王欣

【摘要】本文以2023年新高考Ⅰ卷22題為載體，分析高考改革下函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分內(nèi)容出題特點(diǎn)、解決策略和失誤原因，進(jìn)一步發(fā)揮高考數(shù)學(xué)試題的潛在價(jià)值，明確新高考評(píng)價(jià)體系下對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的要求和價(jià)值指引，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；核心素養(yǎng)

.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在高考考查中具有舉足輕重的地位，其知識(shí)性綜合，眾多學(xué)生即使平時(shí)大量刷題掌握了一定的套路模式仍然止步不前.由此，本文立足于《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》，針對(duì)2023年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷22題的考查意圖、解法特點(diǎn)及典型錯(cuò)誤，進(jìn)行如下分析.

1? 立意剖析

2023年新高考一卷數(shù)學(xué)22題如下：

在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)0，12的距離，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W．

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長(zhǎng)大于33．

學(xué)科知識(shí)視角：函數(shù)是數(shù)學(xué)教育的靈魂，是貫穿高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一條主線.本題主要考查拋物線定義、軌跡方程、去絕對(duì)值、導(dǎo)數(shù)、不等式放縮等問(wèn)題，利用拋物線的性質(zhì)對(duì)矩形的鄰邊所在直線設(shè)參或者對(duì)三個(gè)臨點(diǎn)設(shè)參，以此表示出矩形的周長(zhǎng)，思維過(guò)程比較常規(guī)，符合大部分學(xué)生的思維習(xí)慣，突出考查代數(shù)變形、推理論證等數(shù)學(xué)能力.

數(shù)學(xué)能力視角：題目以求曲線解析式為切入點(diǎn)，讓學(xué)生更容易聯(lián)想到利用拋物線性質(zhì)以及方程思想，用數(shù)學(xué)思維分析問(wèn)題并解決問(wèn)題.解題全過(guò)程要求有全面的數(shù)學(xué)技巧儲(chǔ)備；尋找化簡(jiǎn)無(wú)關(guān)聯(lián)的雙變量、雙絕對(duì)值結(jié)構(gòu)的方法；將目標(biāo)化為一元函數(shù)最值問(wèn)題，又需要學(xué)生具備靈活變通的創(chuàng)新能力.對(duì)學(xué)生的思維運(yùn)算能力、邏輯推理能力、空間想象能力等進(jìn)行綜合考查.

學(xué)科素養(yǎng)視角：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面，本題以邏輯推理為主線，以數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等為落腳點(diǎn)，在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的過(guò)程中，考查學(xué)生熟練掌握導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和不等式放縮的方法，涉及換元、分類(lèi)、化歸、構(gòu)造、分析、綜合等思想.總的來(lái)說(shuō)，本題有較大的區(qū)分度，立意深遠(yuǎn)，有較好的選拔功能.

2? 解法探究

2.1? 第（1）小問(wèn)的解法分析

本小題立足于教材核心知識(shí)，主要考查學(xué)生對(duì)軌跡方程的求解，涉及拋物線的定義、軌跡方程的求法、方程思想等基本知識(shí).主要有以下三種解法.

方法1? 直接法，方程思想.

設(shè)P（x，y），根據(jù)題意列出方程

y=x2+y－122，

即x2+y－122=y2，

化簡(jiǎn)即可得W的軌跡方程為y=x2+14.

方法2? 定義法，化歸思想.

由題意知，點(diǎn)P的軌跡是以0，12為焦點(diǎn)，以x軸為準(zhǔn)線的拋物線，

設(shè)拋物線方程為x2=2py+t，

則焦準(zhǔn)距p=12，頂點(diǎn)坐標(biāo)為0，14，

所以t=－14，

所以W的軌跡方程y=x2+14.

方法3? 平移法，轉(zhuǎn)化思想.

由題意知，點(diǎn)P的軌跡是以0，12為焦點(diǎn)，以x軸為準(zhǔn)線的拋物線，因?yàn)橐?，14為焦點(diǎn)，以y=－14為準(zhǔn)線的拋物線方程為y=x2，所求拋物線是由其向上平移14個(gè)單位得到，所以W的軌跡方程為y=x2+14.

2.2? 第（2）小問(wèn)的解法分析

此問(wèn)主要考查學(xué)生對(duì)函數(shù)最值問(wèn)題的求解，涉及坐標(biāo)法求弦長(zhǎng)、不等式問(wèn)題、絕對(duì)值函數(shù)、雙元變量消元等知識(shí)點(diǎn)，要求學(xué)生具備數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想，以及邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，有較好的區(qū)分度，充分體現(xiàn)了從知識(shí)立意到素養(yǎng)立意的進(jìn)階過(guò)程.

方法1? 設(shè)線法，用斜率參數(shù)表示弦長(zhǎng).

不妨設(shè)點(diǎn)A，B，D在W上，且BA⊥DA，

依題意可設(shè)Aa，a2+14，

易知直線BA，DA的斜率均存在且不為0，

則設(shè)直線BA，DA的斜率分別為k和－1k，

直線AB的方程為y=k（x－a）+a2+14，

則聯(lián)立y=x2+14y=k（x－a）+a2+14，

得x2－kx+ka－a2=0，

Δ=k2－4ka－a2=k－2a2>0，

則k≠2a，

則|AB|=1+k2|k－2a|，

同理|AD|=1+1k21k+2a，

設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，

所以L2=AB+AD=1+k2|k－2a|+1+1k21k+2a，

其中k≠2a且k≠－12a.

這里得到了無(wú)關(guān)聯(lián)的雙變量、雙絕對(duì)值函數(shù)，為了方便計(jì)算，轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)最值問(wèn)題，可以采用以下幾種方式處理該雙變量、雙絕對(duì)值函數(shù).

思路1：由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)k≤1，先進(jìn)行放縮，再對(duì)絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行消元.

得L2≥1+k2k－2a+1k+2a≥1+k2k+1k=1+k23k2? （*），

令k2=m，則m∈0，1，

設(shè)f（m）=（m+1）3m=m2+3m+1m+3，

求導(dǎo)，通過(guò)研究單調(diào)性得

f（m）min=f12=274，

所以|AB|+|AD|≥332，

此處（*）取等條件為k=1，與最終取等時(shí)k=22不一致，故L>33.

思路2：利用雙絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì).

記L=h（a），不妨設(shè)k<0，

則h（a）在－∞，k2單調(diào)遞減，

在k2，－12kh單調(diào)遞增，

在－12k，+∞h單調(diào)遞增，

故h（a）>minhk2，h－12k，

hk2=2（1+k2）3k4，

h－12k=2（1+k2）3k2，

這兩個(gè)式子關(guān)于k的值域相同，故只需證明（1+k2）3k2≥332即可，證明過(guò)程如上，

或者采用二元基本不等式法，

（1+k2）3k2=k4+3k2+1k2+3≥

k2－122+4+114≥332，

也可以用三元均值不等式法

（1+k2）3k2=12+12+k23k2≥

33k243k2=332.

思路3：主元法去絕對(duì)值，分類(lèi)討論，

由圖形對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)k<0，a≤0，

則L2=1+k2k－2a－

1+1k21k+2a，

可以先看成關(guān)于參數(shù)a的函數(shù)，

當(dāng)k>2a時(shí)，L（a）2=1+k2（k－2a）－1+1k21k+2a，關(guān)于a單調(diào)遞減，

故L（a）2≥Lk22=（1+k2）3k4，

當(dāng)k<2a≤0，L（a）2=1+k2（2a－k）－1+1k21k+2a，

L′（a）2=21+k2－1+1k2，

從而只需要Lk22≥332且L（0）2≥332，即可.

方法2? 設(shè)點(diǎn)法，用含參數(shù)的點(diǎn)表示弦長(zhǎng).

設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)Aa，a2+14，

Bb，b2+14，Cc，c2+14在W上，

且a

令kAB=b2+14－a2+14b－a=a+b=m<0，

同理kBC=b+c=n>0，

則mn=－1，

由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)|m|≥|n|，

則L2=|AB|+|BC|=（b－a）1+m2+（c－b）1+n2≥（c－a）1+n2=n+1n1+n2.

令f（x）=（x+1x）2（1+x2），x>0.

通過(guò)研究f（x）的單調(diào)性得出結(jié)論.

方法3? 設(shè)點(diǎn)法，用含參數(shù)的點(diǎn)表示弦長(zhǎng).

圖1????????? 圖2

為了計(jì)算方便，我們將拋物線向下移動(dòng)14個(gè)單位得拋物線W′：y=x2，

矩形ABCD變換為矩形A′B′C′D′，則問(wèn)題等價(jià)于矩形A′B′C′D′的周長(zhǎng)大于33.

設(shè)B′t0，t20，A′t1，t21，C′t2，t22，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)t0≥0.

從而 kA′B′=t1+t0，kB′C′=t2+t0，

由于 A′B′⊥B′C′，

則 t1+t0t2+t0=－1.

設(shè)|t1+t0|<1，則|t2+t0|>1，

則 A′B′+B′C′=1+t1+t02t1－t0+

1+t2+t02t2－t0.

≥1+（t1+t0）2［（t0－t1）+（t2-t0）］

=1+（t1+t0）2－1t1+t0－t0－t1.

令x=t1+t0，

得L2=21+x21x+x，由上文知結(jié)論成立.

方法4? 直線的參數(shù)方程.

為了計(jì)算方便，我們將拋物線向下移動(dòng)14個(gè)單位得拋物線W′：y=x2，

設(shè)Bb，b2），直線BA的傾斜角為θ0<θ<π2，直線BC的傾斜角為θ+π2，

直線BA的參數(shù)方程x=b+tcosθ，y=b2+tsinθ，

代入W′：y=x2，

得sinθ－2bcosθ=tcos2θ.

AB=t=sinθ－2bcosθcos2θ=tanθ－2bcosθ，

同理CB=1tanθ+2bsinθ，

為了統(tǒng)一系數(shù)，我們將做以下處理.

ABcosθ+CBsinθ=tanθ+1tanθ

=1sinθcosθ（**），

當(dāng)sinθ

即|AB|+|CB|≥1sinθcos2θ，

當(dāng)sinθ≥cosθ，（**）≤（|AB|+|CB|）·sinθ，

即|AB|+|CB|≥1sin2θcosθ.

考查函數(shù)y=t（1－t2）最值即可得出結(jié)論.

3? 常見(jiàn)錯(cuò)誤歸因

通過(guò)學(xué)生的解題分析和課堂表現(xiàn)，并與部分同事進(jìn)行深入交流探討，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們的錯(cuò)誤主要涉及以下幾點(diǎn).

3.1? 基礎(chǔ)知識(shí)與概念把握不清

在本題解答中，有很多學(xué)生對(duì)拋物線的焦準(zhǔn)距把握不清，導(dǎo)致第（1）問(wèn)就出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.第（2）問(wèn)由于題干精煉，假設(shè)的參數(shù)過(guò)多，已知條件重復(fù)利用，不能合理篩選未知變量以便準(zhǔn)確地表達(dá)出矩形周長(zhǎng).

3.2? 分類(lèi)、化歸思想掌握不佳

第（2）問(wèn)中，根據(jù)已知條件我們自然地得到了目標(biāo)函數(shù)L=21+k2k－2a+1+1k21k+2a，

為了方便推導(dǎo)，對(duì)參數(shù)k與a的范圍進(jìn)行討論，若不討論k與2a，－12a的大小關(guān)系，直接得出結(jié)果，則解答過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)甚至錯(cuò)誤.

3.3? 數(shù)學(xué)運(yùn)算能力比較薄弱

本題計(jì)算法則比較常規(guī)，計(jì)算量因選用解題思路而異，如用雙絕對(duì)值函數(shù)性質(zhì)處理目標(biāo)函數(shù)L=h（a）時(shí)，疲于討論函數(shù)在三個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，得到h（a）>minhk2，h－12k結(jié)論后，對(duì)（1+k2）3k2≥332的推導(dǎo)掣肘，不能進(jìn)行超過(guò)兩個(gè)的函數(shù)單調(diào)性分析.

在描述目標(biāo)函數(shù)的過(guò)程中，有的學(xué)生能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為雙元變量與雙絕對(duì)值形式，但由于知識(shí)儲(chǔ)備不足，個(gè)人綜合分析能力薄弱，對(duì)函數(shù)表達(dá)式的聯(lián)系能力不高，應(yīng)變創(chuàng)造能力匱乏.再就是，構(gòu)造的函數(shù)比較復(fù)雜，不能成功化簡(jiǎn)為一元函數(shù)，增加計(jì)算難度，導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤.

4? 教學(xué)反思與目標(biāo)指引

正本清源，2023年的新高考?jí)狠S題具有以下幾個(gè)方面的指引.

4.1? 注重回歸教材

不少學(xué)生對(duì)定義把握不準(zhǔn)，對(duì)基本公式定理掌握不牢.這就需要教師在教學(xué)中講清基本概念的內(nèi)涵，講明基本概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，講好與基本概念強(qiáng)相關(guān)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).比如通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境、多媒體展示等多種方式帶領(lǐng)學(xué)生揭示數(shù)學(xué)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生自主探究問(wèn)題.

4.2? 提升運(yùn)算能力

提高數(shù)學(xué)運(yùn)算效率是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).首先要熟悉運(yùn)算法則，掌握公式定理，重視對(duì)基礎(chǔ)概念的記憶；審題時(shí)，觀察題目特點(diǎn)，弄清題意，確定運(yùn)算順序，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方式，這就需要教師在平時(shí)的課堂中加強(qiáng)運(yùn)算步驟分析的講解；在題目求解運(yùn)算的過(guò)程中或者結(jié)束時(shí)，對(duì)運(yùn)算數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，以便及時(shí)糾正運(yùn)算錯(cuò)誤，提醒學(xué)生運(yùn)用各種驗(yàn)證技巧；題目千變?nèi)f化，但是題型分類(lèi)有限，教師要注重歸納不同題型的解題套路，既要“一題多解”也要“多題一解”；最后做好總結(jié)，給予學(xué)生及時(shí)的反饋練習(xí)，加強(qiáng)筆記整理.

4.3? 抓住問(wèn)題本質(zhì)

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象和概括，分別包含函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、有限與無(wú)限、或然與必然等思想，很多學(xué)生在這方面的意識(shí)和能力比較淺薄.教師可以在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中，加強(qiáng)這些數(shù)學(xué)思想的滲透，比如對(duì)人教B版選擇性必修三《6.2.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性》例5出現(xiàn)的分類(lèi)思想進(jìn)行強(qiáng)調(diào)聯(lián)系.

5? 結(jié)語(yǔ)

高考?jí)狠S題是重點(diǎn)大學(xué)的分水嶺，但是縱觀歷年題目，我們發(fā)現(xiàn)壓軸題都是在課程標(biāo)準(zhǔn)要求下，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行情境和式子的適當(dāng)變形.在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生把一個(gè)題目中相近的知識(shí)不斷進(jìn)行聯(lián)系和整合，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的訓(xùn)練，這樣才能更好地培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，更加從容地應(yīng)對(duì)高考戰(zhàn)場(chǎng).