佛山市順德區(qū)樂從中學(xué)(528315) 戴海燕

1 真題的解答與反思

1.1 真題呈現(xiàn)

題目(2023 年高考全國Ⅰ卷第11 題)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則().

A.f(0)=0

B.f(1)=0

C.f(x)是偶函數(shù)

D.x=0 為f(x)的極小值點

解令x=y=0,得f(0)=0,故A 正確.令x=y=1,得f(1)=0,故B 正確.令x=y=-1,得f(-1)=0,令y=-1,得f(-x)=f(x),又f(x)定義域為R,故C 正確.對于選項D 的研究可以有以下兩個參考思路.

思路1.不妨設(shè)f(x)=0,顯然符合題設(shè)條件,此時f(x)無極值,D 錯誤.

思路2.設(shè)函數(shù)

當(dāng)x ∈(-1,0)∪(0,1)時,易知f(x)＜0=f(0),所以x=0不是f(x)極小值點,D 錯誤.

1.2 解題反思

對于選項D,從公平性的角度考慮,作為一道多項選擇題,不會出現(xiàn)四個選項都正確的情況,本題中選項A,B,C 已均為正確選項,則D 一定是錯誤選項.對上述思路1 的爭議在于,2019 年人教A 版選擇性必修第二冊沒有明確常數(shù)函數(shù)有無極值點,而根據(jù)2021 年人教數(shù)學(xué)B 類微積分選修課程用書及一些大學(xué)數(shù)學(xué)分析教材對極值點的定義,x=0 既是常數(shù)函數(shù)f(x)=0 的極大值點也是其極小值點[1].

2 函數(shù)模型的構(gòu)造

2.1 運算視角發(fā)現(xiàn)可加性

2.2 導(dǎo)數(shù)定義解釋必然性

3 極值點的研究

3.1 通性通法把握整體

圖1

3.2 數(shù)形結(jié)合窺局部

4 數(shù)學(xué)史背景溯源

4.1 柯西方程

事實上,2023 年新高考1 卷第11 題的命題背景可以追溯到柯西發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,其經(jīng)典結(jié)論如下:

定理如果f(x) : R→R,對任意x,y ∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且滿足下列條件之一: 1.f(x)連續(xù).2.f(x)在一個區(qū)間上單調(diào).3.f(x)在一個區(qū)間上有上界或下界.則存在c=f(1),使得f(x)=cx.

證明此處略,見參考文獻(xiàn)2[2].

我們將上面定理中的方程稱為加性柯西方程,結(jié)合高中階段學(xué)習(xí)的幾類基本初等函數(shù),可得到以下推論.(注釋: 以下推論均至少滿足上述定理中的三個條件的一個).

推論1 如果f: R→R,對任意x,y ∈R,f(x+y)=f(x)·f(y),當(dāng)f(x) 滿足上述條件之一時,則f(x)=0 或f(x)=1 或f(x)=ax.

推論2設(shè)函數(shù)f: R+→R,對任意正實數(shù)x,y,均有f(xy)=f(x)+f(y),當(dāng)f(x)滿足上述條件之一時,有f(x)=0 或存在非零實數(shù)c,使得f(x)=clnx.

證明令g(x)=f(ex),則g(x+y)=f(ex+y)=f(exey)=f(ex)+f(ey)=g(x)+g(y),滿足加性柯西方程,其解函數(shù)為g(x)=g(1)x,記g(1)=c,若c=0,則f(x)=0,若c0,則有f(ex)=cx,令ex=t,從而f(t)=clnt,即f(x)=clnx.

推論3設(shè)函數(shù)f: R+→R,對任意正實數(shù)x,y,均有f(xy)=f(x)·f(y),當(dāng)f(x) 滿足上述條件之一時,有f(x)=0 或存在實數(shù)a,使得f(x)=xa.

4.2 柯西方程應(yīng)用

柯西方程及其推論中的經(jīng)典思想方法和結(jié)論在研究這一類抽象函數(shù)問題中具有獨特的價值,在往年的高考中多次出現(xiàn)以柯西方程為背景的考題.

例1(2008 年高考重慶卷)若定義在R 上的函數(shù)f(x)滿足:?x1,x2∈R,f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,下列說法正確的是().

A.f(x)為奇函數(shù) B.f(x)為偶函數(shù)

C.f(x)+1 為奇函數(shù) D.f(x)+1 為偶函數(shù)

解兩邊同時加1,得f(x1+x2)+1=[f(x1)+1]+[f(x2)+1].設(shè)g(x)=f(x)+1,則g(x1+x2)=g(x1)+g(x2),當(dāng)f(x)為單調(diào)函數(shù)時,g(x)也為單調(diào)函數(shù),滿足加性柯西方程,其解函數(shù)可以為g(x)=g(1)x,其為奇函數(shù),選C.

例2(2008 年高考陜西理10)定義在R 上的函數(shù)f(x)滿足:?x,y ∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,則且f(1)=2,則f(-3)=().

A.2 B.3 C.6 D.9

解由f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy兩邊減(x+y)2得:f(x+y)-(x+y)2=[f(x)-x2]+[f(y)-y2].設(shè)g(x)=f(x)-x2,則有g(shù)(x+y)=g(x)+g(y),由柯西方法得其解函數(shù)可為g(x)=g(1)x,從而f(x)=g(1)x+x2,由f(1)=2 知:g(1)=1,所以f(x)=x+x2,所以f(-3)=6,選C.

5 啟示

從柯西加性方程及其推論可以看出: 其中的抽象關(guān)系式不正是高中階段學(xué)習(xí)過的幾類基本初等函數(shù)的運算法則嗎?有了這種想法,不難揭秘某些高考抽象函數(shù)試題的命題背景,比如:

例3(2022 年新高考ⅠⅠ卷第8 題)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,則=().

A.-3 B.-2 C.0 D.1

分析在和差化積公式中,cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy是一個等號兩邊函數(shù)名稱不變的和差化積公式,其形式與題中抽象函數(shù)的表達(dá)形式比較相似,因此可令f(x)=acosωx,利用題中f(x)的特殊函數(shù)值待定系數(shù)a和ω.因為f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令x=1,y=0可得,2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2,可得a=2.又由f(1)=2 cosω=1,取ω=所以可構(gòu)造f(x)=

類似以上的運算法則及其對應(yīng)的抽象性質(zhì)見下表:

因此,在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從運算視角抽象出對應(yīng)的函數(shù)方程,引導(dǎo)學(xué)生使用模型意識去探究問題,將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,是對高中抽象函數(shù)問題的有效教學(xué)策略之一.