梁亮平 西藏林芝市墨脫縣中學(xué) 吳誠 西藏林芝市八一中學(xué)

數(shù)學(xué)符號語言的簡潔性、精確性可有效簡化思考及推理過程，快速地理解和表達問題本質(zhì)，并使得數(shù)學(xué)公式和定理更容易被記憶、識別和回憶。但因目前西藏中學(xué)師生對數(shù)學(xué)符號語言的重視度不夠，致使很多學(xué)生無法準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)問題，影響了學(xué)生解題能力的培養(yǎng)和發(fā)展。通過加強數(shù)學(xué)符號語言教學(xué)，提升學(xué)生的解題能力，值得每位數(shù)學(xué)教師探究。

一、西藏中學(xué)數(shù)學(xué)符號語言教學(xué)存在的主要問題

通過對西藏7 個地市13 所不同學(xué)校實施數(shù)學(xué)符號語言的意識問卷調(diào)查（含數(shù)學(xué)符號語言學(xué)與教的態(tài)度問卷及數(shù)學(xué)符號語言水平測試問卷，數(shù)學(xué)符號問卷分為初中部分與高中部分）、課堂觀察、訪談等，發(fā)現(xiàn)目前西藏中學(xué)在數(shù)學(xué)符號語言教學(xué)中存在如下較為突出的問題：

（一）學(xué)生缺乏對數(shù)學(xué)符號語言的建構(gòu)體驗

在與教師、學(xué)生進行溝通時發(fā)現(xiàn)，很多教師自認(rèn)為用符號語言表達數(shù)學(xué)是很自然的事，不重視引導(dǎo)學(xué)生體驗用數(shù)學(xué)符號表達數(shù)量關(guān)系這一過程，導(dǎo)致學(xué)生對為什么要這樣表述十分不解，進而在解題中也無法判斷應(yīng)用什么樣的數(shù)學(xué)符號語言來進行題目分析與解答。

（二）學(xué)生對數(shù)學(xué)符號語言理解層次較低

在課堂觀察中發(fā)現(xiàn)，43.2%的學(xué)生處于數(shù)學(xué)符號語言的工具性理解階段，不能達到關(guān)系性理解階段；大部分學(xué)生因處在工具性理解的低層，導(dǎo)致容易錯誤地聯(lián)系知識的“單元結(jié)構(gòu)”而無視運算規(guī)則及順序。例如對2x,x2,x2,log2x這幾式子中“2”所表達的含義，在符號語言的測試問卷中出現(xiàn)的錯誤率極高。

（三）學(xué)生不能正確地進行文字語言、數(shù)學(xué)語言、圖形語言之間的轉(zhuǎn)換

數(shù)學(xué)來源于實際生活，學(xué)生需要將描述生活情景的文字語言轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)思維將其抽象為代數(shù)式、方程、函數(shù)等代數(shù)的形式；空間問題則轉(zhuǎn)化為由基礎(chǔ)元素構(gòu)成的幾何問題。由于學(xué)生缺乏對數(shù)學(xué)符號意義的理解，缺少對數(shù)學(xué)符號與相應(yīng)應(yīng)用情境的匹配經(jīng)歷，較少在主觀上進行數(shù)學(xué)符號含義的建構(gòu)，不能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)符號隱含的意義，因而大部分學(xué)生不能正確地完成文字語言、數(shù)學(xué)語言、圖形語言之間的轉(zhuǎn)換，導(dǎo)致無法有效分析問題。

二、原因分析及其對學(xué)生解題結(jié)果的影響

（一）忽略了數(shù)學(xué)符號語言模型的建構(gòu)

1.不重視從實際生活到數(shù)學(xué)的抽象

數(shù)學(xué)來源于生活，是對實際生活問題的數(shù)學(xué)抽象。教材基本都按此邏輯進行內(nèi)容編寫，但很多教師卻認(rèn)為這一過程對學(xué)生作用不大，或認(rèn)為學(xué)生理解能力低，無法理解而選擇放棄或一帶而過，這恰好就是放棄了對學(xué)生符號意識的培養(yǎng)，直接導(dǎo)致很多學(xué)生無法有效將實際情景與數(shù)學(xué)模型進行正確匹配或快速將實際情景轉(zhuǎn)換成符號語言，以至學(xué)生失去解題方向，最終連一個最簡單的因果關(guān)系也不能有效書寫表達。例如：初中代數(shù)部分從正數(shù)與負(fù)數(shù)的認(rèn)識開始，而正數(shù)與負(fù)數(shù)來源于實際生活，是對生活中相反意義的量的符號表述。在隨堂聽課的過程中，發(fā)現(xiàn)教師對相反意義的量與正負(fù)號的匹配教學(xué)不夠重視，沒有讓學(xué)生進行相反意義量的舉例抽象，然后再回歸數(shù)學(xué)表達，導(dǎo)致學(xué)生未能從根本上實現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)，未能了解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

2.忽略數(shù)學(xué)語言表達教學(xué)的循序漸進原則

現(xiàn)行人教版數(shù)學(xué)教材按螺旋上升的方式編排知識內(nèi)容，對于數(shù)學(xué)符號語言的發(fā)展也是遵循從單一到綜合的模式。教師在教學(xué)過程中對這個“體系”的忽略，使學(xué)生不能體驗到數(shù)學(xué)符號的發(fā)展與整合，不能厘清數(shù)學(xué)符號之間的聯(lián)系，極易造成學(xué)生數(shù)學(xué)符號語言混亂。這也是學(xué)生常出現(xiàn)“知道怎么說，不知如何表達”現(xiàn)象的原因之一。如在學(xué)習(xí)“數(shù)軸”時，必須清楚告訴學(xué)生：一個點是用一個大寫字母表達，而其表示的數(shù)則用一個小寫字母表示。兩個不同的數(shù)不會重合，存在“差距”，這便是兩點間的距離，即兩點之間構(gòu)成線段的長度；從“形”上則表示為形如“AB”或“BA”，其結(jié)果則是一個“數(shù)”。這樣在學(xué)習(xí)第四章“線段的等分點”內(nèi)容時，學(xué)生才能正確理解圖形語言以及數(shù)學(xué)語言，如圖1所示。

圖1 線段中點、三等分點、四等分點表示方法

3.漠視學(xué)生在數(shù)學(xué)符號語言學(xué)習(xí)上存在的畏難心理

學(xué)生對數(shù)學(xué)符號意義的理解是有效記憶數(shù)學(xué)符號的基礎(chǔ)，無意義的記憶讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)枯燥，且記憶相對較為困難。漠視學(xué)生在數(shù)學(xué)符號語言上的學(xué)習(xí)困難，不給或少給學(xué)生自我構(gòu)建的機會，讓學(xué)生漸漸放棄自我構(gòu)建，形成惡性循環(huán)。導(dǎo)致學(xué)生在面對數(shù)學(xué)題時根本無法理解題意，或無法表達，導(dǎo)致放棄解答。

（二）沒有進行數(shù)學(xué)符號在不同情境下的不同含義對比與歸納

數(shù)學(xué)符號在不同的數(shù)學(xué)情景中會有不同的含義，在不同的學(xué)科中既相通又有異，如果不進行有效對比與歸納，學(xué)生就不能在不同情境下正確反饋相同符號的含義，導(dǎo)致理解混亂而對解題過程理解困難。如“+”既可以表示兩個數(shù)的和（運算符號），也可以表示一個數(shù)的性質(zhì)，在“計算”中兩種含義都可以，但同一道題目中需要統(tǒng)一。“（）”可以表示一個整體的概念，也可以為優(yōu)先的運算。

（三）不重視學(xué)生對“單元結(jié)構(gòu)”進行自主建構(gòu)

在中學(xué)階段，學(xué)生需要從用不同的數(shù)字表示數(shù)量關(guān)系過渡到用字母表示數(shù)量關(guān)系的“單元結(jié)構(gòu)”認(rèn)知階段。若不重視“單元結(jié)構(gòu)”的認(rèn)知建構(gòu)，學(xué)生將不能準(zhǔn)確理解、掌握其含義，就不能正確地進行轉(zhuǎn)換、運算、模型構(gòu)建等數(shù)學(xué)問題的解決。

（四）教師自身對數(shù)學(xué)符號語言的了解欠全面

在具體的教學(xué)過程中，不少教師非常重視學(xué)生對知識的獲得感，重點關(guān)注學(xué)生是否收獲了必要的數(shù)學(xué)結(jié)論及對結(jié)論的運用；對知識的產(chǎn)生過程缺乏重視。因為對相關(guān)的數(shù)學(xué)符號來龍去脈沒有做全面了解，教師對相關(guān)的數(shù)學(xué)符號語言也就沒辦法做深入介紹與理解，對數(shù)學(xué)符號的教學(xué)僅僅停留在淺表性的認(rèn)識教學(xué)，未能對數(shù)學(xué)符號語言特征進行深入的分析，更無法將數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生的歷史進行滲透。這導(dǎo)致學(xué)生孤立地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號，新的符號語言未能與前面學(xué)習(xí)過的符號語言進行關(guān)聯(lián)，無法有效建立數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)系圖。

三、解決存在問題的教學(xué)策略

（一）加強對教材內(nèi)容中符號語言的分析研究

1.注重抽象過程舉例，讓學(xué)生更好地感悟符號的數(shù)學(xué)功能

乘方是在乘法的基礎(chǔ)上將因數(shù)特殊化的結(jié)果。比如10×10×10×10×10×10 這樣的運算，可以簡潔寫成106；106表示6 個10 相乘，同時也表示了這個運算的結(jié)果；將具體的數(shù)字抽象為字母，即an，命名為冪。這個結(jié)構(gòu)中的底數(shù)在后續(xù)的學(xué)習(xí)中會由數(shù)字變?yōu)樽帜?，字母的乘積，后續(xù)還會變?yōu)榇鷶?shù)式。例如：(ab)n，(a+b)2，(a+b)3等。教學(xué)中要給學(xué)生梳理好發(fā)展邏輯，讓符號有意義地發(fā)展，讓學(xué)生更好地感悟符號的數(shù)學(xué)功能。

2.注重符號與文字和圖形的匹配，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的符號意識

在進行幾何內(nèi)容學(xué)習(xí)時，為了體現(xiàn)結(jié)論的一般性，幾何結(jié)論都是以文字語言的方式進行表達；為了增強結(jié)論的幾何直觀，讓學(xué)生能通過數(shù)學(xué)符號語言表達相關(guān)結(jié)論，教師應(yīng)結(jié)合結(jié)論產(chǎn)生的具體基本幾何圖形，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)符號語言將命題進行表述，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的符號意識。例如教師在談到三角形ABC時，要在頭腦中反映出ΔABC 的幾何圖形，也可畫出圖形，且知道用數(shù)學(xué)符號語言如何表示。又如在計算(3x+2)(3x-2)時，要與符號化的平方差公式(a+b)(a-b)進行對比匹配，3x對應(yīng)公式中的a，2對應(yīng)公式中的b；輔以板書展示，讓學(xué)生能找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系；尤其是在一些需要進行化歸的復(fù)雜運算，有效的匹配是正確運算的基礎(chǔ)。

3.注重教材中數(shù)學(xué)符號語言的呈現(xiàn)邏輯，讓學(xué)生感覺有規(guī)律可循

人教版初中數(shù)學(xué)教材將數(shù)學(xué)知識劃為幾個模塊，每個模塊都是小學(xué)階段知識的延伸，教師要明白教材中教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)的邏輯順序，即學(xué)習(xí)目標(biāo)中研究對象的呈現(xiàn)邏輯順序。同時也要使讓學(xué)生清楚學(xué)習(xí)順序，這樣才能讓數(shù)學(xué)符號語言也按順序發(fā)展。例如：人教版八年級下冊的“一次函數(shù)”內(nèi)容，教材從生活開始引導(dǎo)對函數(shù)關(guān)系式的廣泛認(rèn)識，歸納呈現(xiàn)函數(shù)的定義及表達方式，之后特殊化認(rèn)識最簡單結(jié)構(gòu)的正比例函數(shù)y=kx（k 為常數(shù)且k ≠0）；再增加簡單加法運算而得一次函數(shù)y=kx+b（k 為常數(shù)且k ≠0）。這種通過運算變化呈現(xiàn)知識邏輯的方式，在教學(xué)中務(wù)必步步向?qū)W生揭示，方能使學(xué)生清楚感悟到數(shù)學(xué)符號語言的變化邏輯。再如在學(xué)習(xí)樹狀圖法求等可能隨機事件概率時，教材先有樹狀圖，再詳細列舉每個等可能事件，最后才得出某一事件的概率。教學(xué)中只有按此順序進行教學(xué)，學(xué)生才能真正懂得數(shù)學(xué)符號語言間的轉(zhuǎn)換，落實培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生解決問題的能力任務(wù)。

4.重視讓學(xué)生充分感悟模型觀念

要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)符號的模型以及數(shù)學(xué)符號的隱含知識點。例如，在見到“分式的值為0”時，必須聯(lián)想到“分子等于0且分母不等于0”這樣一個“分式的值為0”的問題解決數(shù)學(xué)模型，然后再將具體分式分子分母與相關(guān)數(shù)學(xué)表達式進行匹配解決問題。在根據(jù)題目給定的已知條件，運用性質(zhì)定理進行推理，成功解決問題后，特別要讓學(xué)生明確利用來解決問題的模型建立需要的“橋”，明確解題關(guān)鍵。

例如：2021 年西藏自治區(qū)初中學(xué)業(yè)水平考試第8題：如圖（2），ΔBCD 內(nèi)接于⊙O，∠D=70°，OA□BC交⊙O于A點，連接AC，則∠OAC的度數(shù)為（ ）

圖（2）

A、40° B、55° C、70° D、110°

這道題目中的“橋”為圓心角，通過圓心角∠AOC將已知圓周角∠D 及所求的∠OAC 建立聯(lián)系。問題解決后，需要讓學(xué)生總結(jié)解決問題的關(guān)鍵點：同弧（弦）所對的圓周角與圓心角的關(guān)系最為密切，在解決同類問題時則需要提醒自己思考“橋”是什么，必要時進行合理構(gòu)造。

最后還要關(guān)注相關(guān)數(shù)學(xué)模型的螺旋發(fā)展及處理方法。如七年級下冊第101頁習(xí)題8.3復(fù)習(xí)鞏固2題：A地至B地的航線長9750km，一架飛機從A地順風(fēng)飛往B地需12.5h，它逆風(fēng)飛行同樣的航線需要13h。

在解題的過程中可以讓學(xué)生先分析問題類型，學(xué)生通過自己在迎風(fēng)跑步和順風(fēng)跑步時的速度以及無風(fēng)跑步速度進行類比確定相關(guān)速度，再結(jié)合基本數(shù)量關(guān)系“路程=速度×?xí)r間”列出方程組：

在解方程組時，可以按照常規(guī)的解法步驟進行解方程進行板書；解完之后問學(xué)生，有沒有什么更為簡潔的解法？利用等式的性質(zhì)將二元一次方程組的中的第一個方程的兩邊同時除以12.5，第二個方程的兩邊同時除以13，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為簡潔方程組：通過教師對這種由繁到簡模型轉(zhuǎn)換的明確，學(xué)生就會關(guān)注：對于系數(shù)復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先思考是否可以先化簡，從而提升運算準(zhǔn)確性。

（二）要全面了解數(shù)學(xué)符號的歷史經(jīng)緯

除了教師要自主去查找數(shù)學(xué)符號相關(guān)的歷史背景，同時也應(yīng)要求學(xué)生自己去了解；通過數(shù)學(xué)閱讀，加深數(shù)學(xué)符號的建構(gòu)印象，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)故事中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)符號，提升學(xué)生在數(shù)學(xué)情境和生活情境中找關(guān)聯(lián)點的能力。例如，勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，就要讓學(xué)生充分閱讀和理解中西方對于勾股定理的證明和發(fā)現(xiàn)，加深對定理的理解，提升學(xué)生數(shù)學(xué)文化自信。再如：在分式學(xué)習(xí)時，與學(xué)生分享分式發(fā)展史：分式最早出現(xiàn)于古希臘的數(shù)學(xué)中，被稱為“比例”定義，為相同比數(shù)之間的關(guān)系；到了中世紀(jì)，分式進一步發(fā)展，阿爾卡齊使用了分?jǐn)?shù)線進行表示，這樣學(xué)生便可更好理解分?jǐn)?shù)線的意義。

（三）要及時對數(shù)學(xué)符號的含義進行分析歸納

在數(shù)學(xué)符號語言教學(xué)時，要注重隱含含義的發(fā)掘，讓學(xué)生能進行聯(lián)想，找出與之相關(guān)聯(lián)的知識點建立圖示，和已有的知識結(jié)構(gòu)進行思維的關(guān)聯(lián)。如“ ”既是運算符號也是數(shù)量符號：即 4 表示4 的算術(shù)平方根，也表示對4 進行開方運算。再比如“（）”是結(jié)合符號，表示一個整體，也在運算中也表示運算的等級（有括號的情況下先進行括號的運算），同時也在表示點的坐標(biāo)時必須要有的表現(xiàn)形式（2，3）。

還要注重厘清數(shù)學(xué)符號在不同情景中的不同含義，讓學(xué)生清晰知道什么情景匹配什么含義，避免混亂。如x3+5x-6-4x2按照降冪進行排列時，要跟學(xué)生明確是從多項式的角度來進行處理，“+”與“-”均應(yīng)為性質(zhì)符號，而不是運算符號，避免出現(xiàn)排列為x3+4x2-5x-6的情況。

（四）注重引導(dǎo)學(xué)生分析與理解“單元結(jié)構(gòu)”

“單元結(jié)構(gòu)”就是在一定的情境中，用不同的字母表示不同的量，以一定方式組合構(gòu)成這一量的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)。比如：x 與x2表示不同的單元結(jié)構(gòu)。在進行理解時，x 表示的一維的數(shù)量，而x2則表示二維的數(shù)量。再如：合并同類項的課堂設(shè)計中，從正數(shù)、負(fù)數(shù)、過渡到字母時，人教版教材七年級上冊63頁的探究中提到上述運算有什么共同特點時，在這里要體現(xiàn)“單元結(jié)構(gòu)”相同，即字母相同，字母之間使用的運算方式相同。比如ab 與a+b，這里字母都是ab，但是運算的方式不同。又如：在計算(1+x)2=1+2x+x2時，學(xué)生會將其與(1·x)2做類比計算為(1+x)2=1+x2。這時需要關(guān)注學(xué)生對于“+”與“·”意義的理解?？梢試L試讓學(xué)生進行實際問題的舉例，或者也可以將x 換成具體的數(shù)字，讓學(xué)生進行計算，發(fā)現(xiàn)其中的不同，進一步明確這兩個代數(shù)式為什么不能進行類比。

（五）針對性評價學(xué)生的數(shù)學(xué)符號語言

在進行例題教學(xué)或?qū)W生練習(xí)、作業(yè)時，要求并引導(dǎo)學(xué)生將題設(shè)中的條件進行聯(lián)系，再與性質(zhì)、定理進行比較，并用規(guī)范的數(shù)學(xué)符號語言寫出分析得到的新的數(shù)學(xué)結(jié)論。這樣就算學(xué)生沒辦法完全解答好題目，也可以讓更多的學(xué)生寫出部分直接結(jié)論。教師再對學(xué)生解題過程中每一步的數(shù)學(xué)符號語言進行評價，可有效讓學(xué)生體會符號的使用是數(shù)學(xué)表達和數(shù)學(xué)思考的重要形式。

例如解答題目：若一個多邊形內(nèi)角和是一個四邊形的內(nèi)角和的4倍，求這個多邊形的邊數(shù)。

對于學(xué)困生來說，只要他們可以給正確寫出相關(guān)的計算公式：多邊形內(nèi)角和公式(n-2)×180°；四邊形的內(nèi)角和(4-2)×180°，就可以給出A+的評價。

再如解答題目：已知：如圖（3），點B，C，E，F(xiàn) 在一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求證：∠A=∠D

圖（3）

總之，加強數(shù)學(xué)符號語言教學(xué)是提升學(xué)生解題能力的重要途徑。通過理解符號含義、規(guī)范書寫、準(zhǔn)確使用以及適量的強化練習(xí)，學(xué)生才可更好地掌握數(shù)學(xué)符號語言，提高解題能力，為他們未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用打下堅實的基礎(chǔ)。