譚傲菡

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）將百分?jǐn)?shù)從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域調(diào)整到“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域，把百分?jǐn)?shù)作為統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行教學(xué)。百分?jǐn)?shù)是兩個(gè)數(shù)量倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)，這兩個(gè)數(shù)量既可來(lái)源于確定數(shù)據(jù)，又可來(lái)源于隨機(jī)數(shù)據(jù)。前者指百分?jǐn)?shù)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)意義;后者即百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義。《新課標(biāo)》指出：“要結(jié)合具體情境，探索百分?jǐn)?shù)的意義”“在簡(jiǎn)單的實(shí)際情境中，應(yīng)用百分?jǐn)?shù)，形成數(shù)據(jù)意識(shí)和初步的應(yīng)用意識(shí)?！边@一新導(dǎo)向的提出，豐富了百分?jǐn)?shù)的意義，同時(shí)改變了百分?jǐn)?shù)教學(xué)的任務(wù)與目標(biāo)，需要在理解百分?jǐn)?shù)原有算術(shù)意義的基礎(chǔ)上，更加凸顯百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義。因此，在百分?jǐn)?shù)的教學(xué)中，為了讓學(xué)生更全面地認(rèn)識(shí)和理解百分?jǐn)?shù)，應(yīng)該將百分?jǐn)?shù)放到統(tǒng)計(jì)背景中去學(xué)習(xí)。

一、數(shù)據(jù)分析，體會(huì)百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性

教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)推選投籃水平高的學(xué)生代表班級(jí)參賽的情境，讓學(xué)生在課前分析數(shù)據(jù)的過程中感受到僅從投籃“命中次數(shù)”這一個(gè)量無(wú)法判斷比較，要比較投中次數(shù)與投籃總數(shù)的關(guān)系（命中率）才能進(jìn)行比較，并借助已有經(jīng)驗(yàn)，通過計(jì)算用小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)來(lái)刻畫投籃水平的高低。在此基礎(chǔ)上，利用前測(cè)生成資源，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，進(jìn)行小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)互化體會(huì)百分?jǐn)?shù)的優(yōu)越性。

【片段一】

師：上周的投籃活動(dòng)是為了選拔1名同學(xué)參加校級(jí)投籃比賽。老師帶領(lǐng)大家收集、整理了數(shù)據(jù)并完成了小組初選。我們先來(lái)看看，第三小組的推選情況，誰(shuí)的投籃水平最高？（出示前測(cè)中學(xué)生推選結(jié)果）

生：鄧羽彤。

師：為什么都選他呢？誰(shuí)能讀懂他是怎么想的？

生1：他是用投中次數(shù)除以投籃總數(shù)，算出得數(shù)（小數(shù)），比較小數(shù)的大小。

生2：他也是用投中次數(shù)除以投籃總數(shù)，算出得數(shù)（分?jǐn)?shù)），通分后比較大小。

生3：他也是用投中次數(shù)除以投籃總數(shù)，算出得數(shù)（百分?jǐn)?shù)），比較大小。

師：小數(shù)、分?jǐn)?shù)是我們學(xué)過的，那什么是百分?jǐn)?shù)呢？有待我們進(jìn)一步研究。（出示課題）

師：在同學(xué)們的作品中，我們看到了小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)都可以表示投中次數(shù)除以投籃總數(shù)的商，那它們的大小一樣嗎？怎么證明？

生板演說(shuō)明：

師：看來(lái)小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)他們之間是有聯(lián)系的。通常我們是以100為分母作為比較的標(biāo)準(zhǔn)，像這樣分母是100的分?jǐn)?shù)可以寫成百分?jǐn)?shù)。如果分母不能通分成100時(shí)，我們可以先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。

【片段二】

師：剛才我們了解到了第三小組的推選結(jié)果，再來(lái)看看其他四組的推選結(jié)果。（課件出示）誰(shuí)的投籃水平更勝一籌？好比較嗎？

生：不好比較。

師：怎么辦？

生：改寫成百分?jǐn)?shù)。

（學(xué)生四人小組合作將其他幾人的命中率都改寫成百分?jǐn)?shù)并展示匯報(bào)）

師：誰(shuí)來(lái)讀一讀這些百分?jǐn)?shù)。（各命中率）

在分析數(shù)據(jù)的過程中，學(xué)生感悟到命中率可以刻畫投籃水平的高低，學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)互化，經(jīng)歷百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生過程從不同形式的表達(dá)——相同分母（100）的表達(dá)——百分?jǐn)?shù)的表達(dá)，感受到以百分?jǐn)?shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較既簡(jiǎn)單又方便，從而可以體會(huì)百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性。

二、關(guān)聯(lián)經(jīng)驗(yàn)，多維構(gòu)建百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義

1.從統(tǒng)計(jì)角度，初感百分?jǐn)?shù)的意義

創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，以隨機(jī)數(shù)據(jù)“命中率”引入百分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步感知百分?jǐn)?shù)是一個(gè)相對(duì)的數(shù)，是兩個(gè)數(shù)之比，可以用來(lái)反映某種比例關(guān)系，表示“投籃次數(shù)”與“命中次數(shù)”的倍數(shù)關(guān)系，來(lái)刻畫投籃水平。

【片段三】

師：看來(lái)，我們可以用小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)表示投中次數(shù)除以投籃總數(shù)的商來(lái)表示投籃水平。那什么是投籃水平呢？

生：投籃水平就是投籃命中率。

師：請(qǐng)你具體解釋一下什么是命中率？

生1：投中次數(shù)是投籃總數(shù)的幾分之幾。

生2：投中次數(shù)在投籃總數(shù)中的占比。

總結(jié)：其實(shí)命中率就是投中次數(shù)是投籃總數(shù)的幾分之幾，它可以用來(lái)判斷投籃水平的高低。

師：請(qǐng)你說(shuō)一說(shuō)60%表示什么意思？

生1：把投籃總數(shù)看成一百份，投中的占了其中的60份。

生2：也可以說(shuō)成投中次數(shù)是投籃總數(shù)的百分之六十。

任選一個(gè)百分?jǐn)?shù)，同桌互相說(shuō)一說(shuō)。

2.從生活實(shí)際理解百分?jǐn)?shù)的意義

為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解百分?jǐn)?shù)的意義，將百分?jǐn)?shù)與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)，學(xué)生自主舉例，如：生活中衣服的羊毛含量、果汁中純果汁的含量、中獎(jiǎng)率等，通過解釋生活中的百分?jǐn)?shù)的含義，幫助學(xué)生理解其中的數(shù)量關(guān)系，從而抽象出百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義。

【片段四】

師：那百分?jǐn)?shù)只能表示命中率嗎？生活中哪里還有百分?jǐn)?shù)？

生：舉例說(shuō)意義。

師：看來(lái)百分?jǐn)?shù)可以表示的太多了，要怎樣描述才能把它表達(dá)的意思都包含進(jìn)去，百分?jǐn)?shù)表示什么呢？

生：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。

師：表示的是兩個(gè)數(shù)之間的（關(guān)系），這個(gè)關(guān)系就是我們學(xué)過的倍數(shù)關(guān)系。

在上述的教學(xué)片段中，從命中率和學(xué)生熟悉的百分?jǐn)?shù)入手，關(guān)聯(lián)多元生活經(jīng)驗(yàn)打通百分?jǐn)?shù)兩種意義的隔斷墻，即從統(tǒng)計(jì)意義（兩個(gè)隨機(jī)數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系）和算術(shù)意義（兩個(gè)確定數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系）兩個(gè)維度構(gòu)建百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義（一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾），進(jìn)一步理解百分?jǐn)?shù)兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系。數(shù)據(jù)是學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)，學(xué)生在對(duì)數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)和表達(dá)的過程中逐步地形成數(shù)據(jù)意識(shí)。

三、隨機(jī)現(xiàn)象中感悟百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義

1.分析比較，感受百分?jǐn)?shù)的隨機(jī)性

借助百分?jǐn)?shù)來(lái)刻畫數(shù)據(jù)的分布，引導(dǎo)學(xué)生清晰準(zhǔn)確地把握數(shù)據(jù)中的關(guān)鍵信息，有助于對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行判斷、做出決策。本案例中選用“投籃命中率”這一現(xiàn)實(shí)世界中的隨機(jī)現(xiàn)象導(dǎo)入百分?jǐn)?shù)，在幫助學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)意義的同時(shí)，通過對(duì)多組數(shù)據(jù)的比較體會(huì)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。

【片段五】

師：現(xiàn)在要在這5個(gè)人中推選一名同學(xué)代表班級(jí)參賽，該派誰(shuí)去呢？

生1：張致承。

生2：?jiǎn)螒{一次的成績(jī)還不能確定，有可能其他選手沒發(fā)揮好。

師：那該怎么辦呢？

生2：可以再比幾次。

師：都是這5個(gè)人，再多投幾次，命中率不應(yīng)該是一樣的嗎？

生：不一樣，有可能高，有可能低。比如某某同學(xué)，他投中的次數(shù)可能增加，命中率就會(huì)提高;也可能投中次數(shù)減少，命中率就會(huì)下降。

師：那投籃總數(shù)改變，命中率會(huì)變化嗎？

生：會(huì)。

師：來(lái)看這是鄧羽彤后5次的投籃情況，你發(fā)現(xiàn)什么？

生：投中次數(shù)在變，投籃總數(shù)也在變，命中率也跟著變化。

師：（出示其他4人后5天的數(shù)據(jù)）好的，再看看其余4人的，每次的命中率都一樣嗎？

生：不一樣。

總結(jié)：投中次數(shù)和投籃總數(shù)的改變，都會(huì)讓命中率發(fā)生改變。由于投中次數(shù)是隨機(jī)的，所以表示投中次數(shù)和投籃總數(shù)關(guān)系的百分?jǐn)?shù)它也是一個(gè)隨機(jī)數(shù)據(jù)。

2.呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，體會(huì)大數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性

對(duì)數(shù)據(jù)隨機(jī)性感悟除了知道同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，還應(yīng)通過多次數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)，讓學(xué)生感受到有足夠的數(shù)據(jù)就能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

【片段六】

師：現(xiàn)在我們有了5名同學(xué)6次的投籃數(shù)據(jù)，可以選出水平最高的那一個(gè)了嗎？

生1：看看誰(shuí)得第一的次數(shù)多。（有次數(shù)相同的，仍無(wú)法判斷）

生2：求6次的命中率的平均數(shù)。

（明確前6次的命中率并不是一個(gè)準(zhǔn)確值，求出來(lái)的平均數(shù)就會(huì)與實(shí)際的命中率有所偏差）

生3：每人6次投中的總數(shù)除以投籃總數(shù)算出命中率。

師：（表格出示計(jì)算結(jié)果）現(xiàn)在我們選誰(shuí)參賽？為什么第一次的命中率沒有做出決定，而現(xiàn)在就能確定了呢？

生：數(shù)據(jù)多了，算出來(lái)的命中率就更接近真實(shí)水平。

師：那如果是選拔參加奧運(yùn)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員，6次的數(shù)據(jù)夠了嗎？

生：不夠，要成百上千次。

師：是的，當(dāng)數(shù)據(jù)越多，穩(wěn)定性越強(qiáng)，進(jìn)而就能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，為我們做決策提供依據(jù)。

學(xué)生在理解百分?jǐn)?shù)的意義后，教師通過兩次追問引發(fā)學(xué)生對(duì)一次數(shù)據(jù)做決策的合理性進(jìn)行思辨，進(jìn)而讓學(xué)生親近數(shù)據(jù)，喚起對(duì)更多數(shù)據(jù)的需求。通過呈現(xiàn)數(shù)據(jù)、對(duì)比分析、交流討論，學(xué)生感受到“投籃總數(shù)”和“投中次數(shù)”的不確定性決定了百分?jǐn)?shù)是對(duì)隨機(jī)數(shù)據(jù)的表達(dá)和刻畫;統(tǒng)計(jì)結(jié)果的隨機(jī)性會(huì)引起百分?jǐn)?shù)的變化，隨著數(shù)據(jù)的增多，命中率這個(gè)百分?jǐn)?shù)穩(wěn)定性越強(qiáng)越能代表選手的實(shí)際水平，越具參考價(jià)值，從而為決策提供依據(jù)。進(jìn)而體會(huì)百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義，初步感受百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)價(jià)值，形成百分?jǐn)?shù)的數(shù)據(jù)意識(shí)。

四、應(yīng)用實(shí)踐，深化百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)價(jià)值

教師要引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中理解百分?jǐn)?shù)，在解決問題中應(yīng)用百分?jǐn)?shù)，發(fā)展數(shù)據(jù)意識(shí)，在實(shí)踐中深入體會(huì)百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)價(jià)值。

【片段七】

師：好的，孩子們，學(xué)校不僅要舉行投籃比賽，還要對(duì)六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行跳繩達(dá)標(biāo)測(cè)試。我們從六年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，記錄他們1分鐘跳繩個(gè)數(shù)，怎樣利用這些數(shù)據(jù)確定達(dá)標(biāo)線呢？

生：算出全年級(jí)平均數(shù)作為達(dá)標(biāo)線

追問：以平均數(shù)作為達(dá)標(biāo)線，一定會(huì)有一半人達(dá)標(biāo)嗎？

師：如果我們需要有一半的學(xué)生也就是50%的人達(dá)標(biāo)，要怎樣確定達(dá)標(biāo)線？

生：可以用成績(jī)排在第50名同學(xué)的跳繩個(gè)數(shù)作為達(dá)標(biāo)線。

師：如果要讓75%的學(xué)生達(dá)標(biāo)呢？怎樣確定達(dá)標(biāo)線？如果以第25名同學(xué)的成績(jī)作為達(dá)標(biāo)線，就有多少人達(dá)標(biāo)？多少人不達(dá)標(biāo)？

師：這就是百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)價(jià)值，幫助我們做出判斷和決策。

結(jié)合“確定六年級(jí)學(xué)生跳繩達(dá)標(biāo)線”實(shí)踐活動(dòng)，在解決問題的過程中，學(xué)生體會(huì)到百分?jǐn)?shù)這3個(gè)重要節(jié)點(diǎn)對(duì)判斷事物及決策的作用，進(jìn)一步感悟百分?jǐn)?shù)的意義，體會(huì)百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，形成初步的應(yīng)用意識(shí)。

綜上所述，《新課標(biāo)》將百分?jǐn)?shù)調(diào)整到“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域，作為統(tǒng)計(jì)量來(lái)進(jìn)行教學(xué)，主要是為了凸顯百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義。對(duì)于小學(xué)生而言，百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義是比較抽象的，其對(duì)隨機(jī)數(shù)據(jù)之間關(guān)系的表達(dá)和刻畫又是以百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義為前提。因此，在教學(xué)百分?jǐn)?shù)時(shí)，可用現(xiàn)實(shí)問題中的隨機(jī)數(shù)據(jù)為素材引入學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在理解百分?jǐn)?shù)意義的基礎(chǔ)上，打通“統(tǒng)計(jì)意義”和“算術(shù)意義”的隔斷墻，探尋百分?jǐn)?shù)從“數(shù)概念”到“統(tǒng)計(jì)量”的中間地帶，在真實(shí)情境的數(shù)據(jù)分析中體會(huì)百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，在多元經(jīng)驗(yàn)中理解百分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)之間倍數(shù)關(guān)系的本質(zhì)意義，在隨機(jī)現(xiàn)象的表達(dá)和刻畫中感受百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義，在解決問題的過程中應(yīng)用百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義，從而體會(huì)百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)。