張青云

（天津財經(jīng)大學珠江學院 數(shù)據(jù)工程學院，天津 301811）

近年來，空間機器人協(xié)同辦公在分揀物品、精密儀器組裝以及航天領域引起了極大關注，對其機械特性、振動特性及控制策略進行分析已成為空間技術發(fā)展的重要領域之一[1-3]。基于高速化和高精度化發(fā)展需求，空間機器人各構件逐步輕質化，使得空間機器人柔性特性愈發(fā)凸顯，為了進一步了解含柔性變形的空間機器人性能，對其進行動力學分析必不可少[4-6]。目前，空間機器人柔性性能分析主要集中在空間串聯(lián)機械臂和空間雙臂機器人[7-8]。但由于其累計誤差較大，承載力較小等，應用范圍存在一定局限性。因此，采用空間并聯(lián)機器人進行高速高精度協(xié)同辦公的領域越來越多，該系統(tǒng)結合了柔性關節(jié)間隙及摩擦力小和并聯(lián)機構剛度大及結構穩(wěn)定等優(yōu)點，使其在精密測量、醫(yī)療微操作等領域具有巨大作用[9]。雖然空間并聯(lián)機器人提高了系統(tǒng)自由度和運動精度，但在高速操作下連桿柔性引起的重力變形、剛性連桿和柔性連桿之間的耦合變形以及柔性連桿和柔性鉸鏈之間的耦合變形將影響系統(tǒng)穩(wěn)定性和軌跡跟蹤精度[10-11]。部分學者針對機器人中構件細長比大于20 的構件進行柔性分析，結果表明其產生的彈性變形將引起末端執(zhí)行機構產生微小位移，降低軌跡跟蹤精度；還有些學者研究關節(jié)柔性對機器人動力學性能的影響，發(fā)現(xiàn)合理利用其動力學模型，可提高機器人被動順應能力，減少間隙振動，從而提高機器人使用壽命[12-15]。

現(xiàn)階段，在分析空間并聯(lián)機器人動力學特性時，一般先研究其中一條運動支鏈動力學模型，再根據(jù)運動支鏈之間的位姿關系獲得其余運動支鏈動力學方程，將其進行組裝即可構成空間并聯(lián)機器人動力學方程。為了簡化分析，大多數(shù)運動支鏈都是平面串聯(lián)機構，剛度矩陣為常數(shù)矩陣，忽略了柔性變形對剛度矩陣的影響[16-18]。為了分析關節(jié)柔性、連桿柔性及剛柔耦合特性對空間機器人動力學特性的影響，將3-RRRU 空間并聯(lián)機器人作為研究對象，考慮在柔性關節(jié)和柔性空間連桿雙重柔性作用下的機器人動力學特性，并分析不同關節(jié)材料對系統(tǒng)固有頻率的影響、關節(jié)接觸力變化特性及柔性變形對末端執(zhí)行器運動軌跡的影響。

1 物理模型

為實現(xiàn)生產過程中的高速高精度軌跡跟蹤控制，通常使用輕型空間并聯(lián)機器人輔助貨物分揀、精密儀器組裝等任務。鑒于輕型結構在運動過程中將產生彈性變形，因此，通過對存在關節(jié)柔性和連桿柔性的3-RRRU 空間并聯(lián)機器人進行動力學分析，其結構簡圖如圖1 所示。

圖1 3-RRRU 雙重柔性空間機器人Fig.1 3-RRRU dual flexible spatial robot

其中，固定平臺與機架固定，并通過轉動副與3 條運動支鏈相連。運動支鏈之間夾角都為120°，且每條運動支鏈均由3 個連桿（主動桿、中間桿和從動桿）通過轉動副連接而成。其中，主動桿和中間桿在絕對坐標系下繞x軸運動，從動桿繞y軸轉動。末端執(zhí)行器則通過虎克鉸與從動桿進行連接。

1.1 柔性空間連桿模型

由于從動桿為圓形橫截面細長連桿，運動過程中產生的彈性變形不可忽略，因此，采用簡支梁模型進行簡化，再用有限元法將其離散，并根據(jù)浮動坐標系法描述位移場矢量。由于關節(jié)柔性也需進行動力學建模，則在從動桿模型中不再引入額外自由度，避免因自由度重復導致模型錯誤等問題。柔化過程如下：

1）采用SOLODWORKS 軟件建立從動桿3D模型，且存為“x_t”格式。

2）將3D 模型導入商品化仿真軟件，并添加物理屬性，如表1 所示。

3）由于從動桿結構簡單，直接采用商品化仿真軟件中的柔性模塊即可對構件進行柔化處理。

為了突出顯示從動桿在剛性條件和柔性條件下的區(qū)別，其模型對比如圖2 所示。

圖2 柔性空間連桿模型Fig.2 Flexible spatial link model

1.2 柔性關節(jié)模型

從動桿變形將引起末端執(zhí)行器產生微小位移，因此，將從動桿與末端執(zhí)行器之間的虎克鉸視作柔性關節(jié)將更符合實際。為了研究柔性關節(jié)性能，一般將其簡化為具有恒定剛度的線性扭轉彈簧[19]，并對其連接方法進行如下假設：

1）使用柔性關節(jié)作為柔性空間連桿的彈性約束。

2） 將柔性空間連桿和柔性關節(jié)簡化為具有單向彈性約束的兩個柔性構件和一個簡支梁的雙重柔性模型。

3） 柔性關節(jié)與剛性連桿的連接采用剛性約束連接。

由于柔性虎克鉸能夠提供二維轉動，為了簡化分析，將其橫截面設為圓形。其中，外圈1 和外圈2都由兩組“Y”型彈簧片構成，分別沿x、z軸轉動[20]。因此，空間機器人轉動過程中，虎克鉸直線簧片將存在微小彈性轉動，曲線簧片存在微小彎曲轉角，關節(jié)模型如圖3 所示。

圖3 柔性虎克鉸模型Fig.3 Flexible hooke hinge model

1.3 雙重柔性空間機器人模型

將柔性關節(jié)、柔性空間連桿、剛性主動桿和剛性中間桿相連即可獲得系統(tǒng)運動支鏈模型，如圖4a）所示。其中，ai-xaiyaizai為主動桿局部坐標系，與全局坐標系3 個坐標軸方向一致；bi-xaiyaizai和ci-xciycizci分別為中間桿和從動桿坐標系。由于全局坐標系下柔性空間連桿轉動軸線和剛性連桿轉動軸線不一樣，使得運動支鏈為空間機構，增加建模難度，影響系統(tǒng)動力學特性。為顯示柔性變形對空間機器人的影響，其與剛性狀態(tài)下的空間機器人對比圖如圖4b）所示。

圖4 雙重柔性空間機器人模型Fig.4 Dual flexible spatial robot model

2 動力學建模

2.1 柔性關節(jié)動力學建模

根據(jù)圖3 可知，柔性關節(jié)兩端存在微小轉角θjoint-j（j=1, 2），根據(jù)動能定理即可獲得柔性關節(jié)動能和勢能分別為：

式中：θjoint和Jjoint分別為柔性關節(jié)轉角矩陣及轉動慣量矩陣，θjoint=和Jjoint=；Kjoint為柔性關節(jié)扭轉剛度，Kjoint=；ωjoint為柔性關節(jié)角速度，根據(jù)絕對轉角與中間變量z的關系即可求出，具體表達式為

將式（1）代入第一類拉格朗日方程即可獲得柔性關節(jié)動力學方程組為

式中τjoint為柔性關節(jié)輸出力矩。

為了簡化分析，在轉動中心繞軸x進行轉動時，只計入鉸鏈偏轉位移，而忽略剛性區(qū)域變形。因此，柔性虎克鉸可用平面梁的柔度矩陣來分析，其等效剛度[21]為

式中： δ為轉角位移，由直線簧片彎曲轉角θjoint-1和曲線簧片變形轉角θjoint-2構成。

2.2 柔性空間連桿動力學建模

根據(jù)圖4 可得柔性空間連桿坐標系簡圖如圖5所示。

圖5 柔性空間連桿坐標系簡圖Fig.5 Coordinate system of flexible spatial link

在全局坐標系o-xyz下，采用浮動坐標系法即可描述構件上任意一點k的位移場矢量。為了逼近構件變形對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，通過有限元法將構件離散為有限維梁單元， 并根據(jù)多項式法對梁單元形函數(shù)N進行表示，則

式中：梁單元橫向位移Nx和Ny用一次插值函數(shù)描述，軸向位移Nz用三次插值函數(shù)表示。

柔性空間連桿任一點k坐標可表示為

式中：r0為柔性空間連桿坐標系原點在全局坐標下的位移場矢量；T為柔性空間連桿坐標系變換到全局坐標系下的旋轉矩陣；u0和uf為柔性空間連桿變形前和變形后的坐標矢量，uf=Nqf，qf為梁單元廣義坐標。

根據(jù)動能公式可得柔性空間連桿動能[22]為

式中： ρ為柔性空間連桿密度；Jc為轉動慣量；lcipi為長度。

柔性空間連桿勢能[22]為

式中：A為柔性空間連桿橫截面面積；E和G分別為彈性模量和剪切模量；Iyy和Izz分別為橫截面對y軸和z軸的慣性矩函數(shù)；Ip為橫截面對x軸的極慣性矩函數(shù)； ψx為柔性空間連桿繞x軸的彈性轉角函數(shù)。

2.3 剛性連桿動力學建模

根據(jù)運動支鏈坐標系圖4a）可知全局坐標系下主動桿和中間桿的位移矢量，再根據(jù)動能定理可推導出其動能[22]表達式為：

式中：laibi、lbici、lcipi分別為主動桿、從動桿和柔性空間連桿長度；maibi、mbici、mcipi分別為主動桿、從動桿和柔性連桿質量。

同理，主動桿和中間桿的勢能[22]表達式為：

柔性空間連桿的變形運動將引起末端執(zhí)行器位移和轉角產生微小移動。因此，通過協(xié)調矩陣[23]描述末端執(zhí)行器微小位移，具體表達式為：

式中：mp為末端執(zhí)行器質量；p為末端執(zhí)行器在全局坐標系下的位移矢量；Jp為協(xié)調矩陣；wp為末端執(zhí)行器絕對角速度。

2.4 雙重柔性空間機器人動力學建模

將剛性構件、柔性關節(jié)和柔性空間連桿的動能和勢能進行組裝即可獲得運動支鏈動能和勢能，再將其帶入第一類拉格朗日方程，可得

式中：M為支鏈質量矩陣；K為支鏈剛度矩陣；C為系統(tǒng)約束方程；Q為廣義力。

由于運動支鏈之間的夾角為120°，將運動支鏈動力學一般方程通過位姿變換即可求出其余兩條運動支鏈動力學方程。再與末端執(zhí)行器動力學方程進行組裝即可獲得雙重柔性空間機器人動力學方程。

3 仿真校驗

為了驗證仿真模型圖4 正確性，可先對模型約束關系進行驗證，其結果如圖6 所示。

圖6 雙重柔性空間機器人商品化仿真模型
Fig.6 Commercialization simulation model for dual flexible spatial robot

由圖6 可知：模型自由度與理論計算一致，說明模型約束關系正確。通過商品化仿真軟件中GSTIFF 積分器、SI2 積分格式對雙重柔性空間機器人動力學進行仿真。其中，空間機器人主要用于裝配現(xiàn)場，其構件尺寸符合常規(guī)工業(yè)機器人需求，具體幾何參數(shù)如表1 所示。

為驗證動力學運動正確性，基于全局坐標系對雙重柔性空間機器人z方向施加重力場，并將MATLAB 逆動力學數(shù)值運算結果加載到3 個主動構件，使得末端執(zhí)行器在局部坐標系xoy平面做圓形運動，其空間軌跡對比結果如圖7 所示。

圖7 末端執(zhí)行器空間軌跡Fig.7 End effector spatial trajectory

根據(jù)圖7 可得：在柔性關節(jié)和柔性空間連桿變形影響下，末端執(zhí)行器運動軌跡產生振動。為了更直觀看到本文數(shù)值模型和商品化軟件仿真模型的結果，將運動軌跡分別投影到3 個坐標軸，則其偏差結果如表2 所示。

表2 運動軌跡偏差Tab.2 Motion trajectory deviation

根據(jù)表2 結果可知：本文數(shù)值模型和商品化仿真模型運動趨勢基本一致，由于商品化仿真模型及既考慮了關節(jié)柔性，又考慮連桿柔性，其在運動過程中會減少間隙對末端軌跡的影響，因此，其數(shù)值波動范圍小于本文數(shù)值模型。其中，z方向的偏差范圍為0 ～ 0.311 mm，x方向的偏差范圍為0 ～ 2.68 mm，y方向的偏差為0 ～ 3.02 mm。由此可知，商品化仿真模型在一定程度上能反應數(shù)值模型特性，通過商品化仿真模型進行動態(tài)性能分析以及控制策略研究具有可靠性，且便于模型參數(shù)修改，提高分析效率。

3.1 不同關節(jié)材料對系統(tǒng)固有頻率影響

柔性關節(jié)可降低構件之間的摩擦、減少裝配間隙，提高設備運動精度等。不同關節(jié)材料對系統(tǒng)固有頻率影響不同，因此，分別采用鋁合金、鋼、銅作為柔性關節(jié)材料，分析3 個階次模態(tài)固有頻率的變化值如表3 所示。

表3 柔性關節(jié)材料對系統(tǒng)固有頻率的影響Tab.3 The influence of flexible joint materials on the natural frequency of the system

由表3 可知：同一階次下不同材料對應不同固有頻率，其中彈性模量越大、剛性越強，其固有頻率越低。圖8 為3 組固有頻率變形。

圖8 固有頻率對比圖Fig.8 Comparison of natural frequencies

通過分析固有頻率變化，可得到系統(tǒng)危險點，再根據(jù)危險點與激勵源對比即可求出共振點位置，為優(yōu)化系統(tǒng)性能提供分析基礎。綜合表3 和圖9 可知：隨著關節(jié)彈性模量增大，構件剛度增強，固有頻率隨之變大，導致裝配間隙減少，沖擊力變大。其中，剛性關節(jié)引起變形最小，銅次之，鋁合金最大。與此同時，柔性連桿中心點和柔性關節(jié)連接點變形最大，應對其進行優(yōu)化，提供系統(tǒng)振動性能。

圖9 不同彈性模量下關節(jié)接觸力Fig.9 Joint contact force under different elastic moduli

3.2 不同關節(jié)材料接觸力分析

基于柔性從動桿條件下，虎克鉸在剛性和柔性情況下的接觸力隨時間的變化如圖9 所示。

由圖9 可知：3 條運動支鏈從動桿柔性狀態(tài)下的接觸力在開始階段大于剛性狀態(tài)，但隨著時間推移，通過關節(jié)柔性變形，將減少關節(jié)間隙，其接觸力得到部分抵消。因此，處于基本平穩(wěn)狀態(tài)下時，柔性關節(jié)接觸力將小于剛性關節(jié)。通過合理選用關節(jié)材料，利用柔性變形特性，可減少關節(jié)沖擊力，提高系統(tǒng)使用壽命。

4 結論

對含柔性連桿和柔性關節(jié)的雙重柔性空間機器人動力學特性分析可知：

1） 柔性關節(jié)和柔性連桿在運動過程中產生的彈性變形對系統(tǒng)末端執(zhí)行器運動軌跡具有重要影響。因此，建立精確空間機器人動力學模型時，其構件和關節(jié)柔性不可忽略。

2） 系統(tǒng)運行過程中，柔性關節(jié)與剛性連桿、柔性關節(jié)與柔性空間連桿之間的耦合效應十分復雜，考慮高階模態(tài)才能反應耦合效應對系統(tǒng)運動軌跡的影響。

3） 不同材料對柔性變形影響不同，隨著其彈性模量增加，剛度增大，裝配間隙減少，振動沖擊力隨之增加，通過合理選擇材料可改善系統(tǒng)振動性能，提高系統(tǒng)使用壽命。

4） 商品化仿真模型約束關系及動力學運動性能與本文數(shù)值模型相一致，因此，通過商品化仿真模型研究雙重柔性空間機器人動力學特性及控制策略具有科學性。