○ 南通師范學(xué)校第二附屬小學(xué) 吳 青

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到人為規(guī)定的情形。為了幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)這種人為規(guī)定的必要，更好地理解、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，我們需要和學(xué)生一起探究規(guī)定背后的數(shù)學(xué)淵源，從歷史、人文、科學(xué)等多角度分析規(guī)定的合理性，溝通數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，從而讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)浸潤(rùn)科學(xué)文化的底蘊(yùn)。

一、問(wèn)題緣起

小學(xué)六年級(jí)學(xué)習(xí)的《確定位置》，是讓學(xué)生用帶有角度的方向和距離，描述平面上各點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，比如燈塔在輪船的北偏東30°方向6 千米處，這種表示物體位置的方法其實(shí)類(lèi)似于極坐標(biāo)法。

本課教學(xué)有一個(gè)重點(diǎn)，就是要用“北偏東30°”這樣的方式來(lái)描述物體的準(zhǔn)確方向。在生活中我們經(jīng)常說(shuō)“東北”這個(gè)方位詞，但是“東北”只是一個(gè)大概的方向，只要在東和北之間都可以叫做東北。要想準(zhǔn)確地指定東和北之間的某一個(gè)具體方向，就必須加上一個(gè)角度，比如說(shuō)成“北偏東30°”。

但是，為什么要說(shuō)成“北偏東”而不是“東偏北”，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有些難以理解。如果我們只是簡(jiǎn)單地告訴學(xué)生，這是人們約定俗成的說(shuō)法，一定要說(shuō)成“北偏東”，那么經(jīng)過(guò)多次練習(xí)鞏固之后，他們會(huì)逐漸掌握正確的表述方式，但是并沒(méi)有真正理解其本質(zhì)，這對(duì)于學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng)顯然是不利的。

其實(shí)采用“北偏東”這種說(shuō)法，雖說(shuō)是人為規(guī)定的，但卻有著極豐富的文化、科學(xué)等方面的歷史淵源。

二、追根求源

為什么東北要說(shuō)成“北偏東”而不是“東偏北”？這其中涉及古人在認(rèn)識(shí)、探索宇宙過(guò)程中逐步積累起來(lái)的科學(xué)知識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)。

1.中西方語(yǔ)言文化。

在漢語(yǔ)中，“東北”這個(gè)詞語(yǔ)的構(gòu)成和“紅花”“大樹(shù)”等詞語(yǔ)相同，后面的“北”是中心詞，而前面的“東”是形容詞，來(lái)修飾中心詞“北”，表示“偏向東的北”。

而在英語(yǔ)中，東北可以說(shuō)成north easterly。我們知道，north 表示北，east 表示東，那么加上后綴-erly 之后，easterly 就表示“東的，向東的”。很顯然，north easterly 表示 “偏向東的北”。

看來(lái)，不管是漢語(yǔ)還是英語(yǔ)，表示東北方向的詞組，都是以“北”為中心詞，表示“偏向東的北”或“從北偏向東”，因此可以簡(jiǎn)單說(shuō)成“北偏東”。

類(lèi)似地，西北方向也是以北為標(biāo)準(zhǔn)，要說(shuō)成“北偏西”，而東南和西南方向則是以南為標(biāo)準(zhǔn)，要說(shuō)成“南偏東”“南偏西”。

2.北極星。

古人在確定方位時(shí)，都不約而同地選擇以北和南為標(biāo)準(zhǔn)，而不是以東和西為標(biāo)準(zhǔn)，這是為什么？

東、南、西、北這四個(gè)方向都是古人在認(rèn)識(shí)大自然的過(guò)程中形成的，然而它們之間卻是有差別的。幾千年前，古人就開(kāi)始夜觀天象，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的觀察研究，他們發(fā)現(xiàn)日月星辰都在不停地運(yùn)動(dòng)，而只有一顆星在天空中的位置看起來(lái)幾乎不動(dòng)，古人將之稱(chēng)為“北極星”。

后來(lái)人們知道，因?yàn)榈厍蛟诓煌５刈赞D(zhuǎn)，就造成了日月星辰看起來(lái)在不停地繞著地球轉(zhuǎn)動(dòng)；而地球自轉(zhuǎn)軸所指的方向正好對(duì)著北極星附近，因此北極星在天空的位置看起來(lái)就幾乎不變。人們把北極星所指的方向定為北，那么相反的方向就是南，有了“北”和“南”，就可以確定“東”和“西”這兩個(gè)方向了。古人在大海中航行，在沙漠、森林、田野上跋涉時(shí)，總是通過(guò)北極星來(lái)辨別方向。

可能有人會(huì)認(rèn)為，我們可以把早晨太陽(yáng)升起的方向定為“東”，晚上太陽(yáng)落下的方向定為“西”。有了“東”和“西”，再確定“南”和“北”，不是也可以嗎？

公寓網(wǎng)采用四層組網(wǎng)架構(gòu)：即互聯(lián)網(wǎng)與管理云層、核心層、匯聚層以及接入層。接入層ONT提供FE電口接入公寓用戶，并提供統(tǒng)一的無(wú)線SSID，ONT上聯(lián)到網(wǎng)絡(luò)中心機(jī)房OLT，中間無(wú)源全光纜。匯聚層收容各校區(qū)OLT收容業(yè)務(wù)，通過(guò)PTN系統(tǒng)連校園網(wǎng)寬帶BRAS。核心層由BRAS負(fù)責(zé)高速數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)發(fā)和計(jì)費(fèi)認(rèn)證等功能，并與校園網(wǎng)互聯(lián)。互聯(lián)網(wǎng)與管理云層中包含運(yùn)營(yíng)商端認(rèn)證系統(tǒng)和公寓網(wǎng)云管理端。

由于地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的同時(shí)，還在傾斜著自轉(zhuǎn)，這就造成每天早晨日出的位置都在不停地變化。通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的觀察可以發(fā)現(xiàn)，冬天日出的方向在“正東偏南”，夏天日出的方向在“正東偏北”。而且處于不同地理緯度上的地區(qū)，日出位置也不相同。因此，用這種方法得到的“東”和“西”，存在著很大的不確定性，所以不適合用來(lái)比較準(zhǔn)確地確定位置。因此我們通常是以“南”“北”方向?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)。

3.指南針。

我們出門(mén)在外，除了可以根據(jù)北極星來(lái)確定方向之外，還可以通過(guò)指南針來(lái)指示“南”“北”方向。指南針為什么能夠指出“南”“北”方向？因?yàn)榈厍騼?nèi)部有一個(gè)巨大的磁場(chǎng)，可以根據(jù)磁鐵同極相斥、異極相吸的特點(diǎn)，用指南針上的磁鐵指出“南”“北”方向。

其實(shí)指南針指的方向只是地磁場(chǎng)的南極和北極，而非真正的地理南極和北極，但是地磁場(chǎng)的兩極位于地理兩極附近，差距不大，所以我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^(guò)指南針來(lái)指示“南”“北”方向。

從上面的分析中我們可以看出，中西方語(yǔ)言都是以“南”和“北”為標(biāo)準(zhǔn)，而地球自轉(zhuǎn)和地球磁場(chǎng)也都決定了“南”“北”方向的重要性，所以我們?cè)诖_定方向時(shí)，一般是以“南”和“北”為標(biāo)準(zhǔn)，要說(shuō)成“北偏東”，而不說(shuō)成“東偏北”。

在課堂上，我們和學(xué)生簡(jiǎn)要地從這三個(gè)方面進(jìn)行分析，明確了“北偏東”這種說(shuō)法的根源。和直接告訴學(xué)生的教學(xué)方式相比，這樣的教學(xué)過(guò)程把枯燥的說(shuō)教變?yōu)樯鷦?dòng)的探究，能夠激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)熱情，使他們產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，又培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真的探究精神，拓寬了學(xué)生的知識(shí)面，同時(shí)也有助于對(duì)知識(shí)的理解和掌握。

三、縱向比較

對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，《確定位置》的學(xué)習(xí)貫穿了整個(gè)小學(xué)階段，一共安排了四次學(xué)習(xí)任務(wù)。教師需要通讀教材，對(duì)教材的編排有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，這樣才能有的放矢地開(kāi)展好每一次教學(xué)活動(dòng)。

一年級(jí)，剛剛跨入小學(xué)大門(mén)，學(xué)生就認(rèn)識(shí)了前、后、左、右，這是最基礎(chǔ)的確定位置的方法，只能確定以觀測(cè)者為中心的前后、左右這兩條直線上的方向，這也相當(dāng)于以觀測(cè)者為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系的兩條坐標(biāo)軸上的方向。這時(shí)的方向，與觀測(cè)者的朝向有關(guān)，因此具有不確定性，一旦觀測(cè)者的朝向發(fā)生了變化，那么前、后、左、右這四個(gè)方向也隨之變化。

二年級(jí)，學(xué)生通過(guò)早晨面向太陽(yáng)時(shí)的前、后、左、右，認(rèn)識(shí)了東、南、西、北四個(gè)方向，并在此基礎(chǔ)上又進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了東北、東南、西北、西南這四個(gè)方向，此時(shí)四面八方中的這八個(gè)方向不再受觀測(cè)者朝向的影響，而是完全依賴于地球的自轉(zhuǎn)與太陽(yáng)的東升西落，此時(shí)描述的方向更加準(zhǔn)確。

六年級(jí)最后一次學(xué)習(xí)確定位置，則是用帶有角度的方向和距離來(lái)確定位置，這相當(dāng)于極坐標(biāo)系中用有序數(shù)對(duì)（ρ，θ）來(lái)確定平面上點(diǎn)的位置。因?yàn)檫@時(shí)的角度是以南、北方向?yàn)榛鶞?zhǔn)的，所以不再受觀測(cè)者朝向與位置的影響。

可以看出，小學(xué)階段四次學(xué)習(xí)確定位置的方法，螺旋式上升，逐步提高要求，使得確定位置的方法越來(lái)越精確。我們需要針對(duì)每一次確定位置的特點(diǎn)開(kāi)展有效教學(xué)，幫助學(xué)生更好地理解并鞏固應(yīng)用。而在六年級(jí)畢業(yè)總復(fù)習(xí)時(shí)，我們可以和學(xué)生一起回顧幾次確定位置的方法，分析它們之間的區(qū)別和各自的側(cè)重點(diǎn)，幫助學(xué)生融會(huì)貫通，建立完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

四、教學(xué)實(shí)踐

在小學(xué)階段的四次確定位置的教學(xué)中，除了用方向和距離確定位置以外，用數(shù)對(duì)確定位置同樣也值得我們關(guān)注。

1.教學(xué)現(xiàn)狀分析。

教學(xué)數(shù)對(duì)時(shí)，我們通常會(huì)創(chuàng)設(shè)一定的操作探究情境，幫助學(xué)生理解數(shù)對(duì)的概念以及數(shù)對(duì)的表示方法。比如，在教室點(diǎn)陣圖中給出小軍的具體位置（第4 列第3 行），讓學(xué)生描述并記錄下來(lái)，于是出現(xiàn)了（4，3）、（3，4）等不同的記法；也有的教師先告訴學(xué)生（4，3）這個(gè)記法，讓學(xué)生在教室點(diǎn)陣圖中找到相對(duì)應(yīng)的位置，于是出現(xiàn)了第4 列第3 行、第4 行第3 列等不同的答案。

如果教師告訴學(xué)生，我們?cè)谟脭?shù)對(duì)表示位置時(shí)，通常是“先列后行”，即先說(shuō)第幾列再說(shuō)第幾行。經(jīng)過(guò)大量的練習(xí)，大部分學(xué)生都能正確書(shū)寫(xiě)，但還有少數(shù)學(xué)生會(huì)錯(cuò)誤地寫(xiě)成“先行后列”。到了六年級(jí)畢業(yè)總復(fù)習(xí)階段，這樣的錯(cuò)誤仍然存在。這說(shuō)明有的學(xué)生始終沒(méi)有分辨清楚，表示數(shù)對(duì)到底是“先列后行”還是“先行后列”；而那些會(huì)正確表示數(shù)對(duì)的學(xué)生，并不理解為什么“先列后行”而不是“先行后列”，只是機(jī)械地進(jìn)行記憶和練習(xí)，這非常不利于以后的學(xué)習(xí)。

在我們的生活中，有許多場(chǎng)合都涉及確定位置，比如電影院或者大禮堂的座位是“第幾排第幾座”（即第幾行第幾個(gè)），飛機(jī)上的座位也是如此，電腦上的word 表格和excel 表格中同樣也都是“先行后列”，這些對(duì)學(xué)生理解、掌握數(shù)對(duì)中“先列后行”的表示順序會(huì)產(chǎn)生負(fù)遷移，會(huì)對(duì)數(shù)對(duì)的正確表示方法進(jìn)行干擾，容易混淆。因此，應(yīng)讓學(xué)生理解數(shù)對(duì)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化知識(shí)，從而真正認(rèn)識(shí)到數(shù)對(duì)“先列后行”的合理性。

2.數(shù)對(duì)起源追溯。

數(shù)對(duì)其實(shí)就是二維坐標(biāo)的原型，是平面上點(diǎn)的位置的抽象。小學(xué)階段學(xué)習(xí)用數(shù)對(duì)確定位置，就是讓學(xué)生對(duì)平面直角坐標(biāo)系和二維坐標(biāo)有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系作鋪墊。

關(guān)于數(shù)對(duì)的產(chǎn)生，我們可以向?qū)W生介紹笛卡爾發(fā)明數(shù)對(duì)的故事。據(jù)說(shuō)笛卡爾躺在床上，發(fā)現(xiàn)墻角處有一張很大的蜘蛛網(wǎng)，一只蜘蛛在網(wǎng)上爬來(lái)爬去。笛卡爾靈機(jī)一動(dòng)，可以把蜘蛛網(wǎng)最中心的位置作為原點(diǎn)，標(biāo)為（0，0），通過(guò)原點(diǎn)的水平方向的蛛絲作為橫軸，豎直方向的蛛絲作為縱軸，橫軸和縱軸上面的點(diǎn)分別用數(shù)字1、2、3……來(lái)表示。蜘蛛網(wǎng)上的每一個(gè)交叉點(diǎn)都可以用縱、橫兩條線來(lái)確定，并用兩個(gè)數(shù)字表示出來(lái)，這樣就用兩個(gè)數(shù)字組成的有序數(shù)對(duì)確定了平面上每一個(gè)點(diǎn)的位置。笛卡爾發(fā)明的這個(gè)平面直角坐標(biāo)系，把平面上形象的點(diǎn)和抽象的數(shù)聯(lián)系起來(lái)，從而開(kāi)創(chuàng)了一門(mén)新的數(shù)學(xué)分支——解析幾何。

在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于平面上的任意一點(diǎn)，是先找橫軸上的數(shù)（橫坐標(biāo)），再找縱軸上的數(shù)（縱坐標(biāo)），這時(shí)數(shù)對(duì)的表示方法恰好是“先橫后豎”，這和學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)正好是吻合的。而橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著“第幾列”，縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著“第幾行”，所以平面直角坐標(biāo)系中“先看橫坐標(biāo)，再看縱坐標(biāo)”的順序，正好對(duì)應(yīng)著數(shù)對(duì)中的“先列后行”的順序。

當(dāng)學(xué)生了解了數(shù)對(duì)的產(chǎn)生過(guò)程，知道了數(shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系之間的淵源，他們也就能夠更好地理解數(shù)對(duì)“先列后行”的順序。

3.聯(lián)系生活實(shí)際。

其實(shí)，數(shù)對(duì)“先列后行”的順序，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)同樣有著豐富的生活體驗(yàn)，每天和同學(xué)一起在教室里學(xué)習(xí)，對(duì)教室位置的描述有著深刻的體會(huì)。我們?cè)诮淌依锒紩?huì)說(shuō)某個(gè)學(xué)生是“第幾組第幾個(gè)”，不就是“第幾列第幾行”的意思嗎？結(jié)合教室里的現(xiàn)實(shí)環(huán)境進(jìn)行分析，學(xué)生能深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)對(duì)“先列后行”的意義，而教材中通過(guò)教室的座位圖來(lái)教學(xué)數(shù)對(duì)，也正是想利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行正遷移，達(dá)到有效的知識(shí)同化。因此，在實(shí)際教學(xué)中，我們可以從教室的座位開(kāi)始引入新課。

而那些從藏寶圖、藥柜圖、森林圖等進(jìn)行導(dǎo)入的教學(xué)方式，則是將數(shù)對(duì)與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)生生割裂，人為地加大了數(shù)對(duì)的學(xué)習(xí)難度，相當(dāng)于事倍功半，這是不可取的。

教學(xué)時(shí)，我們還應(yīng)該向?qū)W生介紹確定位置在生活中的實(shí)際應(yīng)用，如地球經(jīng)緯度、雷達(dá)圖、棋盤(pán)等，也可以初步滲透三維空間中確定位置的方法，幫助學(xué)生拓展知識(shí)面，真正掌握確定位置的方法。

在幾千年的數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，數(shù)學(xué)與科學(xué)、藝術(shù)、文化等相互滲透，形成了獨(dú)特的數(shù)學(xué)文化。數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們可以不斷讓學(xué)生浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化，拓展知識(shí)面，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。