有限元仿真所需的626 s縮短僅為1.5 s,大幅提高了電磁比例閥動(dòng)態(tài)特性計(jì)算的效率.

圖8 電磁比例閥中改進(jìn)的磁路-運(yùn)動(dòng)耦合模型與有限元-運(yùn)動(dòng)耦合模型的結(jié)果對(duì)比

改進(jìn)的3次磁路-運(yùn)動(dòng)耦合模型與有限元-運(yùn)動(dòng)耦合模型并非完全吻合,這主要由于:一方面磁路模型采用3次多項(xiàng)式描述總磁阻,仍然存在一定擬合誤差;另一方面改進(jìn)的3次磁路-運(yùn)動(dòng)模型與有限元-運(yùn)動(dòng)模型采用了不同的時(shí)間離散方案,其中有限元-運(yùn)動(dòng)耦合模型中的電磁場(chǎng)模型采用一階向后Euler法,而改進(jìn)的3次磁路-運(yùn)動(dòng)耦合模型采用Simulink自帶的4階Runge-Kutta法.

5 結(jié)語

對(duì)未磁飽和的直動(dòng)式機(jī)電運(yùn)動(dòng)裝置提出一種改進(jìn)的磁路-運(yùn)動(dòng)耦合模型,該模型對(duì)非飽和磁路總磁阻采用機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)位移的3次多項(xiàng)式描述,可更加準(zhǔn)確地反映磁力和電感隨機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)位移變化的規(guī)律.該模型無需定義鐵芯部件和氣隙的等效長度和橫截面積等,利用機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)極限處電感和磁力有限元仿真結(jié)果或?qū)崪y(cè)值確定總磁阻的3次多項(xiàng)式系數(shù).所得到的改進(jìn)磁路-運(yùn)動(dòng)耦合模型在保證計(jì)算精度的同時(shí),實(shí)現(xiàn)未磁飽和直動(dòng)式機(jī)電運(yùn)動(dòng)裝置的秒級(jí)快速動(dòng)態(tài)仿真,可有效替代計(jì)算耗時(shí)的有限元-運(yùn)動(dòng)耦合仿真.