趙云平

“分數(shù)、比、百分數(shù)乘除法實際問題”是數(shù)學(xué)人教版教材六年級上冊中第一、三、四、六單元簡單的分數(shù)（比、百分數(shù)）乘除法解決問題和稍復(fù)雜的分數(shù)（比、百分數(shù)）乘除法解決問題。對于簡單的分數(shù)乘除法解決問題，教材是安排在分數(shù)乘除法計算后進行教學(xué)的，稍復(fù)雜的分數(shù)除法解決問題是安排在百分數(shù)單元里進行教學(xué)的。這幾種題型聯(lián)系緊密，但涉及四個單元，且教學(xué)時間跨度比較長，對部分學(xué)生達到綜合掌握是比較困難的問題。本文以第三學(xué)段數(shù)學(xué)人教版教材六年級上冊分數(shù)（比、百分數(shù)）乘除法解決問題的復(fù)習(xí)課為例，將知識點進行關(guān)聯(lián)、對比和融合，使學(xué)生進一步理解分數(shù)乘法和除法的意義，對如何在解決問題復(fù)習(xí)課中引入“數(shù)學(xué)建模”策略進行探討。讓學(xué)生進一步掌握分數(shù)乘除法解決問題的結(jié)構(gòu)特點和數(shù)量關(guān)系，提高解決問題的能力。

一、數(shù)形結(jié)合，準確分析數(shù)量關(guān)系

舊知識的呈現(xiàn)、延伸、生長是一節(jié)復(fù)習(xí)課的重要環(huán)節(jié)，復(fù)習(xí)課的作用不僅僅是對已學(xué)知識的鞏固，更多的是通過整理串聯(lián)形成整體的知識網(wǎng)絡(luò)體系，激活學(xué)生思維的功能。分數(shù)（比、百分數(shù)）解決問題最大的特點在于描述兩個量的關(guān)系，在開課時出示線段圖，尋找兩個量之間的關(guān)系，以關(guān)鍵句作為復(fù)習(xí)的引領(lǐng)，引發(fā)學(xué)生觀察并積極思考，通過數(shù)形結(jié)合，充分調(diào)動學(xué)生思維的積極性和主動性，可以幫助學(xué)生厘清數(shù)量關(guān)系，找到復(fù)習(xí)課的生長點。

師：果園里有60棵蘋果樹和45棵梨樹，根據(jù)線段圖，你能用什么方式表示出蘋果樹和梨樹之間的關(guān)系？

生1：梨樹是蘋果樹的。

生2：蘋果樹是梨樹的。

生3：蘋果樹比梨樹多。

……

二、聯(lián)系對比，聚焦數(shù)量本質(zhì)意義

1.橫向?qū)Ρ?，延伸本質(zhì)

引導(dǎo)學(xué)生觀察比較，以線段圖演示數(shù)形結(jié)合，進一步明晰分數(shù)乘除法問題中數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系，通過單位“1”的辨別與確定，讓學(xué)生在觀察中總結(jié)出“對應(yīng)量與單位‘1的量互換位置，分率互為倒數(shù)”。同時以每一段量為標準，進行可視化比較，歸納總結(jié)出“同一個量在不同的單位‘1中所占的分率不同”。通過這兩種實際問題的認識對比，理解其本質(zhì)意義，有利于學(xué)生溝通知識之間的聯(lián)系，形成良好的認知結(jié)構(gòu)，促進學(xué)習(xí)遷移和知識的融會貫通以及解決問題方法策略的提高。

師：同學(xué)們觀察很仔細，通過線段圖找出了很多兩者之間的關(guān)系，這節(jié)課我們來分類整理歸納蘋果樹與梨樹的關(guān)系。

師：梨樹是蘋果樹的，把誰的棵數(shù)看作單位“1”？

生：把蘋果樹的棵數(shù)看作單位“1”。

師：你是怎么理解“梨樹是蘋果樹的”？

生：就是把60棵蘋果樹看作單位“1”，平均分成4份，梨樹棵數(shù)占這樣的三份，所以說梨樹是蘋果樹的。

師：“蘋果樹是梨樹的”你又是怎樣理解的？

生：就是把45棵梨樹看作單位“1”，平均分成3份，蘋果樹棵數(shù)占這樣的四份，所以說蘋果樹是梨樹的。

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：梨樹和蘋果樹的量交換位置時，它們所占分率就互為倒數(shù)。

師：所以，確定誰是單位“1”至關(guān)重要。對應(yīng)量與單位“1”的量互換位置，分率互為倒數(shù)。

師：誰能舉例說一說“對應(yīng)量與單位‘1的量互換位置，分率互為倒數(shù)”？

生1：我們班男生人數(shù)是女生的，女生人數(shù)是男生的。

生2：桃樹棵數(shù)是梨樹的，梨樹棵數(shù)是桃樹的。

生3：甲數(shù)是乙數(shù)的，乙數(shù)是甲數(shù)的。

……

師：請同學(xué)們觀察，為什么梨樹和蘋果樹相差15棵，所占分率卻不同呢？

生1：因為梨樹比蘋果樹少，是把蘋果樹看作單位“1”;蘋果樹比梨樹多，是把梨樹看作單位“1”，單位“1”不同。

生2：也就是同一個量在不同的單位“1”中，分率是不一樣的。

師：誰能舉例說一說對“同一個量在不同的單位‘1中所占的分率不同”的理解嗎？

生1：比如說，雞的只數(shù)比兔的只數(shù)多，則兔的只數(shù)比雞的只數(shù)少。

生2：甲數(shù)比乙數(shù)少，則乙數(shù)比甲數(shù)多。

……

2.滲透歸一，總結(jié)提升

“求一個數(shù)的幾分之幾是多少？”和“求比一個數(shù)多或少幾分之幾的數(shù)是多少？”在本質(zhì)意義上是不同的，前者是用單位“1”的量乘對應(yīng)分率，后者有兩種思路：一種是用單位“1”的量乘相差分率求出相差量，再用單位“1”的量與相差量進行加減，求出未知量;第二種是先求出對應(yīng)分率，再用單位“1”的量乘對應(yīng)分率。本環(huán)節(jié)將數(shù)形結(jié)合思想深入滲透其中，讓學(xué)生通過上述兩類題型本質(zhì)意義的理解，通過線段圖、解題思路和解題方法的綜合應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)“求一個數(shù)的幾分之幾是多少？”和“求比一個數(shù)多或少幾分之幾的數(shù)是多少？”結(jié)構(gòu)不一樣，但解題方法是一樣的。從而建構(gòu)分數(shù)乘除法不同意義、相同解法的“類”的模型，初步建構(gòu)數(shù)學(xué)模型意識，鍛煉學(xué)生解決問題方法的應(yīng)用意識和能力。

師：如果我們把60棵蘋果樹棵數(shù)看作單位“1”，觀察線段圖，怎樣解答？你是怎么想的？

生1：我們把60棵蘋果樹棵數(shù)看作單位“1”，梨樹是蘋果樹的四分之三，求梨樹有多少棵？

生2：也就是求蘋果樹棵數(shù)的是多少？列式為：60×=45（棵）。

師：同樣我們把60棵蘋果樹棵數(shù)看作單位“1”，“梨樹比蘋果樹少”又應(yīng)該怎樣解答？

生1：我們把60棵蘋果樹棵數(shù)看作單位“1”，梨樹比蘋果樹少，求梨樹有多少棵？

生2：梨樹比蘋果樹少，說明梨樹占蘋果樹的（1-），列式為：60×（1-）=45（棵）。

師：觀察兩幅線段圖，剛才我們解答的兩個問題是相同問題，還是不同問題？

生1：這是不同問題，一個是求一個數(shù)的幾分之幾是多少，另一個是求比一個數(shù)少幾分之幾是多少。

生2：我不同意你的理解，我認為是相同問題。

生3：梨樹比蘋果樹少，說明梨樹占蘋果樹的（1-）=，最后還是求一個數(shù)的幾分之幾是多少。

師：雖然表面上看是求比一個數(shù)少幾分之幾是多少，其實也是求一個數(shù)的幾分之幾是多少。因為（1-）=，它們最終都是求60的是多少？也就是：60（單位“1”的量）×（對應(yīng)分率）=（分率對應(yīng)量）。

3.舉一反三，類比建構(gòu)

在分數(shù)解決問題中，首要關(guān)鍵是確定單位“1”。已知單位“1”就是求“一個數(shù)的幾分之幾是多少（求對應(yīng)量）”。未知單位“1”：首先，分率對應(yīng)量和對應(yīng)分率都已知，求單位“1”的量，也就是“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”，直接用對應(yīng)量除以對應(yīng)分率;其次，已知對應(yīng)量和相差分率，求單位“1”的量是多少？有兩種思路：一種按照已知單位“1”的量和相差分率，求對應(yīng)量;第二種思路是先求出對應(yīng)分率，再用對應(yīng)量除以對應(yīng)分率來解答。

在學(xué)生已經(jīng)掌握已知單位“1”，求對應(yīng)量的基礎(chǔ)上，深入掌握對應(yīng)量、對應(yīng)分率和單位“1”的量三者關(guān)系時，通過舉一反三，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型意識解決分數(shù)除法的相關(guān)問題，求單位“1”的量。舉一反三的方法能幫助學(xué)生對各數(shù)量之間的關(guān)系深入理解和記憶。所以，當我們理解掌握分數(shù)的乘法解決問題思路和方法后，就可以將其運用到除法中，反之亦然。舉一反三，我們可以通過類比和對比的方法來加深對分數(shù)乘除法解題思路的理解和應(yīng)用。

師：“蘋果樹是梨樹的”是把梨樹看作單位“1”，梨樹棵數(shù)是未知的應(yīng)該怎樣解答？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：60÷=45（棵）。

生2：梨樹的等于蘋果樹，也就是梨樹的棵數(shù)乘等于60，兩個因數(shù)的積等于60，求其中一個因數(shù)等于積除以另一個因數(shù)。

師：“蘋果樹比梨樹多”怎樣解答？你是怎樣想的？

生1：60÷（1+）=45（棵）。

生2：梨樹的（1+）等于蘋果樹，也就是梨樹的棵數(shù)乘（1+）等于60，兩個因數(shù)的積等于60，求其中一個因數(shù)等于積除以另一個因數(shù)，所以是45棵。

師：這兩題是相同的問題，還是不同的問題？

生：蘋果樹比梨樹多，說明蘋果樹占梨樹的（1+）=，最后還是已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)。

師：雖然表面上看是已知比一個數(shù)多幾分之幾是多少，其實也是已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)，因為（1+）=，他們最終都是求一個數(shù)的是60，這個數(shù)就等于60÷。

師：你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：未知單位“1”的量——用除法解決，用60（分率對應(yīng)量）÷（對應(yīng)分率）=（單位“1”的量）。

師：看來同學(xué)都很善于觀察并總結(jié)，通過比較，解決分數(shù)乘法除法問題的關(guān)鍵是什么？

生1：找準單位“1”的量。

生2：還要知道單位“1”的量是已知，還是未知？

三、總結(jié)延伸，關(guān)聯(lián)中建構(gòu)模型意識

分數(shù)、比和百分數(shù)之間的聯(lián)系主要體現(xiàn)在它們都可以用來表示兩個量之間的關(guān)系，即它們都可以表示一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾或百分之幾的問題。它們在意義、表示方式上存在區(qū)別，但解題思路是相同相通的，學(xué)生在學(xué)習(xí)分數(shù)乘法除法、比、百分數(shù)各單元知識時，掌握的知識是單一零碎的，達不到深入融合的梯度，難以建立同類知識網(wǎng)絡(luò)體系，并形成綜合應(yīng)用整體知識的能力。只有對各單元知識進行整合分析，將零散的知識串聯(lián)，對各類知識點進行歸類對比，引導(dǎo)學(xué)生形成新的綜合認知結(jié)構(gòu)，在應(yīng)用相關(guān)知識解決實際問題的基礎(chǔ)上，進一步培養(yǎng)學(xué)生分析、比較、抽象、概括、歸納、推理的能力，增強數(shù)感，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型意識和應(yīng)用意識。

師：如果把剛才兩類問題中的分率變成百分數(shù)，怎樣解答？

生1：解決的方法一樣的。

生2：都是求一個數(shù)的幾分之幾（百分之幾）是多少？另外一種是已知一個數(shù)的幾分之幾（百分之幾）是多少，求這個數(shù)。唯一區(qū)別是一種是分數(shù)形式表示，另一種是用百分數(shù)形式表示。

師：把剛才的問題用比的形式表述，解題思路還一樣嗎？

生：一樣，他們還是表示一個數(shù)的幾分之幾是多少。

四、深入探索，關(guān)聯(lián)中融會貫通

為了幫助學(xué)生透徹理解知識點間的關(guān)系，發(fā)展思維，建構(gòu)模型意識和實際問題解決的應(yīng)用意識，練習(xí)中設(shè)計了三組信息，兩組條件和一組問題，學(xué)生根據(jù)復(fù)習(xí)內(nèi)容，自選條件的問題，自編問題，創(chuàng)造更多問題并解決，幫助學(xué)生根據(jù)分數(shù)解決問題的模型豐富外延，內(nèi)化模型，融會貫通。通過這個完整層層遞進的建模過程，讓學(xué)生緊緊抓住知識的關(guān)鍵特征，溝通聯(lián)系，從而完善、更新數(shù)學(xué)認知體系。

師：同學(xué)們能根據(jù)老師出示的條件和問題，自編題目嗎？

生1：我編的題目是——我們班男生有20人，男生人數(shù)是女生的，女生有多少人？女生人數(shù)是單位“1”，這題也就是已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)用除法，即20÷=25（人）。

生2：我編的題目是——全班有45人，男生人數(shù)占全班人數(shù)的，男生有多少人？列式計算：45×=20（人）。

……

小結(jié)：在解決分數(shù)、比、百分數(shù)解決問題時，找單位“1”是關(guān)鍵。已知單位“1”的量時就用“單位‘1的量×對應(yīng)分率=分率對應(yīng)量”;當未知單位“1”的量時就用“分率對應(yīng)量÷對應(yīng)分率=單位‘1的量”。