摘 要：設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)跨學(xué)科綜合與實(shí)踐活動(dòng)有多條路徑，但教師需要循序漸進(jìn)地積累經(jīng)驗(yàn)，不妨從聚焦特定人、物、事的跨學(xué)科觀察開始。以“身邊之物”為起點(diǎn)依次開展物理觀察、數(shù)學(xué)抽象和美術(shù)創(chuàng)作是一種思路：不但操作性強(qiáng)，而且能令學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)無處不在”；而物理和美術(shù)作為所跨的學(xué)科，與數(shù)學(xué)的聯(lián)系可謂“一近一遠(yuǎn)”，近顯差異、遠(yuǎn)見關(guān)聯(lián)，可以為學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供新的視角。按照這一思路，以“一張A4紙”為載體設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)跨學(xué)科綜合與實(shí)踐活動(dòng)，還能提升學(xué)生對(duì)測(cè)量、維度、比例、對(duì)應(yīng)等重要數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；跨學(xué)科；綜合與實(shí)踐；A4紙

強(qiáng)化義務(wù)教育課程的綜合性與實(shí)踐性是進(jìn)一步深化課程改革、推動(dòng)育人方式變革、助力學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)以及實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)教育高質(zhì)量發(fā)展的重要策略。^［1］作為課標(biāo)修訂的主要變化之一，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)綜合與實(shí)踐領(lǐng)域的內(nèi)容和教學(xué)強(qiáng)調(diào)了“跨學(xué)科”，要求教師“以培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問題的能力為目標(biāo)，根據(jù)不同學(xué)段學(xué)生特點(diǎn)……適當(dāng)采用主題式學(xué)習(xí)和項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式，設(shè)計(jì)情境真實(shí)、較為復(fù)雜的問題，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科和跨學(xué)科的知識(shí)與方法解決問題”^［2］，“通過綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法解決真實(shí)問題，著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、實(shí)踐能力、社會(huì)擔(dān)當(dāng)?shù)染C合品質(zhì)”^［3］。

跨學(xué)科學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)在于以開放的態(tài)度泛化邊界，以某一學(xué)科知識(shí)的所見所能去彌補(bǔ)另一學(xué)科知識(shí)的所不見所不能。事實(shí)上，面對(duì)跨學(xué)科學(xué)習(xí)，大部分教師都需要重新適應(yīng)，甚至由于長(zhǎng)期單學(xué)科鉆研，比學(xué)生更難適應(yīng)。數(shù)學(xué)跨學(xué)科綜合與實(shí)踐活動(dòng)的設(shè)計(jì)與實(shí)施，將為教師和學(xué)生從更廣闊的視角重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，創(chuàng)造新的契機(jī)。當(dāng)前，如何基于不同學(xué)科的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，設(shè)計(jì)突出數(shù)學(xué)思維的綜合與實(shí)踐活動(dòng)，是中小學(xué)數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)教育研究者面臨的共同挑戰(zhàn)。^［4］我們認(rèn)為，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)跨學(xué)科綜合與實(shí)踐活動(dòng)有多條路徑，但教師需要循序漸進(jìn)地積累經(jīng)驗(yàn)，不妨從聚焦特定人、物、事的跨學(xué)科觀察開始。本文嘗試給出一種思路及一個(gè)相關(guān)案例，供大家討論。

一、思路：以“身邊之物”為起點(diǎn)依次開展物理觀察、數(shù)學(xué)抽象和美術(shù)創(chuàng)作

具體地說，先選擇“身邊之物”為觀察對(duì)象，鼓勵(lì)學(xué)生從物理視角認(rèn)識(shí)其基本屬性，通過細(xì)致的測(cè)量和必要的運(yùn)算，刻畫其物理屬性，培養(yǎng)自覺的數(shù)量觀念，體會(huì)數(shù)學(xué)作為科學(xué)語言的作用；再以“身邊之物”為現(xiàn)實(shí)原型，引導(dǎo)學(xué)生剝離其物理屬性，形成數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，探索揭示“此物之所以有此形態(tài)功能”背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)和依據(jù)，在經(jīng)歷“橫向數(shù)學(xué)化”（弗賴登塔爾語）的同時(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和物理學(xué)習(xí)的區(qū)別，明確數(shù)學(xué)研究對(duì)象的理想化和抽象性，進(jìn)而感受數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性；最后用“身邊之物”為創(chuàng)作材料，以特定數(shù)學(xué)概念為創(chuàng)作主題，激發(fā)學(xué)生想象并形成美術(shù)作品，體會(huì)數(shù)學(xué)在美術(shù)創(chuàng)作中的重要作用，并從另一個(gè)角度欣賞數(shù)學(xué)之美。該設(shè)計(jì)思路的要領(lǐng)與流程如圖1所示。

（一）為什么以“身邊之物”為思考起點(diǎn)

環(huán)顧四周，各類日常生活物品平凡卻不普通，每一件都是“設(shè)計(jì)品”。它們之所以保留“此形此態(tài)”，是為了滿足特定功能不斷被優(yōu)化的結(jié)果。以桌面為例，為什么常為矩形或圓形，少有三角形或其他形狀？若考慮桌面本身，則圍坐人數(shù)和人均使用面積是兩個(gè)關(guān)鍵的功能指標(biāo)，這里自然涉及不同形狀圖形周長(zhǎng)和面積之間的關(guān)系。若考慮桌子與環(huán)境的互動(dòng)，則可能要求桌面配合空間靈活使用（如靠墻擺放無縫隙）且桌角安全隱患小。當(dāng)桌子與特定的人關(guān)聯(lián)時(shí)，又要根據(jù)個(gè)人喜好需求定制。如某好客的主人想系統(tǒng)設(shè)計(jì)全屋的桌子，使得各個(gè)桌子平時(shí)分散于不同房間使用，必要時(shí)拼合為一，那么，設(shè)計(jì)兩張全等的直角三角形桌子平時(shí)分置于房間墻角，是不錯(cuò)的靈感。總之，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界時(shí)，不妨從“身邊之物”開始。這樣不但操作性強(qiáng)，而且重新認(rèn)識(shí)“老朋友”的驚喜更能令學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)無處不在”。

（二）為什么選物理和美術(shù)為所跨學(xué)科

明晰學(xué)科的研究對(duì)象從哪里來，進(jìn)而欣賞學(xué)科的研究方法，是學(xué)科教學(xué)希望帶給學(xué)生的認(rèn)識(shí)和思考。數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，是人們認(rèn)識(shí)、描述和解釋現(xiàn)實(shí)世界的重要方式。但學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，鮮有機(jī)會(huì)深刻體會(huì)數(shù)學(xué)研究的“數(shù)”和“形”是人類想象的成果，在現(xiàn)實(shí)世界中并不存在。數(shù)學(xué)家保羅·洛克哈特曾說，他“永遠(yuǎn)無法把圓拿在手上，卻可以將其懸于腦中”^［5］。想要理解這句話以及作者言說時(shí)的欣喜和驕傲，學(xué)生可能要經(jīng)歷一個(gè)完整細(xì)慢的“識(shí)物并抽象”的過程。

物理學(xué)是研究物質(zhì)基本結(jié)構(gòu)、相互作用和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一門基礎(chǔ)學(xué)科。學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生首先要能認(rèn)識(shí)物體形狀、薄厚、輕重、顏色等外部特征，學(xué)會(huì)通過簡(jiǎn)單儀器測(cè)量并定量描述物體的長(zhǎng)度、質(zhì)量、體積、密度等性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探討“結(jié)構(gòu)與功能”等跨學(xué)科概念。其中，測(cè)量是重要的物理活動(dòng)，亦是重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，貫穿基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)和物理學(xué)習(xí)。^［6］在測(cè)量“識(shí)物”的過程中，學(xué)生能感受數(shù)學(xué)作為科學(xué)語言描述的精確性，同時(shí)發(fā)現(xiàn)工具對(duì)測(cè)量的限制，以及測(cè)量結(jié)果總是一種近似的事實(shí)。這些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)將促進(jìn)學(xué)生思考現(xiàn)實(shí)物品和理想模型的區(qū)別。事實(shí)上，越是細(xì)致探究物體的物理屬性，越能發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜多變，越能感悟數(shù)學(xué)世界的純粹精準(zhǔn)。

相較于物理學(xué)與數(shù)學(xué)的親密，美術(shù)似乎離數(shù)學(xué)較遠(yuǎn)。具體到基礎(chǔ)教育，如何提升美術(shù)（藝術(shù)）特長(zhǎng)生的數(shù)學(xué)成績(jī)已受到廣泛關(guān)注，而理科生美術(shù)經(jīng)驗(yàn)缺乏似乎并不是問題。美術(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生根據(jù)自己的想象和構(gòu)思，用紙、泥等材料，繪、折、疊、組合等方法，對(duì)稱、重復(fù)、對(duì)比、比例、變化、統(tǒng)一等形式原理，創(chuàng)作出平面和立體造型的作品。這是培養(yǎng)想象力和創(chuàng)新思維的重要途徑。由此也能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法在美術(shù)創(chuàng)作中的重要運(yùn)用。比如，比例、透視等是畫家寫實(shí)創(chuàng)作的工具，密鋪、無限等是藝術(shù)表達(dá)的主題。已有研究證明，在數(shù)學(xué)和美術(shù)整合的課程中學(xué)習(xí)，能促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)詞匯溝通表達(dá)，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極情感，體會(huì)數(shù)學(xué)之美。^［7］

綜上，數(shù)學(xué)跨學(xué)科綜合與實(shí)踐活動(dòng)設(shè)計(jì)可以選擇物理和美術(shù)作為所跨的學(xué)科，因?yàn)樗鼈兣c數(shù)學(xué)的聯(lián)系可謂“一近一遠(yuǎn)”，于近處顯差異，于遠(yuǎn)處建關(guān)聯(lián)，可以為學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供新的視角。

二、案例：一張A4紙的故事

A4紙是典型的“身邊之物”，對(duì)學(xué)生而言熟悉易得。作為特定規(guī)格的紙張（連同ISO 216定義的另外的B、C兩組紙張），其定各、定量都有可挖掘的數(shù)學(xué)信息。事實(shí)上，中小學(xué)數(shù)學(xué)教材和試題中常見矩形紙張的身影。例如第一學(xué)段的看紙張厚度估計(jì)張數(shù)、測(cè)量折痕長(zhǎng)度，第二學(xué)段的折紙平均分、找對(duì)稱軸，第三學(xué)段的了解立體圖形展開圖并計(jì)算表面積，第四學(xué)段的制作無蓋紙盒，等等。上述問題情境雖未明確說明紙張尺寸，但在學(xué)生腦中多與A4紙的形象重合。在數(shù)學(xué)課上，學(xué)生操作或想象時(shí)，可能并不區(qū)分A4紙是現(xiàn)實(shí)世界中的三維物體，還是數(shù)學(xué)世界中的理想矩形。類似地，在美術(shù)課上，學(xué)生或在紙上畫出立體效果，或用紙折疊出立體造型，但對(duì)其中所涉及的維度轉(zhuǎn)化可能并不注意。因此，以“一張A4紙”為載體，經(jīng)由“物理觀察—數(shù)學(xué)抽象—美術(shù)創(chuàng)作”，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)跨學(xué)科綜合與實(shí)踐活動(dòng)，不但能從不同學(xué)科視角引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的“某物”，讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)語言刻畫的精確優(yōu)勢(shì)、得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的抽象過程、數(shù)學(xué)與美的豐富關(guān)聯(lián)，還能提升學(xué)生對(duì)測(cè)量、維度、比例、對(duì)應(yīng)等重要數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)。根據(jù)這一思路設(shè)計(jì)的“一張A4張的故事”活動(dòng)的要點(diǎn)與階段如下頁(yè)圖2所示。

（一）對(duì)“一張A4紙”的物理觀察

第一階段，以“一張A4紙”為觀察對(duì)象。教師準(zhǔn)備附近文具店中學(xué)生常見的各類紙張，讓學(xué)生在對(duì)比過程中得到形狀、大小、顏色、重量、材質(zhì)等屬性，再想辦法測(cè)量不同屬性并列表描述。同時(shí)，教師將各類紙張及其包裝封面（含規(guī)格信息）提供給學(xué)生參考。在測(cè)量的過程中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：一張A4紙（如70g/m²）盡管很薄，但仍然是有厚度的，推而廣之，現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)物都是三維的存在；所謂的“長(zhǎng)”“寬”“厚”本質(zhì)上都是一維線段的長(zhǎng)度，面積、體積和密度則可以看作相關(guān)屬性數(shù)值運(yùn)算的結(jié)果。此外，某些物理屬性（如紙張耐折度）的測(cè)定要轉(zhuǎn)化為特定行為（如在恒定力條件下往復(fù)折疊直至斷裂）的次數(shù)，仍然用數(shù)來刻畫。事實(shí)上，對(duì)具體物品的認(rèn)識(shí)要關(guān)注其各種物理屬性，對(duì)不同屬性的描述和比較最終也體現(xiàn)為數(shù)（或其運(yùn)算結(jié)果）與其大小關(guān)系；屬性測(cè)量（測(cè)定）受工具的限制，結(jié)果都是在可接受范圍內(nèi)的近似估計(jì)。

（二）對(duì)“一張A4紙”的數(shù)學(xué)研究

第二階段，以“一張A4紙”為現(xiàn)實(shí)原型。在學(xué)生充分感受現(xiàn)實(shí)世界中一張A4紙的復(fù)雜后，教師引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中想象數(shù)學(xué)世界中的矩形：顏色、材質(zhì)等屬性被剝離，厚度也不存在，唯有平面內(nèi)的圖形形狀和大小。然而，以A4紙為原型抽象得到的這個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象，為什么選擇為矩形？那么多矩形，又為何選擇長(zhǎng)為297mm、寬為210mm的？再回到A4紙的命名，為何是“A”不是“B”，有“C”嗎？為何是“4”不是“1”，有“-1”嗎？原來，為了滿足在復(fù)印過程中放縮不變形這一良好功能，系列紙張的長(zhǎng)寬比須為2；而“4”不僅表示以A0紙為起點(diǎn)對(duì)折的次數(shù)，也說明2⁰張A0紙對(duì)應(yīng)2⁴張A4紙。在不斷關(guān)聯(lián)現(xiàn)實(shí)原型和數(shù)學(xué)對(duì)象，討論其功能與結(jié)構(gòu)（這里特指形狀和大?。┑倪^程中，“此物之所以此名、此形、此量”背后的數(shù)學(xué)道理也愈加明晰。最后，桌子上的這張A4紙對(duì)折不了幾次，而腦中那張“A4紙”就能自由操作，將其對(duì)折42次輕輕松松，但真能抵達(dá)月球嗎？又將展開一系列有趣的討論。

（三）對(duì)“一張A4紙”的美術(shù)創(chuàng)作

第三階段，以“一張A4紙”為創(chuàng)作材料。再次回到現(xiàn)實(shí)生活，聚焦一張普通的A4紙，教師讓學(xué)生回憶用它做過什么，想象用它還能做什么，能否創(chuàng)作出“一張A4紙的故事”。事實(shí)上，A4紙是探索并理解維度概念，溝通一維、二維、三維空間，區(qū)別現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)世界的絕佳素材。紙的邊緣（長(zhǎng)、寬、厚）、折痕，以及在紙上所畫的直線段都可看作一維長(zhǎng)度。學(xué)生在紙上繪畫，一方面，可以通過透視關(guān)系展現(xiàn)三維空間效果；另一方面，隨著筆觸壓痕或顏料堆疊，又在另一個(gè)觀察尺度下形成平面上的溝壑萬千或?qū)訋n疊嶂。此外，不經(jīng)意間對(duì)紙的卷曲、折疊或撕扯，又實(shí)現(xiàn)了維度的升級(jí)。如何以“維度”為主題講出“一張A4紙的故事”，學(xué)生可以有眾多的選擇。在創(chuàng)意過程中，數(shù)學(xué)和美術(shù)之美、實(shí)踐和想象之趣會(huì)在不同的時(shí)刻碰撞激發(fā)。

此外，對(duì)于“一張A4紙”，如果進(jìn)一步探索，教師還可以圍繞折紙活動(dòng)設(shè)計(jì)STEAM背景的任務(wù)。^［8］當(dāng)然，除了“一張A4紙”，還可以探究“一根繩”“一個(gè)包裝盒”“一塊蛋糕”的故事。隨著學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，數(shù)學(xué)跨學(xué)科綜合與實(shí)踐活動(dòng)的設(shè)計(jì)也可以從研究靜態(tài)的單個(gè)物體轉(zhuǎn)向由多個(gè)物體或部分組成的系統(tǒng)及其變化。再進(jìn)一步，除了“物”，還可以圍繞“人”“事”“景”設(shè)計(jì)活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光、思維和語言來觀察、思考和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育課程方案（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：前言2.

［2］［3］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：16，87.

［4］郭衎，曹一鳴.綜合與實(shí)踐：從主題活動(dòng)到項(xiàng)目學(xué)習(xí)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2022（5）：9-13.

［5］P.Lockhart.Measurement［M］.Cambridge，MA：Harvard University Press，2012：1.

［6］詹善生，湯金波.“長(zhǎng)度的測(cè)量”：從生活到應(yīng)用——物理跨學(xué)科實(shí)踐探索一例［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2023（3）：84-89.

［7］M.Kus，E.Cakiroglu.Mathematics in the informal setting of an art studio：students’ visuospatial thinking processes in a studio thinking - based environment［J］.Educational Studies in Mathematics，2022（3）：545-571.

［8］唐依婷，袁智強(qiáng)，戴颯英.開展跨學(xué)科STEM教學(xué)，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心——《翻轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)》教學(xué)及啟示［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2022（5）：74-81.