張靜 李伯忍 王立本

［摘 要］ “線性代數(shù)”課程是大學(xué)數(shù)學(xué)中的一門重要基礎(chǔ)課，具有理論性、邏輯性、抽象性強的知識特點，并在許多實際領(lǐng)域中有著廣泛的、深刻的應(yīng)用背景與意義。為了落實綜合應(yīng)用型本科院校的人才培養(yǎng)目標(biāo)，綜合分析了傳統(tǒng)的“線性代數(shù)”課程的特點和教學(xué)所面臨的困難與挑戰(zhàn)，并從理論聯(lián)系實際出發(fā)，具體地闡述了一種將數(shù)學(xué)建模思想融入“線性代數(shù)”課程教學(xué)的改革方案與建議，增強學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模思想解決實際問題的意識與能力，切實提升學(xué)生的認(rèn)知層次與知行合一的能力。

［關(guān)鍵詞］ 線性代數(shù)；應(yīng)用型大學(xué)；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)改革

［基金項目］ 2021年度東莞理工學(xué)院高等教育教學(xué)改革項目“基于數(shù)學(xué)建模實踐的《線性代數(shù)》課程改革探索”（202102032）

［作者簡介］ 張靜（1991—），女，山西長治人，博士，東莞理工學(xué)院計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部講師（通信作者），主要從事數(shù)學(xué)與計算機建模研究；李伯忍（1980—），男，江西上饒人，博士，東莞理工學(xué)院計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部副教授，主要從事時滯與不確定系統(tǒng)的控制與綜合研究；王立本（1989—），男，湖南懷化人，博士，東莞理工學(xué)院計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部講師，主要從事橢圓偏微分方程解的研究。

［中圖分類號］ G642.0［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1674-9324（2024）01-0070-04 ［收稿日期］ 2023-02-15

引言

“線性代數(shù)”課程是研究離散化和數(shù)值計算理論的基礎(chǔ)學(xué)科，是高等學(xué)校理工科專業(yè)及經(jīng)管類各專業(yè)的重要基礎(chǔ)課。線性代數(shù)主要以行列式、矩陣為工具研究線性方程組、線性空間與線性變換等相關(guān)基本概念、基本理論和基本運算技巧?！熬€性代數(shù)”課程內(nèi)容邏輯性、抽象性較強，應(yīng)用性廣泛，在當(dāng)今的電子信息時代有著深刻的背景與意義，是自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)、軍事和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域的應(yīng)用基礎(chǔ)。因此，“線性代數(shù)”課程對工學(xué)和經(jīng)濟管理學(xué)學(xué)生具有的重要的作用和地位［1-4］。東莞理工學(xué)院（以下簡稱我校）是入選教育部首批“卓越工程師教育培養(yǎng)計劃”“新工科研究與實踐項目”建設(shè)單位之一，我校主要培養(yǎng)適應(yīng)現(xiàn)代產(chǎn)業(yè)發(fā)展需求，勇于擔(dān)當(dāng)、善于學(xué)習(xí)、敢于超越的高素質(zhì)應(yīng)用型創(chuàng)新人才。在嶄新的發(fā)展階段，面對社會和企業(yè)對于人才專業(yè)能力和素養(yǎng)的要求，“線性代數(shù)”課程不僅需要支撐各理工科專業(yè)后續(xù)專業(yè)課程，而且還需通過推動學(xué)生走出學(xué)校參與各項省級、國家級競賽，如全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽等，達(dá)到理論付諸實踐的關(guān)鍵嘗試。

數(shù)學(xué)建模［5-6］不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)，是集經(jīng)典數(shù)學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)和實際問題為一體的一門新型交叉學(xué)科，是溝通數(shù)學(xué)理論與實際應(yīng)用的一座橋梁，旨在培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識和創(chuàng)新思維，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，了解數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和分析問題、解決問題的能力。

通過探索將抽象的線性代數(shù)知識與相應(yīng)的數(shù)學(xué)建模實例融會貫通，讓抽象轉(zhuǎn)化為形象，通過實際問題讓學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的問題重述、分析、討論與總結(jié)，可以有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及對相關(guān)知識點的理解與鞏固，從而實現(xiàn)知識的銜接和認(rèn)知的提升。

一、“線性代數(shù)”教學(xué)現(xiàn)狀分析

作為重要的基礎(chǔ)課程，“線性代數(shù)”課程已經(jīng)有成熟的結(jié)構(gòu)體系。該課程的傳統(tǒng)教學(xué)模式是結(jié)合多媒體課件線下講授（主講基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識點）。由于學(xué)習(xí)時間和知識積累的限制，雖然本科階段的“線性代數(shù)”課程主要講解行列式、矩陣、n維向量組的線性相關(guān)性、線性方程組求解、相似矩陣以及二次型等基本內(nèi)容，但是由于這門課程的抽象性，學(xué)生普遍覺得和以前的數(shù)學(xué)知識沒有聯(lián)系，對向量空間、線性變換等代數(shù)與空間解析幾何內(nèi)容學(xué)習(xí)困難，而對于一些經(jīng)管類專業(yè)文科學(xué)生來說則更加學(xué)習(xí)吃力，主要存在的挑戰(zhàn)包括以下幾個方面。

（一）教學(xué)對象的學(xué)習(xí)風(fēng)格新穎

學(xué)生不僅僅滿足于對課堂知識的學(xué)習(xí)，而更喜歡自己探索新知，探求事物的本質(zhì)，如果得到了實踐的驗證，會更加自信，更加愿意獨立思考。學(xué)生會尋求協(xié)作，在解決比較復(fù)雜的問題情境時會提煉問題，綜合已有知識改變思維策略，最終解決問題。

（二）教學(xué)內(nèi)容抽象性和復(fù)雜性增強

對于學(xué)生來講，中學(xué)數(shù)學(xué)與線性代數(shù)直接聯(lián)系較少，中學(xué)數(shù)學(xué)具體形象而線性代數(shù)抽象且邏輯性很強，這致使許多學(xué)生失去了學(xué)習(xí)信心。倘若可以將抽象知識映射在生動的、易懂的具體實例中，那么將大大提升學(xué)生的學(xué)習(xí)信心。

（三）教學(xué)過程重灌輸輕探究

線性代數(shù)知識點抽象難懂，加之圖表等直觀解釋少，實際應(yīng)用例題也很缺乏，即使精簡授課內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也不能透徹理解和關(guān)聯(lián)知識點，無法達(dá)到理想的傳授知識并提升能力的目標(biāo)。因此，剖析典型的應(yīng)用實例對于學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)具有強化作用。

（四）教學(xué)目標(biāo)重知識輕應(yīng)用

在應(yīng)用型、創(chuàng)新型人才培養(yǎng)目標(biāo)下，迫切需要加強非數(shù)學(xué)專業(yè)的“線性代數(shù)”課程內(nèi)容對學(xué)生應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。當(dāng)前課程目標(biāo)比較側(cè)重依托知識結(jié)構(gòu)邏輯性來培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。但經(jīng)初步調(diào)研發(fā)現(xiàn)，如何在實踐中正確運用所學(xué)的知識和抽象思維能力是大多數(shù)學(xué)生面臨的挑戰(zhàn)。例如，在多變量尋優(yōu)問題上，無法用數(shù)學(xué)語言去描述實際問題等。因此，對線性代數(shù)在理論應(yīng)用于實際方面需要加強。

二、“線性代數(shù)”教學(xué)改革建議

以知識點與典型數(shù)學(xué)建模實例相融合的教學(xué)模式為主線，采用理論知識聯(lián)系數(shù)模應(yīng)用實例、學(xué)生融入課堂、評價反映能力三者相結(jié)合的實施方案。具體從理論知識與數(shù)模實例雙射、師生角色模擬與多元化成績評價三個方面展開（如圖1所示）。最終給出基于數(shù)學(xué)建模實踐的“線性代數(shù)”課程新模式，為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程的創(chuàng)新提供參考。

（一）理論知識與數(shù)模實例雙射

首先，基于課本關(guān)鍵知識點與數(shù)學(xué)建模實例的關(guān)聯(lián)性，通過對實際問題進(jìn)行抽象、概括、分析，進(jìn)一步建立模型和求解模型，讓學(xué)生切實鞏固知識，培養(yǎng)從理論到實際的轉(zhuǎn)化思維，提高相關(guān)專業(yè)素質(zhì)。例如，矩陣是“線性代數(shù)”課程的樞紐，在講解矩陣及其運算內(nèi)容時，可引入易懂的數(shù)模實例：三個咖啡店I、II、III售賣A、B、C、D四種咖啡，現(xiàn)要統(tǒng)計三個咖啡店開業(yè)以來第1年和第2年售賣四種咖啡的總銷售量。為了使學(xué)生既領(lǐng)會知識點也提升自己的綜合能力，教學(xué)過程可以結(jié)合數(shù)學(xué)建模解題思路，先從問題分析與假設(shè)入手，引導(dǎo)學(xué)生從實際問題中提取出數(shù)學(xué)變量（假設(shè)xi， j表示第i個咖啡店第j年銷售量）；然后，根據(jù)已知條件，與學(xué)生共同構(gòu)建與求解數(shù)學(xué)模型（矩陣加法——求和）。通過對實例的共同分析討論，學(xué)生不僅鞏固了矩陣的加法運算知識，也了解到基礎(chǔ)知識對實際應(yīng)用的重要性，同時培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維能力和應(yīng)用能力，為相關(guān)專業(yè)課程打下基礎(chǔ)。

其次，針對授課對象的專業(yè)特點，基于相似背景的數(shù)學(xué)建模實例，反映相關(guān)知識點的本質(zhì)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)課程知識的同時，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣與信心，形成自主的、良性的學(xué)習(xí)態(tài)度。例如，線性方程組及其求解是“線性代數(shù)”課程的基礎(chǔ)，考慮到課堂時間有限，在講解該內(nèi)容時，假設(shè)授課對象為食品方向的學(xué)生，可以引入如下數(shù)模實例：一份食譜中有牛奶、麥片和雞蛋三種食物，已知100 g每種食物成分含有的蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪的量，減肥所要求的每日營養(yǎng)量需達(dá)到33 g、45 g、3 g，如果這三種食物作為每天的主要食物，那么三種食物應(yīng)各攝取多少才能全面準(zhǔn)確實現(xiàn)這個營養(yǎng)要求？授課對象為化學(xué)方向?qū)W生時，則可引入復(fù)雜的化學(xué)方程式配平的應(yīng)用例題。特征值與特征向量是“線性代數(shù)”課程的重點和難點，授課對象為環(huán)境方向?qū)W生時，可引入差分方程模型——工業(yè)增長模型進(jìn)行模擬，便于學(xué)生理解與應(yīng)用。總而言之，數(shù)學(xué)建模實例的引用需切合知識點，通俗易懂且具有專業(yè)針對性。

（二）師生角色模擬

如圖2所示，根據(jù)授課內(nèi)容選定數(shù)學(xué)建模實例，布置課前“備課”?；诰€上授課平臺（如優(yōu)學(xué)院等）發(fā)布難度適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)建模實際案例（附簡要解析）和相關(guān)應(yīng)用背景視頻資源，降低自主學(xué)習(xí)難度的同時，最大限度激發(fā)學(xué)生主觀能動性。例如，選定差分方程模型——工業(yè)增長模型對特征值與特征向量進(jìn)行補充講解時，除上傳相應(yīng)錄課音頻外，也可添加環(huán)境污染現(xiàn)狀及治理緊迫性的科普視頻，讓學(xué)生切身了解線性代數(shù)在實際問題中的重要性，并通過前沿視頻拓寬視野，增加學(xué)生對學(xué)習(xí)專業(yè)知識的自信心。

學(xué)生在課上備好“教案”，并進(jìn)入模擬授課。學(xué)生先將備好的課件以書面形式提前交給教師?；谥悄芙淌遥ㄈ缥倚５摹爸腔劢淌摇保┢脚_，學(xué)生分組列席并以“小教師”身份上臺授課，每組約7分鐘講授，闡述小組的智慧成果，3分鐘互評與提問，臺下學(xué)生基于優(yōu)學(xué)院—投票平臺進(jìn)行等級打分。全部學(xué)生在授課結(jié)束后評出最佳小組，并上臺分享過程心得。最后，教師予以點評解析，并指出各小組主要改進(jìn)點，課后學(xué)生針對性修改教案與發(fā)言稿，將最終電子版本提交至優(yōu)學(xué)院平臺供教師參考給出最終成績，該成績將作為過程追蹤評價的一項新指標(biāo)。教師根據(jù)最終教案的質(zhì)量，摸底學(xué)生對知識點的掌握程度，并作為后續(xù)授課方式和難度的重要參照。通過師生角色模擬環(huán)節(jié)，旨在加強學(xué)生知識理解，提升學(xué)生的綜合素質(zhì)能力，落實創(chuàng)新型、應(yīng)用型人才培養(yǎng)目的，切實體會線性代數(shù)知識的應(yīng)用前景。

（三）多元化成績評價

落實能力評價，調(diào)整平時成績組成架構(gòu)。具體地，基于學(xué)生參與課堂授課情況，增添期末總評成績的評價指標(biāo)，不再僅僅局限于傳統(tǒng)的出勤、作業(yè)及課堂表現(xiàn)的評價架構(gòu)，真正將實踐能力的培養(yǎng)落實到地，探索更細(xì)化的過程追蹤與測試合理化的結(jié)果評價方法。一方面在過程追蹤評價中增補課程匯報成績，該成績依據(jù)學(xué)生課堂授課得分以及教師對其課前課后教案的質(zhì)量程度共同評判，進(jìn)而加大平時成績分?jǐn)?shù)的占比，促使平時應(yīng)用理論知識能力的養(yǎng)成；另一方面，針對所闡述的教學(xué)實施過程中學(xué)生的參與深度和教學(xué)質(zhì)量，做好期末考試題目的設(shè)計，著重基礎(chǔ)知識及其應(yīng)用能力的考核，適當(dāng)減少抽象理論的題型。

結(jié)語

旨在將基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識與相應(yīng)的數(shù)學(xué)建模典型例題融會貫通講解，將傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)授課內(nèi)容與數(shù)學(xué)實驗相結(jié)合，從抽象化知識轉(zhuǎn)化為生動形象的實例。不同于傳統(tǒng)“線性代數(shù)”課程模式，本文提出不僅側(cè)重基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識點的講授，而且還重視基礎(chǔ)知識的應(yīng)用前景，在幫助學(xué)生學(xué)習(xí)課本知識的同時，提升學(xué)生對“線性代數(shù)”課程知識的認(rèn)知層次，有助于學(xué)生將這門基礎(chǔ)課靈活運用在專業(yè)課程中；同時，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣并拓寬了學(xué)生的視野，有助于學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真細(xì)致、實事求是的科學(xué)態(tài)度和職業(yè)道德，培養(yǎng)學(xué)生成為德才兼?zhèn)?、視野廣闊的德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人。

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Teaching Reform of Linear Algebra Based on the Cultivation of Innovation and Application Ability： Taking Integrating Mathematical Modeling Practice as an Example

ZHANG Jing， LI Bo-ren， WANG Li-ben

（School of Computer Science and Technology， Dongguan University of Technology， Dongguan， Guangdong 523808， China）

Abstract： Linear algebra is an important basic course in college mathematics. It is characterized by theoretical， logical and abstract knowledge， and has extensive and profound application background and significance in many practical fields. In order to implement the cultivation objects of comprehensive application-oriented undergraduate colleges， this paper firstly comprehensively analyzes the characteristics of traditional linear algebra course and the challenges faced by teaching. From the perspective of combining theory with practice， a proposal for integrating mathematical modeling ideas into the teaching reform of linear algebra course is specifically expounded to enhance students awareness and ability to solve practical problems using mathematical modeling ideas， and effectively improve students cognitive level and ability to combine knowledge and practice.

Key words： linear algebra; applied university; mathematical modeling; teaching reform