摘 要：作為“問題（任務(wù)）鏈”的基礎(chǔ)，“境脈”是“情境”與“脈絡(luò)”的合并，即通過整體把握知識的相關(guān)情境，以一定的脈絡(luò)串聯(lián)整個(gè)課堂教學(xué)的情境，從而有效化解傳統(tǒng)教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)的弊端。大概念統(tǒng)攝、關(guān)聯(lián)、遷移的本質(zhì)特征能為境脈的搭建提供有利的線索與依據(jù)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以大概念為認(rèn)知基點(diǎn)把握境脈，以大概念為知識節(jié)點(diǎn)規(guī)劃境脈，最終，以大概念為思維生長點(diǎn)設(shè)計(jì)境脈。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；大概念；情境；境脈；平面向量基本定理

雖然“核心素養(yǎng)是通過情境的實(shí)踐發(fā)展起來的”^［1］觀點(diǎn)已經(jīng)成為共識，但在實(shí)際教學(xué)中，情境的創(chuàng)設(shè)普遍存在形式單一、內(nèi)容碎片化以及為情境而情境等問題。于是，學(xué)術(shù)界提出了“境脈”的概念。顧名思義，就是“情境”與“脈絡(luò)”的合并^［2］，即通過整體把握知識的相關(guān)情境，以一定的脈絡(luò)串聯(lián)整個(gè)課堂教學(xué)的情境，從而有效化解傳統(tǒng)教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)的弊端。因?yàn)榍榫惩ǔＪ菃栴}（任務(wù)）的背景，所以，“境脈”通常是“問題（任務(wù)）鏈”^［3］的基礎(chǔ)。

那么，情境的脈絡(luò)如何搭建？這就離不開大概念的支持。大概念又稱學(xué)科大觀念，是指從學(xué)科內(nèi)容中抽象概括出來的具有廣泛聯(lián)系整合作用并能夠廣泛遷移應(yīng)用的概念或觀點(diǎn)^［4］。它處于學(xué)科的中心位置，對學(xué)科其他內(nèi)容具有統(tǒng)攝力、關(guān)聯(lián)性，集中反映學(xué)科的本質(zhì)，體現(xiàn)學(xué)科的思想方法（也即學(xué)科專家的思維方式），凸顯學(xué)科的價(jià)值，兼具認(rèn)識論、方法論和價(jià)值論三重意義。^［5］大概念統(tǒng)攝、關(guān)聯(lián)、遷移的本質(zhì)特征能為境脈的搭建提供有利的線索與依據(jù)。下面以“平面向量基本定理”為例，談?wù)劰P者對此的看法。

一、境脈的把握：以大概念為認(rèn)知基點(diǎn)

境脈的創(chuàng)設(shè)不是“無本之木、無源之水”，首先需要解決的是知識的本原性問題，即對學(xué)習(xí)內(nèi)容的充分理解和本質(zhì)把握。這就要求教師對學(xué)習(xí)內(nèi)容有全面、深刻（關(guān)聯(lián)性、統(tǒng)攝性）的認(rèn)知。大概念源于學(xué)科中的各種概念、原理以及解釋體系，是知識和技能的抽象與提煉，是思想方法的整合，是核心素養(yǎng)的表征，是學(xué)生在遺忘大部分細(xì)節(jié)后仍然能保留下來的重要理解。^［6］毫不夸張地說，大概念就是學(xué)習(xí)內(nèi)容的高度凝練。因此，以大概念為認(rèn)知基點(diǎn)，有助于教師擴(kuò)大對學(xué)習(xí)內(nèi)容認(rèn)知的視域，提升對學(xué)習(xí)內(nèi)容認(rèn)知的高度。

很多教師對平面向量基本定理缺乏全面而深刻的認(rèn)知。比如，只知道平面中任意的向量都能夠用兩個(gè)不共線的向量來表示，平面向量基本定理為平面向量（乃至平面上的點(diǎn)）的坐標(biāo)表示做了鋪墊。對此，可以大概念為認(rèn)知基點(diǎn)來豐富、深化認(rèn)識。首先，思考“學(xué)什么”的大概念。平面向量基本定理本質(zhì)上就是向量的線性運(yùn)算，是由“向量是一種運(yùn)算”這一大概念衍生出來的。其次，思考“為什么學(xué)”的大概念?！捌矫嬷腥我獾南蛄慷寄軌蛴脙蓚€(gè)不共線的向量來表示”背后體現(xiàn)的是“用有限來表示無限”這一大概念。擴(kuò)大視域來看，“用有限來表示無限”是自然的選擇，比如，紅、黃、藍(lán)三種顏色構(gòu)成所有的色彩，物質(zhì)幾乎都是由原子、分子、離子構(gòu)成的，動(dòng)植物都是由細(xì)胞構(gòu)成的等?！坝糜邢迊肀硎緹o限”也是人類的生活追求，比如，用若干尺碼來表示所有衣服的大小，用若干面值來表示所有貨幣的金額，用7個(gè)音符來表示所有的樂曲，用26個(gè)字母來組成所有的單詞，用不多的筆畫來組成各種漢字?！坝糜邢迊肀硎緹o限”更是數(shù)學(xué)發(fā)展的基本訴求，比如，用10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字來表示所有的數(shù)，用銳角三角函數(shù)來表示任意角三角函數(shù)，用圓心和半徑兩個(gè)要素來表示任意圓等，甚至哥德巴赫猜想、四色定理等著名數(shù)學(xué)難題研究的也是“用有限來表示無限”。感悟這兩個(gè)大概念是“平面向量基本定理”重要的教學(xué)目標(biāo)，或者說育人價(jià)值。因此，應(yīng)該圍繞這兩個(gè)大概念創(chuàng)設(shè)“平面向量基本定理”教學(xué)的境脈。

二、境脈的規(guī)劃：以大概念為知識節(jié)點(diǎn)

數(shù)學(xué)有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)體系，由于這個(gè)體系比較抽象和枯燥，很難讓學(xué)生理解和掌握。這就需要通過創(chuàng)設(shè)境脈，促使學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識建立起實(shí)質(zhì)性的和非人為的聯(lián)系，從而將知識的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為認(rèn)知的發(fā)展（生長）脈絡(luò)。大概念居于學(xué)科中心，具有超越當(dāng)下和自身的持久價(jià)值和遷移價(jià)值。因此，大概念可以作為建立知識之間聯(lián)系的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，通過打破數(shù)學(xué)知識的原有邊界，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的優(yōu)化重組，從而打造出一個(gè)聯(lián)系緊密的教學(xué)境脈。

平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證是教學(xué)的重難點(diǎn)。通常的做法是，創(chuàng)設(shè)“力的分解”物理情境，通過類比聯(lián)想得到平面向量基本定理。但是，這樣做實(shí)際上并不嚴(yán)密。首先，“力的分解”往往指向正交分解，而平面向量基本定理指向的是任意分解；其次，由“力的分解”很難說明平面向量基本定理中參數(shù)λ₁與λ₂的存在性與唯一性。也就是說，單憑“力的分解”這個(gè)情境，很難讓學(xué)生體驗(yàn)到平面向量基本定理發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證的完整過程。因此，教學(xué)中應(yīng)該以“向量是一種運(yùn)算”“用有限來表示無限”這兩個(gè)大概念為節(jié)點(diǎn)，立足平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證，創(chuàng)設(shè)多個(gè)相互關(guān)聯(lián)的情境，形成一個(gè)完整的境脈。在“發(fā)現(xiàn)”環(huán)節(jié)，創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境與數(shù)學(xué)情境，分別讓學(xué)生體會(huì)“用有限表示無限”是自然的選擇、生活的追求與數(shù)學(xué)的訴求，從而認(rèn)識定理的價(jià)值；在“驗(yàn)證”環(huán)節(jié)，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)情境和數(shù)學(xué)運(yùn)算情境，分別讓學(xué)生體會(huì)“向量作為線性運(yùn)算”的幾何意義與運(yùn)算性質(zhì)，從而驗(yàn)證定理的存在性、唯一性、任意性。

三、境脈的設(shè)計(jì)：以大概念為思維生長點(diǎn)

依循境脈中隱含的知識脈絡(luò)，期望學(xué)生可以像學(xué)科專家那樣去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，實(shí)現(xiàn)知識的“再創(chuàng)造”。專家思維的一個(gè)重要特征就是，其調(diào)動(dòng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識是靠大概念組織起來的——這反映的是學(xué)科專家對學(xué)科理解的廣度與深度。因此，以大概念為思維生長點(diǎn)來創(chuàng)設(shè)境脈，可以把學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)環(huán)境、學(xué)習(xí)條件、學(xué)習(xí)者自身狀態(tài)等構(gòu)成境脈的諸多要素有機(jī)地融合在一起，從而讓學(xué)習(xí)者獲得更有意義的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

以“向量是一種運(yùn)算”“用有限來表示無限”這兩個(gè)大概念為思維生長點(diǎn)，可以創(chuàng)設(shè)如下引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證平面向量基本定理的境脈：

情境1：如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB=a，AD=b。

（1）用a、b表示向量AC、BD；

（2）若M是BC邊的中點(diǎn)，用a、b表示向量AM；

（3）若N是CD邊的一個(gè)三等分點(diǎn)，用a、b表示向量AN；

（4）若P是直線CD上的任意一點(diǎn)，能否用a、b表示向量AP？

（5）若P是平面ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，能否用用a、b表示向量AP？

你有什么新的發(fā)現(xiàn)？你認(rèn)為這個(gè)發(fā)現(xiàn)有什么價(jià)值？

情境2：公元前500年左右，希臘出現(xiàn)了一位哲學(xué)家，名叫德謨克利特。他是首個(gè)對自然界萬物的構(gòu)成提出假想的人。他提出任何事物都是由無限不可分割的“原子”構(gòu)成。隨著對微觀世界的了解，發(fā)現(xiàn)原子的世界居然別有洞天！原子可再分：原子由原子核和在其周圍的電子構(gòu)成，原子核由質(zhì)子和中子構(gòu)成，質(zhì)子和中子由夸克構(gòu)成。目前研究發(fā)現(xiàn)，夸克是不可再分的粒子。原來夸克才是躲在原子核里的羞姑娘，夸克和電子才是構(gòu)成物質(zhì)的基本。

“用有限表示無限”是自然界的選擇，你還能舉出其他的例子嗎？

情境3：鞋碼，通常也稱鞋號，是表示鞋大小和肥瘦的一種標(biāo)志。它是一個(gè)地區(qū)、一個(gè)國家腳型特點(diǎn)和腳型規(guī)律的反映。世界各國采用的鞋碼標(biāo)準(zhǔn)并不一致，但一般都包含長、寬兩個(gè)測量量。長是指穿者腳的長度，而且一般都設(shè)置約12個(gè)不同的尺碼來滿足所有正常人的需求，例如表1所示的歐美男鞋鞋碼標(biāo)準(zhǔn)。

“用有限表示無限”也是生活的追求，你還能舉出其他的例子嗎？

情境4：請?jiān)诎准埳?，以直尺和筆為工具，驗(yàn)證“平面中任意一個(gè)向量都能用兩個(gè)不共

線的向量來表示”這一結(jié)論。請?jiān)O(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案，并說明實(shí)驗(yàn)的合理性與科學(xué)性。

情境5：能否利用幾何畫板或GeoGebra來進(jìn)一步驗(yàn)證你的猜想。

情境6：對于a=λ₁e₁+λ₂e₂，如何借助運(yùn)算來確認(rèn)λ₁、λ₂的唯一性？如果改變e₁、e₂的

方向，平面中的任意向量a還能夠用e₁、e₂表示嗎？如何通過運(yùn)算來證明？

情境7：在平行四邊形ABCD中，AB=a，AD=b。

（1）若P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，用a、b表示向量AP；

（2）若P是線段BD外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，用a、b表示向量AP。

你有什么新的發(fā)現(xiàn)？能否利用向量運(yùn)算來驗(yàn)證？

情境1是數(shù)學(xué)情境，改編自人教A版高中數(shù)學(xué)教材中的例題。經(jīng)過之前向量線性運(yùn)算（加法、減法和數(shù)乘）的學(xué)習(xí)，學(xué)生已具備解決第（1）、第（2）問的經(jīng)驗(yàn)。通過從特殊到一般的問題設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、大膽猜想，初步感知、發(fā)現(xiàn)“對于平面中三個(gè)共起點(diǎn)的向量，其中一個(gè)向量能夠用另外兩個(gè)向量來表示”這一結(jié)論，展現(xiàn)學(xué)生對平面向量基本定理最樸素的理解。通過對定理價(jià)值的思考，初步體悟“用有限來表示無限”的數(shù)學(xué)思想。

情境2和情境3分別是科學(xué)情境和生活情境，意在讓學(xué)生體會(huì)“用有限來表示無限”的自然意義和生活價(jià)值，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，深度激發(fā)平面向量基本定理的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。

情境4和情境5是數(shù)學(xué)（實(shí)驗(yàn)）情境，意在通過實(shí)驗(yàn)操作，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到平面向量基本定理的運(yùn)算背景是平行四邊形法則，物理背景是力的分解，并促使學(xué)生將“平面中任意一個(gè)向量都能夠用兩個(gè)不共線的向量來表示”抽象為“a=λ₁e₁+λ₂e₂”，從而將對定理的認(rèn)識從模糊的感性上升到明晰的理性。

情境6和情境7是數(shù)學(xué)（運(yùn)算）情境。前者引導(dǎo)學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)，對平面向量基本定理的存在性、唯一性、任意性進(jìn)行嚴(yán)格證明，展現(xiàn)數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，讓學(xué)生感悟“向量是一種運(yùn)算”這一大概念。后者組織學(xué)生探究平面向量共線定理，經(jīng)歷從特殊到一般再到特殊的專家思維過程，感受平面向量基本定理在研究平面位置關(guān)系中的作用。

實(shí)踐哲學(xué)認(rèn)識論有一個(gè)重要的觀點(diǎn)：當(dāng)認(rèn)識用于指導(dǎo)人們的實(shí)踐時(shí)，需要經(jīng)歷一個(gè)再情境化、再具體化的過程。在這個(gè)過程中，境脈不但貫穿始終，而且實(shí)現(xiàn)了飛躍式發(fā)展。因此，境脈的創(chuàng)設(shè)不是一成不變的，而要在大概念的引領(lǐng)下不斷地“進(jìn)化”，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)的開展奠定基礎(chǔ)。

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