楊勇強(qiáng)，楊萍，張旭樂

（1.陜西科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710021；2.陜西科技大學(xué) 電子信息與人工智能學(xué)院，西安 710021）

隨著納米技術(shù)的發(fā)展，納米板、管、線和薄膜等結(jié)構(gòu)在微納米機(jī)電系統(tǒng)中發(fā)揮著重要的作用[1-5]。其中，納米圓板由于優(yōu)異的力學(xué)和電學(xué)性能，在納米傳感器、納米諧振器、納米發(fā)電機(jī)等方面得到了廣泛的應(yīng)用。二維結(jié)構(gòu)的納米材料與傳統(tǒng)宏觀材料的相比，其強(qiáng)度、硬度及韌性顯著提高，兩者的動(dòng)力學(xué)性能有很大的不同。因此，研究納米圓板的動(dòng)力學(xué)特性有十分重要的工程意義。

關(guān)于納米圓板的動(dòng)力學(xué)性能研究主要集中在表面彈性理論、非局部彈性力學(xué)和應(yīng)變梯度彈性理論等方面[6-10]。其中，趙德敏等[11]考慮到表面殘余應(yīng)力，研究了周邊固支納米圓板的振動(dòng)問題，分析了表面殘余應(yīng)力對(duì)固有頻率和主振型的影響。Assadi 等[12]采用層合板理論，分析了考慮表面殘余應(yīng)力納米圓板的各種模態(tài)固有頻率。Yan[13]采用基爾霍夫板模型對(duì)壓電納米圓板的彎曲及振動(dòng)模型進(jìn)行了研究，該修正模型分析了表面效應(yīng)和非局部彈性效應(yīng)對(duì)壓電納米圓板動(dòng)力學(xué)特性的影響。Liu 等[14]采用Gurtin-Murdoch 連續(xù)介質(zhì)理論，分析了納米薄板和厚板的動(dòng)力學(xué)特性，并以硅鋁納米板為例，分析了殘余應(yīng)力和邊界條件對(duì)其力學(xué)特性的影響。Malekzadeh 等[15]研究了嵌入彈性介質(zhì)的層合納米圓板在初始面內(nèi)徑向應(yīng)力作用下的軸對(duì)稱自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)問題。結(jié)果表明，當(dāng)納米板的半徑小于某一極限值時(shí)，采用非局部彈性理論計(jì)算的固有頻率與經(jīng)典彈性理論計(jì)算的固有頻率有很大的不同。Mahinzare[16]和Jandaghian[17]采用非局部應(yīng)變梯度理論，分析了功能梯度納米圓板的熱振動(dòng)問題。Zarei 等[18]采用里茲法研究了簡支和固支邊界條件下錐形納米圓板的屈曲載荷和固有頻率，結(jié)果表明錐度參數(shù)對(duì)固支納米圓板動(dòng)力學(xué)特性的影響大于簡支納米圓板。

微納米機(jī)電系統(tǒng)中的某些納米圓板零件均為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如旋轉(zhuǎn)納米圓盤電極、振蕩器納米圓形振子等。旋轉(zhuǎn)角速度對(duì)納米圓板動(dòng)力學(xué)特性有一定的影響。但是，現(xiàn)有關(guān)于旋轉(zhuǎn)角速度對(duì)納米圓板振動(dòng)特性影響的研究較少。另外，由于納米制造精度的影響，納米圓板的厚度不均勻性對(duì)動(dòng)力學(xué)特性的影響也值得關(guān)注。基于此，本文考慮到表面殘余應(yīng)力、旋轉(zhuǎn)角速度以及變厚度因素，對(duì)納米圓板的橫向振動(dòng)展開研究。

1 旋轉(zhuǎn)凸凹型納米圓板橫向振動(dòng)方程的建立

圖1 所示為旋轉(zhuǎn)凸凹型納米圓板，半徑為R，角速度為 Ω，密度為 ρ。根據(jù)納米表面理論，圓板上下表面層可視為一層薄膜，中間為固體材料，設(shè)厚度線性變化，其公式為h=，其中m為變厚度系數(shù)，如果m＜0，則為凸型圓板；如果m＞0，則為凹型圓板。

圖1 旋轉(zhuǎn)凸凹型納米圓板Fig.1 Rotating convex and concave circular nanoplate

根據(jù)Young-Laplace 方程，上下表面層和固體層之間存在著壓力差，壓力差p[11]為

式中：w為板的橫向位移； τ為表面殘余應(yīng)力參數(shù)。圓板單位長度的彎矩Mr和扭矩Mθ為：

根據(jù)薄板小撓度理論和哈密頓原理，彈性旋轉(zhuǎn)圓板的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中：Nr和Nθ為單位長度的中面內(nèi)力。

根據(jù)周邊簡支和固支邊界條件，求得周邊簡支和固支圓板的中面應(yīng)力[19-20]為：

將式（1）、式（2）、式（4）和式（5）代入式（3）得

則無量綱凸凹型納米圓板的運(yùn)動(dòng)微分方程為

2 復(fù)特征方程的建立

旋轉(zhuǎn)凸凹型納米圓板的振型方程為4 階微分方程，可采用微分求積分法降階來求解。微分求積分法可將高階微分方程變成以節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為未知數(shù)的一組代數(shù)方程組。旋轉(zhuǎn)凸凹型納米圓板振型方程節(jié)點(diǎn)數(shù)選取N=13，節(jié)點(diǎn)劃分方法為

利用微分求積法離散式（8），得

周邊固支邊界離散形式為：

周邊簡支邊界離散形式為：

圓心處邊界條件離散形式為：

式（10）和邊界條件式（11）～式（13）構(gòu)成復(fù)特征方程，可表示為

式中： [I]為單位矩陣；矩陣[K]包含無量綱角速度c、變厚度系數(shù)m以及無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g。

3 復(fù)特征方程的建立

3.1 數(shù)值方法的有效性驗(yàn)證

當(dāng)無量綱系數(shù)m=0，c=0，g=0時(shí)，式（8）退化為無旋轉(zhuǎn)彈性小撓度薄圓板的橫向軸對(duì)稱自由振動(dòng)問題。計(jì)算簡支和固支邊界條件下的圓板橫向自由振動(dòng)的前2 階固有頻率，與文獻(xiàn)[21]的解相比較見表1。由表1 可知：本文解與已知解相一致，證明了微分求積法的有效性。

表1 彈性圓板的固有頻率與已有解比較Tab.1 Comparison between natural frequency of elastic circular plate and its known solutions

研究表面殘余應(yīng)力對(duì)旋轉(zhuǎn)納米圓板振動(dòng)特性的影響，數(shù)值分析采用的材料相關(guān)參數(shù)為[11,22]：E=177.3GPa，μ=0.27，R=6 μm，h=100 nm，τ0=0～1 N/m。無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g包含納米圓板尺寸參數(shù)，根據(jù)上述參數(shù)計(jì)算，g的取值為2、4 和6。

3.2 周邊固支納米圓板

圖2 為變厚度系數(shù)m取不同值時(shí)，無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g=3，周邊固支凸凹型納米圓板第1 階無量綱復(fù)頻率 ω隨無量綱角速度c變化圖。當(dāng)無量綱角速度c=0時(shí)，第1 階固有頻率隨著m的增大而增大，說明凹型納米圓板的第1 階固有頻率大于凸型納米圓板的第1 階固有頻率。隨著無量綱角速度c的增加，無量綱復(fù)頻率實(shí)部Re(ω)為正值并呈現(xiàn)減小趨勢。當(dāng)c增大到某一定值時(shí)，Re(ω)=0，而虛部Im(ω)分為正負(fù)兩支，表明凸凹型納米圓板發(fā)生第1 階發(fā)散失穩(wěn)現(xiàn)象，對(duì)應(yīng)的無量綱角速度c為納米圓板的臨界發(fā)散角速度。隨著變厚度系數(shù)m取值由-0.2 增大至0.2，周邊固支納米圓板的臨界發(fā)散角速度減小，說明凸型圓板的穩(wěn)定性不如凹型圓板。

圖2 第1 階無量綱復(fù)頻率 ω與無量綱角速度 c的關(guān)系曲線（固支，g=3）Fig.2 Relationship curves for the first-order dimensionless complex frequency ω versus dimensionless angular speed c (clamped edge, g=3)

圖3 為變厚度系數(shù)m= -0.05，無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g=2、4、6，周邊固支變厚度納米圓板第1 階無量綱復(fù)頻率 ω隨無量綱角速度c的變化圖?？梢钥闯觯?dāng)無量綱角速度c增加到某一定值時(shí)，納米圓板發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)現(xiàn)象。隨著無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)增大，穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的第1 階固有頻率增大，臨界發(fā)散角速度也隨之增大。

圖3 第1 階無量綱復(fù)頻率 ω與無量綱角速度 c 的關(guān)系曲線（固支，m = -0.05）Fig.3 Relationship curves for the first-order dimensionless complex frequency ω versus dimensionless angular speed c (clamped edge, m = -0.05)

圖4 為變厚度系數(shù)m= -0.05，無量綱角速度c=60、70、80，周邊固支納米圓板第1 階無量綱復(fù)頻率 ω隨無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g的變化圖?？梢钥吹?，當(dāng)無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g在[0,3.1]（c=60）、[0, 3.9]（c=70）、[0, 4.6]（c=80）區(qū)間時(shí)，實(shí)部Re(ω)=0，而虛部Im(ω)≠0，納米圓板呈現(xiàn)發(fā)散失穩(wěn)。當(dāng)無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g＞3.1（c=60）、g＞3.9（c=70）、g＞4.6（c=80）， 實(shí)部Re(ω)＞0，而虛部Im(ω)=0，納米圓板處于穩(wěn)定狀態(tài)。臨界表面殘余應(yīng)力參數(shù)隨著無量綱角速度的增大而增大。隨著無量綱殘余應(yīng)力參數(shù)g增大，穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的第1 階固有頻率增大。

圖4 第1 階無量綱復(fù)頻率 ω與無量綱表面殘余應(yīng)力 g 的關(guān)系曲線（固支，m = -0.05）Fig.4 Relationship curves for the first-order dimensionless complex frequency ω versus dimensionless surface residual stress g(clamped edge, m = -0.05)

3.3 周邊簡支納米圓板

圖5 和圖6 為變厚度系數(shù)m和無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g取不同值時(shí)，周邊簡支納米圓板第1 階無量綱復(fù)頻率 ω隨無量綱角速度c的變化圖。由圖5和圖6 可知：在其他條件一定時(shí)，隨著無量綱角速度c的增加，無量綱復(fù)頻率實(shí)部Re(ω)一直減小，納米圓板在一定條件下發(fā)生第1 階發(fā)散失穩(wěn)現(xiàn)象。與周邊固支不同的是，周邊簡支情況下的臨界發(fā)散角速度隨著變厚度系數(shù)m和無量綱殘余應(yīng)力參數(shù)g的增大而增大。

圖5 第1 階無量綱復(fù)頻率 ω與無量綱角速度 c 的關(guān)系曲線（簡支，g = 3）Fig.5 Relationship curves for the first-order dimensionless complex frequency ω versus dimensionless angular speed c (simply supported edge, g = 3)

圖6 第1 階無量綱復(fù)頻率 ω與無量綱角速度 c 的關(guān)系曲線（簡支，m = -0.05）Fig.6 Relationship curves for the first-order dimensionless complex frequency ω versus dimensionless angular speed c (simply supported edge, m = -0.05)

圖7 為變厚度系數(shù)m= -0.05，無量綱角速度c=5、10、15，周邊簡支納米圓板第1 階無量綱復(fù)頻率 ω隨無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g的變化圖?？梢钥吹?，當(dāng)無量綱表面殘余應(yīng)力參數(shù)g= 1.0（c=5）、g= 4.3（c=10）、g=8.1（c=15）時(shí)，納米圓板發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)現(xiàn)象。隨著無量綱角速度的增大，臨界表面殘余應(yīng)力參數(shù)增大。

圖7 第1 階無量綱復(fù)頻率 ω與無量綱表面殘余應(yīng)力 g 的關(guān)系曲線（簡支，m = -0.05）Fig.7 Relationship curves for the first-order dimensionless complex frequency ω versus dimensionless surface residual stress g(simply supported edge, m = -0.05)

4 結(jié)論

本文分析了旋轉(zhuǎn)凸凹型納米圓板橫向振動(dòng)問題，討論了旋轉(zhuǎn)角速度、變厚度系數(shù)和表面殘余應(yīng)力參數(shù)對(duì)旋轉(zhuǎn)凸凹型納米圓板動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的影響。

1）在周邊固支和簡支邊界條件下，凸凹型納米圓板發(fā)生第1 階發(fā)散失穩(wěn)現(xiàn)象，周邊固支凹型納米圓板的臨界發(fā)散角速度小于凸型納米圓板的臨界角速度，周邊簡支凹型納米圓板的臨界發(fā)散角速度大于凸型納米圓板的臨界角速度。

2）在其他條件一定的情況下，納米圓板的臨界發(fā)散角速度隨著無量綱表面殘余應(yīng)力系數(shù)的增大而增大；臨界表面殘余應(yīng)力系數(shù)隨著無量綱角速度的增大而增大。

以上分析為旋轉(zhuǎn)納米機(jī)電系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析提供了一定的理論基礎(chǔ)。