張孝

高中數學教學改革持續(xù)推進，并于最新修訂的課程標準中提出了一系列新的教學要求。為了更好地實施新課程標準中的教學要求，文章以“總體百分位數的估計”這一內容為例進行說明。

一、知識介紹

“總體百分位數的估計”是高中數學統計學中的一項重要知識點，用于估計總體數據的百分位數的取值。百分位數是用來描述一組數據中某個特定百分比處于該值以下的數據的位置。例如，第50百分位數（即中位數）是將數據按大小排序后，處于中間位置的數值。對于總體百分位數的估計，常用的方法為線性插值法。線性插值是指將數據按大小排序后，通過對相鄰兩個數值之間的線性插值來估計指定百分位數的取值。具體來說，線性插值根據指定的百分位數在有序數據中的位置，將其與相鄰兩個數值之間的間隔進行比例劃分，從而得到一個估計值。總體百分位數的估計在實際應用中具有重要意義，可以更準確地了解總體數據的分布情況，進行有效的數據分析和決策。然而，需要注意的是，總體百分位數的估計僅僅是對總體數據的估計，可能存在一定的誤差，因此在實際應用中需要綜合考慮其他因素，如數據的分布特點、樣本大小等，進行合理的解釋和推斷。

二、“教學目標

首先，理解總體百分位數的概念和意義。學生應該明白百分位數是用來描述數據在一定位置上的相對大小，了解其在統計學中的應用，并能夠將其與實際問題相聯系。其次，掌握總體百分位數的估計方法，理解公式：i=n×p%的意義，能夠將其靈活運用于實際問題中，準確地估計總體百分位數的取值。再次，培養(yǎng)學生數據分析和決策的能力。通過解決實際問題和應用案例，學生應該具備分析數據的能力，從中提取有用的信息，并能夠根據百分位數的估計結果進行合理的決策。最后，發(fā)展數學思維和解決問題的能力。學生能夠運用數學知識和方法解決復雜的實際問題，在解決問題的過程中展示出良好的邏輯推理和數學推導能力。

三、教學過程

（一）引入——注重知識的連貫性

在初中的時候學生已經掌握了中位數的概念，運用初中數學中位數的知識引出高中數學中總體百分位數的概念，有利于加強初中與高中知識的聯系。初中數學中位數是數據中的一個特殊值，處于數據集合中間位置的數值。通過學習中位數，學生理解了數據的集中趨勢和分布，知道如何找出一組數據的中間值。在高中數學中，引入總體百分位數的概念是對中位數概念的拓展和深化?？傮w百分位數是用來描述一組數據中某個特定百分比處于該值以下的數據的位置。一般情況下，中位數可以理解為總體百分位數的特殊情況，即總體百分位數為50%。

教師：同學們，我們在初中已經學習了中位數這個概念，你們還記得嗎？

學生：是的，中位數是一組數據排序后處于中間位置的值。

教師：很好，那你們覺得在生活中中位數有哪些應用呢？

學生：可以用中位數來代表一組數據的典型值，如用中位數來描述某個班級學生的考試成績。

教師：非常好。既然說到了班級的考試成績，那么，假如某個班級有100名學生，學生的成績分別為1～100分，50分的學生則是考試成績的中位數，成績?yōu)?0分及以下的學生該如何表示呢？

學生：……

教師：現在我要帶領大家拓展一下，除了中位數，還有一個概念叫做總體百分位數。它其實是中位數的延伸，用來描述一組數據中某個特定百分比處于該值以下的數據的位置。上述60分及其以下的學生，就可以用第60百分位數來表示，即60%的學生成績在這個分數以下;70分及以下的學生則可以用第70百分位數來表示。

通過初中與高中知識的聯系，可以引導學生回顧中位數的知識，還可以降低學生對總體百分位數的理解難度，并為后續(xù)總體百分位數估計的計算奠定基礎。

（二）教學——探究與互動的深度學習模式

高中數學課標強調，數學教學必須以學生為主體，注重學生自學能力的培養(yǎng)，而探究與互動則是培養(yǎng)學生自學習慣的重要方式。探究與互動的教學方式強調學生的自主學習和發(fā)現，培養(yǎng)了學生的探究精神和學習能力。通過自主思考、合作討論和實踐嘗試，學生能夠充分運用數學知識主動解決問題，形居了獨立思考和解決問題的能力。對總體百分位數的計算是本課時的重難點，總體百分位數的計算方法有多種多樣，教材主要講述了i=n×p%的計算方式。通過探究與互動的方式，學生能夠深入理解數學概念與原理。學生通過自己的探索和發(fā)現，能夠全面地理解數學概念背后的思想，提高對數學知識的抽象理解能力。

師：上面用了解學生成績的方式介紹了百分位數的概念，但是在現實中一個班級很少有100名學生，而學生的成績幾乎不會是1～100。我們以本班為例，計算一下本班數學成績的75%分位數，需要哪些條件？有哪些方法呢？

生1：我認為必須了解班級的人數，還要統計班級學生的分數。

生2：我統計了一下我們班級的人數為32名。

生3：我統計了本班所有學生的成績，從低到高如表1所示。

師：很好，在知道了學生人數和學生成績后，如何計算75%分位數呢？它大致處于什么區(qū)間呢？

生：從表1可以發(fā)現，學生成績的中位數為（72+74）÷2=73，而中位數為50%分位數。因此可以推斷75%分位數肯定大于中位數，即75%分位數位于74～98之間。

師：很好，但是這個區(qū)間仍然太大，還應該再縮小一下，誰有辦法再縮小一下范圍？

生：75%分位數恰好處于50%分位數和100%分位數中間，因此，可以將75%分位數當作50%分位數和100%分位數的中位數，即處于84、85、88中間。（84+85+88）÷3≈85.7。

師：很好，上述方法通過兩次分割的方式計算出了75%分位數，但是還有一種直觀的計算方法，一共有32名學生，其75%為：32×75%=24。因此，可以認為75%分位數為第24名學生的成績，即85，有了這個公式，我們就可以計算任意百分位數的值。

（三）作業(yè)——基于實踐調查的作業(yè)設計

新課程標準強調在教學中要強化學生的知識應用能力，因此，在設計總體百分位數作業(yè)時可以通過實踐調查的方式，提高學生的知識應用能力。（1）確定調查主題。先選擇一個與學生所學知識相關的主題或問題，如學校不同教師年齡段的分布、學校中不同班級的學生身高分布等。（2）制訂調查計劃。設計合適的調查方法和樣本，先選擇適當的數據收集方式，如問卷調查、實地測量等。（3）收集數據。組織學生進行實踐調查，收集相關的數據。根據調查計劃，學生可以采用不同的方法去收集數據，如測量身高、統計人口數據等。（4）整理和處理數據。學生需要將采集到的數據進行整理和處理，如整理數據表格、計算數據的均值、中位數等統計量。（5）計算總體百分位數。通過計算總體百分位數幫助學生理解和應用知識。學生可以根據自己收集的數據，計算不同百分位數所對應的數據值，比如50%的身高位于多少厘米以下，75%的教師年齡在多少歲。（6）分析和解釋結果。學生需要對所得到的結果進行分析和解釋，根據計算的總體百分位數，對數據的分布和特征進行說明。學生可以比較不同群體之間的差異，探討可能的原因等。

我班打算選取部分學生加入籃球隊，籃球隊成員必須有身高優(yōu)勢，已知我班男生有28名。籃球隊成員的身高不能低于180 cm，如果打算選取我班男生身高的前25%加入籃球隊，請通過調查和計算的方式，列出我班前25%分位數男生的身高和畫出身高趨勢，請問能否組建籃球隊？

解析：要求每位學生提供自己的身高數據，可以采用以下方式進行數據收集，其數據如表2所示。

1.在班級群或紙質調查表中，要求學生填寫身高并匿名提交。

2.組織學生進行實地調查，讓每個學生互相測量身高，并進行記錄。

3.在班級中設置一個測量身高的站點，每個學生輪流測量并記錄下來。

想要得到前25%學生的身高，即計算75%分位數學生的身高。通過總體百分位數的計算公式，i=n×p%可得，i=28×75%=21，即第21位學生的身高是180 cm，因此可以發(fā)現，前25%學生的身高滿足要求。圖1形象地展示了學生的身高排列曲線，可以明顯發(fā)現第21名學生的身高是180 cm，因此能夠滿足要求。

通過以上步驟的實踐調查作業(yè)設計，學生可以以真實的數據為基礎，運用所學的知識進行實際問題的解決。這樣的作業(yè)可以激發(fā)學生的學習興趣和動力，提高他們的知識應用能力和統計分析能力。

（四）評價——成績、實踐、社交多維評價體系

成績評價：設計與“總體百分位數的估計”相關的問題，如對百分位數的定義和計算方法的理解，以及在給定數據中估計總體百分位數的能力。查看學生在計算總體百分位數時是否正確使用了相應的計算方法、公式。學生的計算準確性和技巧能夠反映其對總體百分位數估計的熟練程度。通過與其他學生的比較以及排名情況展示其對總體百分位數估計的掌握程度。如果學生的成績高于平均水平，說明在總體百分位數估計方面的掌握程度較好。

實踐評價：實踐能力主要考查學生在實踐中對總體百分位數的估計的運用能力。如，設計實際問題或案例來評估學生對總體百分位數的估計的掌握程度，通過模擬真實世界中的數據分布情況，要求學生根據所給數據進行總體百分位數的估計。學生需要運用所學的方法和技巧，結合實際情況進行分析和判斷，并給出合理的估計結果。通過評估學生對實際問題的解決能力，可以更準確地評價其對總體百分位數估計的掌握程度。

社交評價：社交評價是評估學生與他人合作、溝通和交流能力的指標。具體評價可以以小組的方式進行，要求學生設計并實施總體百分位數估計的實驗或調查。學生需要自主選擇適當的數據進行收集，采取合適的方法進行總體百分位數的估計。設計小組合作項目，要求學生在小組中合作完成實踐調查任務，并展示調查結果。評價的依據可以是學生在小組合作中的表現、溝通交流的能力等。這種實踐能力的評估方法可以更好地考查學生在實際情境中應用總體百分位數估計的能力，包括數據收集、數據處理和結果解釋等方面的能力。

通過將成績、實踐和社交評價相結合，可以全面評估學生在“總體百分位數的估計”教學中的表現和能力。這樣的多維評價體系可以激發(fā)學生的積極性和主動性，提高學生的學習效果和綜合素質。教師可以根據評價結果對學生進行個別指導，并幫助學生進一步提升知識應用能力。

（作者單位：吳忠市紅寺堡區(qū)紅寺堡中學）

編輯：曾彥慧