鄭惠 曹欣楠

摘要：教育數(shù)字化時(shí)代背景下，隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，教師將信息技術(shù)廣泛應(yīng)用于教育教學(xué)當(dāng)中，可以促進(jìn)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)。特別是在高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，對(duì)GeoGebra（以下簡(jiǎn)稱“GGB”）軟件的良好應(yīng)用，可以提高教學(xué)效率。GGB軟件有助于教師完成可視化的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，創(chuàng)新數(shù)學(xué)課程的教學(xué)模式，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：GeoGebra；高中數(shù)學(xué)；可視化課堂

GGB軟件是一款動(dòng)態(tài)的教學(xué)軟件，在繪圖時(shí)涵蓋了點(diǎn)、直線、線段、多邊形、向量、圓錐曲線和函數(shù)等基本元素，這些繪圖元素均可在創(chuàng)建后直接在屏幕上或者使用命令動(dòng)態(tài)改變。與傳統(tǒng)的幾何畫板相比，GGB軟件可完成幾何畫板的一切相關(guān)功能，并且非常顯著地簡(jiǎn)化了操作過程，即可將教師難以口頭表達(dá)或板書不易展現(xiàn)的抽象知識(shí)動(dòng)態(tài)展現(xiàn)給學(xué)生，充分提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率。

一、以GGB軟件促進(jìn)統(tǒng)計(jì)的可視化教學(xué)

（一）隨機(jī)數(shù)表法的前期準(zhǔn)備

在人教B版高中數(shù)學(xué)教材必修二“數(shù)據(jù)的收集”一課中，列舉了常見的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法：抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法。對(duì)于隨機(jī)數(shù)表法，學(xué)生只能通過教材第60頁的隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行簡(jiǎn)單地了解和使用，這一過程其實(shí)是比較抽象的，而通過GGB軟件直接生成隨機(jī)數(shù)，學(xué)生在具體實(shí)踐中可以感受到數(shù)據(jù)的沖擊及數(shù)字化的魅力。教材提供了“在Excel中多次使用RANDBETWEEN函數(shù)，從1，2，……，90中抽出5個(gè)數(shù)”的例子（見教材60頁），運(yùn)用類比的方法，GGB軟件也可以生成均勻分布隨機(jī)數(shù)、泊松分布隨機(jī)數(shù)、正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)等，學(xué)生在實(shí)踐中可以感受大數(shù)據(jù)時(shí)代信息技術(shù)功能的強(qiáng)大。

【案例一】

師：（演示操作GGB軟件）請(qǐng)大家生成一組從1到100、樣本數(shù)量為10的均勻分布隨機(jī)數(shù)。

生：利用GGB軟件，只要確定好想選擇的隨機(jī)數(shù)類別、起始數(shù)、終值數(shù)、樣本數(shù)量，就能隨機(jī)生成數(shù)據(jù)，每按一次“回車鍵”，數(shù)據(jù)就會(huì)改變一次，并且這些數(shù)據(jù)都是沒有規(guī)律的。

師：大家結(jié)合生活中的實(shí)例想一想，生成的隨機(jī)數(shù)能為我們提供什么樣的便利呢？

生：比如，我們班級(jí)想通過抽簽的方式，從42人中派20人參與問卷調(diào)查，為了保證數(shù)據(jù)的公平性，可以全班同學(xué)的學(xué)號(hào)為序，生成42個(gè)隨機(jī)數(shù)，從大到小排列，選取前20名或后20名。

（二）數(shù)字特征的處理

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下通稱“新課標(biāo)”）要求，學(xué)生掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、最值、標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差等數(shù)據(jù)的數(shù)字特征。大部分學(xué)生對(duì)于計(jì)算步驟沒有過多的疑惑，而教材中的例題、教輔中的練習(xí)和測(cè)試中的題目，通常不會(huì)在計(jì)算量上增加難度。這就意味著，在脫離了初等教育的高等數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究中，學(xué)生有必要掌握利用計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)的能力。在數(shù)據(jù)的處理過程中，大部分學(xué)生目前可以在Excel中使用相應(yīng)的函數(shù)求出最值、平均值等數(shù)字特征，而GGB軟件的表格區(qū)也可實(shí)現(xiàn)類似的功能，只是函數(shù)名稱不一致，教材中對(duì)同一組數(shù)據(jù)：18.9，19.5，19.5，19.2，19，18.8，19.5，分別在Excel和GGB軟件中進(jìn)行了處理（見教材67頁），給學(xué)生以直觀的感受。

【案例二】

對(duì)于圖1中生成的10個(gè)隨機(jī)數(shù)，學(xué)生可利用GGB軟件中的函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。由于學(xué)生對(duì)Excel的使用相對(duì)嫻熟，所以在使用GGB軟件進(jìn)行操作時(shí)會(huì)相對(duì)輕松。

（三）數(shù)據(jù)的直觀表示

在統(tǒng)計(jì)的課堂教學(xué)中，根據(jù)數(shù)據(jù)分析的需求，學(xué)生應(yīng)當(dāng)會(huì)選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表描述和表達(dá)數(shù)據(jù)，并從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的數(shù)字特征，估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，最終解決相應(yīng)的實(shí)際問題。在以往的教學(xué)過程中，統(tǒng)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)幾乎都是通過典型案例進(jìn)行的，如果學(xué)生能有機(jī)會(huì)經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過程，逐漸理解數(shù)據(jù)分析的思路，學(xué)會(huì)如何處理典型案例，并在此過程中學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)分析的方法，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問題，那么在未來面對(duì)樣本量較大的數(shù)據(jù)時(shí)，學(xué)生就能通過認(rèn)知能力的提升，自主培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力。因此，新課標(biāo)鼓勵(lì)學(xué)生盡可能運(yùn)用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬活動(dòng)、處理數(shù)據(jù)，更好地體會(huì)概率的意義和統(tǒng)計(jì)思想。

借助計(jì)算機(jī)軟件，教師可以快捷地做出有關(guān)統(tǒng)計(jì)圖表，如教材第71頁，在Excel中輸入有關(guān)數(shù)據(jù)后，就可以用有關(guān)作圖命令畫出柱形圖（條形圖），而且可以方便地改變呈現(xiàn)形式。在GGB軟件中，利用表格區(qū)輸入數(shù)據(jù)，然后利用“單變量分析”，可以得到數(shù)據(jù)的直方圖等信息，而且各種參數(shù)都可以自行設(shè)定。

【演示一】

由于頻率分布直方圖的繪制較為繁瑣，所以由學(xué)生提供繪制思路，教師提供軟件的操作步驟，師生共同繪制出教材第72頁“情景與問題”中案例對(duì)應(yīng)的直方圖（見圖2）。

（四）一元線性回歸模型

在教材選擇性必修二中，對(duì)變量之間的相關(guān)關(guān)系、回歸直線方程及其性質(zhì)、相關(guān)系數(shù)、非線性回歸進(jìn)行了要求。新課標(biāo)要求結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系，通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性；結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法，會(huì)使用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件。線性回歸模型對(duì)于大部分學(xué)生來說陌生且不易接受。教師可以在課堂上演示如何在GGB軟件中作出線性回歸模型，有條件或有需求的學(xué)生可以在此基礎(chǔ)上自主研究。

【演示二】

冬日里，隨著氣溫的逐漸降低，茶館的生意日益火爆。某茶館為了解茶水銷售量與最低氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某六天的茶水銷售量（單位：杯）與當(dāng)天最低氣溫（單位：℃）的對(duì)照表（見表1）。

1.分析茶水銷售量與最低氣溫之間是否有關(guān)系，如果有，是什么關(guān)系？

2.若某一天最低氣溫為-5℃，能否估計(jì)這天茶館賣出茶水的杯數(shù)？

步驟一：繪制散點(diǎn)圖。啟動(dòng) GGB 軟件后，在表格區(qū)輸入表 1 中的“最低氣溫”“茶水銷售量”及對(duì)應(yīng)數(shù)量。接著，框選數(shù)據(jù)，通過右鍵彈出對(duì)話框，選擇對(duì)話框中的“創(chuàng)建”—“點(diǎn)列”欄目，繪圖區(qū)內(nèi)生成數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖。

步驟二：建立一次函數(shù)模型。散點(diǎn)圖生成后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察其特征，回顧已掌握的函數(shù)圖象，學(xué)生以小組為單位，猜想并嘗試建立回歸模型。大部分學(xué)生都能得出“散點(diǎn)圖分布在一條直線附近”的結(jié)論，也會(huì)有一部分學(xué)生猜想二次函數(shù)、冪函數(shù)的情況。這時(shí)，教師要及時(shí)給予表揚(yáng)，引導(dǎo)學(xué)生先嘗試建立一次函數(shù)回歸模型，并將其他情況作為拓展任務(wù)，暫不展開。

首先，教師指導(dǎo)學(xué)生在指令欄里輸入“多項(xiàng)式擬合”，根據(jù)指令提示，在繪圖區(qū)中生成一次函數(shù)圖象 f（x）。同時(shí)，在代數(shù)區(qū)內(nèi)顯示函數(shù) f（x） = -1.71x + 58.86。在計(jì)算機(jī)生成一次回歸函數(shù)后，教師引導(dǎo)學(xué)生回歸直線的數(shù)學(xué)定義：用直線方程近似表示的相關(guān)關(guān)系叫作線性關(guān)系，這條直線稱為回歸直線。學(xué)生回答出計(jì)算機(jī)生成的回歸系數(shù)為“a =1.71，b =58.86”。

步驟三：一次函數(shù)模型“殘差”分析環(huán)節(jié)。教師在指令區(qū)內(nèi)輸入“殘差圖”，根據(jù)指令提示，在繪圖區(qū)內(nèi)呈現(xiàn)出一次函數(shù)模型的殘差圖。在殘差圖的直觀演示下，教師引導(dǎo)學(xué)生將“殘差”與方差進(jìn)行對(duì)比，促進(jìn)學(xué)生對(duì)“殘差”這一概念的理解。然后，教師再借助殘差圖，簡(jiǎn)要介紹“殘差”的平方和表達(dá)式以及求解回歸系數(shù)的最小二乘法。最后，給出一元回歸直線的系數(shù)計(jì)算公式。

二、以GGB軟件促進(jìn)概率的可視化教學(xué)

（一）二項(xiàng)分布

通過“拋硬幣”的實(shí)例和對(duì)伯努利試驗(yàn)的理解，教材引出了二項(xiàng)分布即n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及其數(shù)字特征，新課標(biāo)要求學(xué)生能解決關(guān)于二項(xiàng)分布的簡(jiǎn)單實(shí)際問題。教材第74頁引用了“將一枚均勻的硬幣拋100次，求出正好出現(xiàn)50次正面的概率”的案例，若設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為X，則X服從參數(shù)為100，0.5的二項(xiàng)分布，即X～B（100，0.5），因此所求概率為：

P（X=50） = [C50100] × 0.550 × （1 - 0.5）50 = [C50100] × 0.5100。

手動(dòng)算出這個(gè)概率的小數(shù)形式并不容易，教材介紹了在Excel中解決此問題的方法，而GGB軟件也可以達(dá)到這個(gè)效果。

【演示三】

根據(jù)圖3的步驟進(jìn)行演示，得到表格和頻率分布直方圖（見下頁圖4）。

（二）超幾何分布

同二項(xiàng)分布的概率值一樣，超幾何分布的概率值也可以用GGB求出，這對(duì)于解決二項(xiàng)分布和超幾何分布簡(jiǎn)單的實(shí)際問題有很大的助力。

【案例三】

經(jīng)歷二項(xiàng)分布的實(shí)踐，超幾何分布操作會(huì)更順利，學(xué)生基本可以自行解決（見下頁圖5）。

三、以GGB軟件促進(jìn)可視化教學(xué)時(shí)需要注意的事項(xiàng)

（一）熟練應(yīng)用信息技術(shù)，提高課堂效率

教學(xué)中的重要目標(biāo)之一是讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的過程。為了提高課堂效率和質(zhì)量，同時(shí)避免手動(dòng)畫圖帶來的誤差，教師利用GGB軟件展現(xiàn)作圖，直觀地為學(xué)生提供了有理有據(jù)的圖表，進(jìn)而引導(dǎo)和指導(dǎo)學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)踐，提升了課堂的趣味性和教學(xué)效果，也有助于數(shù)據(jù)的分析。

（二）合理利用信息技術(shù)，提高課堂質(zhì)量

尋找教學(xué)與信息技術(shù)融合的內(nèi)容和方式之一是教師深入研究教學(xué)重難點(diǎn)。高中數(shù)學(xué)教材中經(jīng)常會(huì)蘊(yùn)藏如轉(zhuǎn)化、逼近、數(shù)形結(jié)合等豐富多樣的數(shù)學(xué)理念與思維模式。教師要深入研究教材和教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)的全部課程內(nèi)容均應(yīng)符合數(shù)學(xué)本質(zhì)，要對(duì)蘊(yùn)藏其中的數(shù)學(xué)理念與思維過程加以展示；要使信息技術(shù)用得有效，能夠讓學(xué)生更深刻地理解知識(shí)的本質(zhì)，這樣才能達(dá)到融合的目的。教師在演示的時(shí)候要提醒學(xué)生關(guān)注知識(shí)本身，而不是追求圖形的絢麗多彩或表面的場(chǎng)景變化，這就需要教師預(yù)設(shè)課堂情境，提前思考相關(guān)情況，并在課上通過語言去引導(dǎo)學(xué)生，從而達(dá)到真正提高課堂質(zhì)量的目的。

（三）深入發(fā)掘信息技術(shù)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值

數(shù)學(xué)具有多方面價(jià)值，它是科學(xué)的、實(shí)用的、文化的、思想的，教師在教學(xué)中融入信息技術(shù)時(shí)不能僅局限于教材中的知識(shí)點(diǎn)，而是要深入挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)中存在的各個(gè)方面的價(jià)值，并將其生動(dòng)地展現(xiàn)給學(xué)生。GGB軟件因在數(shù)學(xué)教學(xué)中的準(zhǔn)確周密、省時(shí)美觀、參數(shù)交互等特點(diǎn)，以及置入的動(dòng)畫動(dòng)態(tài)繪圖系統(tǒng)，便于學(xué)生對(duì)抽象化的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行直觀地學(xué)習(xí)，養(yǎng)成圖形思維，提升數(shù)形結(jié)合的水平。GGB軟件支撐下的數(shù)學(xué)課堂能夠發(fā)揮數(shù)字化優(yōu)勢(shì)，營(yíng)造交互性、可視化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍。在課余時(shí)間，教師還可以通過絢麗多彩的“勾股樹”展示數(shù)學(xué)定理，可以用形態(tài)多樣的“萬花尺”來體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，這些都是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、激發(fā)學(xué)生探尋數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展、增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)的有效途徑。

綜上，借助GGB軟件，教師可以展示出數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過程，推動(dòng)學(xué)生從實(shí)質(zhì)上理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，對(duì)不同數(shù)學(xué)教學(xué)流程加以完善，使學(xué)生增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維能力，更好地體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

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（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）