張 科 (郵編:730100)

甘肅省蘭州市榆中縣恩玲中學

駱妃景 (郵編:523000)

廣東省東莞市麻涌中學

“爪形”三角形是指在給定的一個三角形中,連接一個頂點和對邊上的任意點構(gòu)成的圖形.“爪形”三角形問題是近年來高考數(shù)學的熱點問題和高頻考點,在高考中屬于中等難度試題,備受高考命題者的青睞.文章嘗試構(gòu)建“爪形”三角形微專題.從一道經(jīng)典“爪形”三角形問題開展,通過一題多解拓展學生的數(shù)學思維,通過一題多變,促進學生深度學習,讓學生從一道題看到一類題,舉一反三,觸類旁通,深化解決“爪形”三角形策略的思想方法,助力高三復習減負增效.最后給出“三新”背景下高考備考中解三角形教學的幾點反思,以便達到精準備考、高效備考,與各位同仁交流探討.

1 回顧高考 把握趨勢

縱觀近三年高考數(shù)學解三角形問題,大多以“爪形”三角形為載體,主要以方程思想為核心,考查正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式,間接考查三角恒等變換、三角函數(shù)、不等式等相關知識.尤其是2023年高考四套全國卷中解三角形問題共有6道(新高考Ⅰ卷第16、17題,新高考Ⅱ卷第17題、甲卷理科第12、16題、乙卷理科第18題). 可見,“爪形”備受高考命題者的青睞.

表1

2 課前熱身 喚醒認知

解所以在△ABD中,設AD=x,解得x=2.因為D為AD的中點,所以b=2x=4.

評注本題比較簡單,利用正、余弦定理解決由已知元素定量計算其他元素,一般情況下優(yōu)先解決已知三個元素的三角形,在學生最近發(fā)展區(qū)設置容易題以便喚醒學生解三角形知識.

3 深度思考 探究策略

圖1

方法一(基于邊):

設DC=x,BD=2x,AC=y,

在△ABD中,設∠ADB=α,

在△ADC中,設∠ADC=β,即

由α+β=π,所以cosα=-cosβ,即

①

在△ABC中,根據(jù)余弦定理得:BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,

②

評注抓住了三角形的∠ADB與∠ADC互補這一典型特征,通過cos∠ADB=-cos∠ADC分別在兩個不同三角形中運用余弦定理列方程組求解.特別地,若D為BC的中點,即為中線定理AB2+AC2=2(AD2+DC2).

變式訓練1(2021年新高考Ⅰ卷第17題改編).如圖1,記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知b2=ac,點D在邊AC上,BD=b,AD=2DC,求cos∠ABC.

在△ABD中,由余弦定理得

在△CBD中,由余弦定理得

所以b2=ac,所以3c2-11ac+6a2=0,

在△ABC中,由余弦定理得

在△ABC中,由余弦定理有BC=3.

評注《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》明確要求“借助向量的運算,探索三角形邊長與角度的關系,掌握余弦定理、正弦定理.能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.”因此引導學生應用向量解決幾何問題,讓學生掌握平面幾何的向量方法.把所要求解的量轉(zhuǎn)化為基底表示,一般選擇已知夾角或模長的不共線向量作為有效基底.

在△ABC中,由余弦定理得AC=3.

方法三(基于角):觀察圖形中已知三角形和未知三角形中的元素關系,求邊長BC可先求BD,因此目標三角形,△ABD中已知兩邊,需再求一個角方能解決.

設∠BAD=θ,∠DAC=120°-θ,

①

②

在△ABD中,BD2=AB2+AD2,解得BD=2,故BC=3.

評注波利亞說:“為了得到一個方程,我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來,即將一個量算兩次,從而建立相等關系.”這就是“算兩次”原理,又稱富比尼原理.本解法利用兩個三角形中的公共角或者公共邊,根據(jù)兩次正弦定理列方程或兩次余弦定理列方程組,揭示了“算兩次”原理在解三角形試題中的應用.

變式訓練3如圖2,平面凹四邊形ABCD,其中AB=3,BC=5,∠ABC=120°,ADsinA=CDsinC．證明:BD為∠ABC的角平分線．

圖2

①

②

聯(lián)立①②結(jié)合ADsinA=CDsinC,得sin∠ABD=sin∠CBD,即BD為∠ABC的角平分線．

方法四(面積法):

由BD=2DC,即S△ABC=3S△ADC, 設∠DAC=θ,則

所以∠BAD=120°-30°=90°.

在Rt△ABD中,BD2=AB2+AD2=4,

所以BD=2,即BC=3.

方法五(面積法比或面積和):

所以BD=4,即BC=6,

在△ABC中,由余弦定理得,

AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=32,

變式訓練5(2020山東卷改編):如圖1,在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,∠ABC=120°,BD是∠ABC的角平分線,交AC于點D,且BD=1,求4a+c的最小值.

解因為∠ABC=120°,BD是∠ABC的角平分線,所以∠ABD=∠CBD=60°.

由三角形的面積公式可得

化簡得ac=a+c,

方法六(建系法):

圖3

評注充分利用幾何圖形中的垂直關系建立平面直角坐標系,使得盡可能多的點落在坐標軸上,這是建系的原則.建系后,點坐標化,未知點則需要假設,然后將條件和結(jié)論都翻譯成坐標形式,根據(jù)解析幾何知識進行處理即可.

圖4

圖5

(1)求∠BAM的正弦值;

(2)求∠MPN的余弦值．

4 高考鏈接 拓展思維

(2)若b2+c2=8, 求b,c.

答案2．

(3) (2023年高考乙卷理科第18題)在△ABC中,已知 ∠BAC=120°,AB=2,AC=1.

(1)求sin∠ABC;

(2)若D為上一點,且∠BAD=90°, 求△ADC的面積.

(4) (2023年新高考全國Ⅰ第17題)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB,

(1)求sinA;

(2)設AB=5, 求AB邊上的高.

5 反思提升 深度教學

在素養(yǎng)導向下的數(shù)學教學中, 教師應該堅持“三線”——核心價值為金線,能力素養(yǎng)為銀線,情境載體為串聯(lián)線,引導學生從“解題”到“解決問題”, 從“做題”到“素養(yǎng)”的提升, 筆者認為應做到以下三點:

5.1 精選素材 一題多解——立足深度的教

好的教學素材是一堂課成功的關鍵.本文典例是“爪形”三角形中開展“一題多解”將零散的知識、方法串點成線、織成網(wǎng)、鋪成面,幫助學生構(gòu)建知識體系最好的素材,試題的難度中檔偏下,有利于提高學生的課堂參與度,能取得更好的教學效果.然后在學生深刻理解問題的基礎上,從基于邊、基于角、向量、面積、建系的角度,幫助學生構(gòu)建新知地圖和方法鏈接,彰顯數(shù)學思維發(fā)展的流暢美與結(jié)構(gòu)美.

5.2 立足典例 巧創(chuàng)變式——立足深度的學

本節(jié)課立足典例、解法,在進行題型訓練和拓展變式的主體要求下始終不脫離基礎知識的落實和鞏,重視學生在課堂中的再體驗及鞏固,“一題多解”不是教師的表演秀,天花亂墜的地向?qū)W生展示多種解法,也不純粹是學霸們的展現(xiàn)平臺.“一題多解”教學中教師不但要引導學生“怎樣想到的、為什么這么想、遇到哪兒些問題可以這樣想”等,還要讓學生經(jīng)歷再體驗一次解題活動,本課通過精編變式1～6,以轉(zhuǎn)化思想為主線,串聯(lián)孤立問題,縱橫整合形成變式問題鏈,引導學生及時跟進鞏固練習,內(nèi)化課堂解題方法,提高一題多解,深度教學的效益,學生內(nèi)化在教師的指導下再創(chuàng)造解題體驗,學生更容易記住和遷移解題經(jīng)驗,形成一定的解決此類問題的能力,發(fā)展核心素養(yǎng).

5.3 聚焦通法 整合聯(lián)系——立足深度的悟

本節(jié)課從經(jīng)典問題出發(fā),形成模型,確定主問題,變?yōu)樾聠栴},注重數(shù)學的整體框架,讓學生在一輪復習中系統(tǒng)掌握學科基礎知識、基本技能、基本方法,在思考過程中給學生一個基本的邏輯思考框架,從類比、聯(lián)系、特殊化、一般化角度開展數(shù)學研究.解三角形問題的知識方法框架如圖: