李國(guó)強(qiáng)

【摘? ?要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將“數(shù)量關(guān)系”專(zhuān)設(shè)為一個(gè)學(xué)習(xí)主題，有利于培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，提高學(xué)生問(wèn)題解決能力，減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。數(shù)量關(guān)系作為一種心理圖式，其本質(zhì)是數(shù)學(xué)模型，源于問(wèn)題解決，根植于四則運(yùn)算。為更好地開(kāi)展“數(shù)量關(guān)系”主題教學(xué)，教師要重視問(wèn)題基本結(jié)構(gòu)分析，關(guān)注學(xué)生問(wèn)題解決思維培養(yǎng)，通過(guò)“創(chuàng)設(shè)多元化問(wèn)題情境”“利用直觀圖形”“重視問(wèn)題基本結(jié)構(gòu)分析”“體驗(yàn)數(shù)量關(guān)系建構(gòu)過(guò)程”“全程貫穿、循序漸進(jìn)”等措施，加深學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系學(xué)習(xí)進(jìn)階。

【關(guān)鍵詞】數(shù)量關(guān)系；核心素養(yǎng)；教學(xué)策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“2022年版課標(biāo)”）將“數(shù)量關(guān)系”專(zhuān)設(shè)為一個(gè)學(xué)習(xí)主題，凸顯對(duì)數(shù)量關(guān)系的重視。盡管數(shù)量關(guān)系是貫穿整個(gè)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容，但在2022年版課標(biāo)的“課程內(nèi)容”中，“數(shù)量關(guān)系”主題只出現(xiàn)在小學(xué)部分。因此，本文討論的內(nèi)容主要聚焦于小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系。

針對(duì)“數(shù)量關(guān)系”主題，很多教師存在一些困惑，諸如：何謂數(shù)量關(guān)系？數(shù)量關(guān)系的內(nèi)涵是什么？“數(shù)量關(guān)系”主題的內(nèi)容有哪些？學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)量關(guān)系有何教育價(jià)值？數(shù)量關(guān)系的教學(xué)策略有哪些？本文基于2022年版課標(biāo)中的“數(shù)量關(guān)系”主題，對(duì)上述問(wèn)題作深入探討，以幫助教師準(zhǔn)確把握課標(biāo)的理念，深入理解數(shù)量關(guān)系的內(nèi)涵，從而有效開(kāi)展“數(shù)量關(guān)系”主題的教學(xué)。

一、2022年版課標(biāo)中“數(shù)量關(guān)系”主題的教育價(jià)值

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)［1］1，數(shù)學(xué)的本質(zhì)表現(xiàn)在數(shù)量的關(guān)系之中［2］。因此，數(shù)量關(guān)系在數(shù)學(xué)中占有重要地位。2022年版課標(biāo)將原來(lái)分散的與問(wèn)題解決相關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行整合，形成了“數(shù)量關(guān)系”主題，這有助于教師整體理解和把握以數(shù)量關(guān)系與問(wèn)題解決為重點(diǎn)的教學(xué)內(nèi)容，充分發(fā)揮數(shù)量關(guān)系的教育價(jià)值。

（一）數(shù)量關(guān)系是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的主要載體

2022年版課標(biāo)立足學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。從小學(xué)階段核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)的相關(guān)表述中可以看出，數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、模型意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)等都與數(shù)量關(guān)系密切相關(guān)。例如，數(shù)感主要是指“對(duì)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟”，符號(hào)意識(shí)主要是指“能夠初步運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律”，模型意識(shí)主要是指“對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟”，應(yīng)用意識(shí)主要是指“能夠感悟現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的與數(shù)量和圖形有關(guān)的問(wèn)題，可以用數(shù)學(xué)的方法予以解決”。［1］7-102022年版課標(biāo)中“數(shù)量關(guān)系”主題的內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求與教學(xué)提示，都指向?qū)W生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。［3］

（二）分析數(shù)量關(guān)系是學(xué)生解決問(wèn)題的關(guān)鍵

數(shù)學(xué)的真諦是問(wèn)題解決、描述和理解結(jié)構(gòu)與模型。［4］數(shù)量關(guān)系就像是學(xué)生解決問(wèn)題的思維支架，有助于學(xué)生深入分析問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)和關(guān)鍵要素。如果小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不注重?cái)?shù)量關(guān)系分析，那么學(xué)生就將缺乏對(duì)解決問(wèn)題過(guò)程的體驗(yàn)和對(duì)解決問(wèn)題方法的提煉，這不利于學(xué)生形成解題策略、積累解題經(jīng)驗(yàn)。因此，分析數(shù)量關(guān)系是學(xué)生順利解決問(wèn)題的關(guān)鍵，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力必須重視數(shù)量關(guān)系教學(xué)。

（三）設(shè)立“數(shù)量關(guān)系”主題有助于減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)

數(shù)學(xué)中的基本數(shù)量關(guān)系是從大量實(shí)際問(wèn)題中抽象與總結(jié)出來(lái)的，它們深刻揭示了數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，為學(xué)生解決同類(lèi)問(wèn)題提供了思路與策略。理解和掌握這些基本的數(shù)量關(guān)系有助于學(xué)生舉一反三、觸類(lèi)旁通，進(jìn)而提高解題的靈活性和效率。在原來(lái)的課標(biāo)中，數(shù)量關(guān)系被分散在不同的領(lǐng)域，呈現(xiàn)零散化和碎片化的特征，導(dǎo)致數(shù)量關(guān)系教學(xué)被弱化。學(xué)生在面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常因?yàn)閷?duì)數(shù)量關(guān)系理解不透、解題思路混亂而感到困惑，由此增加了學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。2022年版課標(biāo)優(yōu)化了課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)，設(shè)立“數(shù)量關(guān)系”主題，能夠有效強(qiáng)化數(shù)量關(guān)系教學(xué)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果，減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。

二、2022年版課標(biāo)中“數(shù)量關(guān)系”主題的內(nèi)涵意蘊(yùn)

（一）數(shù)量關(guān)系的內(nèi)涵

2022年版課標(biāo)將數(shù)量關(guān)系定義為：“主要是用符號(hào)（包括數(shù)）或含有符號(hào)的式子表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系或規(guī)律?！保?］18盡管“數(shù)量關(guān)系”主題屬于小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，但它同樣存在于“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域。例如，長(zhǎng)方形面積與其長(zhǎng)和寬的關(guān)系、平均數(shù)與樣本數(shù)據(jù)的關(guān)系以及植樹(shù)問(wèn)題中的路長(zhǎng)與間隔和棵數(shù)的關(guān)系等，都屬于數(shù)量關(guān)系的范疇。為了深入理解數(shù)量關(guān)系，有必要對(duì)其內(nèi)涵作進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。

1.數(shù)量關(guān)系是一種圖式

圖式，作為認(rèn)知心理學(xué)中的一個(gè)概念，是指人腦中的一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)。其表征了對(duì)某個(gè)主題的綜合性知識(shí)，反映了某種事物或現(xiàn)象的基本特征和關(guān)系。以購(gòu)物為例，當(dāng)人們想到購(gòu)物時(shí)，腦海中會(huì)浮現(xiàn)超市、貨架、售貨員、顧客、收銀臺(tái)等相關(guān)信息，并預(yù)想自己購(gòu)物時(shí)的情境。從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，這種圖式集中體現(xiàn)為購(gòu)物過(guò)程中存在的數(shù)量關(guān)系，簡(jiǎn)化為關(guān)系式即付出的錢(qián)-購(gòu)物的錢(qián)=找回的錢(qián)。［5］

2.數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)是研究模式的科學(xué)，而數(shù)學(xué)模型則是將現(xiàn)實(shí)情境用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，從數(shù)量關(guān)系上對(duì)現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)行的描述與刻畫(huà)。數(shù)學(xué)模型通過(guò)去除非本質(zhì)信息，使數(shù)學(xué)問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。分析實(shí)際情境中的數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)哪Ｐ徒鉀Q問(wèn)題是數(shù)量關(guān)系作為學(xué)習(xí)主題的核心。［6］史寧中教授從數(shù)學(xué)模型的角度，將小學(xué)階段中的數(shù)量關(guān)系歸納為加法模型和乘法模型兩類(lèi)，并提出小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注的四個(gè)數(shù)量關(guān)系：總量模型、路程模型、植樹(shù)模型和工程模型。

3.數(shù)量關(guān)系源于問(wèn)題解決，根植于四則運(yùn)算

小學(xué)數(shù)學(xué)中的所有數(shù)量關(guān)系都源于現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題。沒(méi)有實(shí)際問(wèn)題，數(shù)量關(guān)系便失去了存在的意義。實(shí)際上，數(shù)量關(guān)系就是在解決問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)現(xiàn)象的分析和比較，在把握其本質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象和概括得到的。運(yùn)算的意義是抽象概括數(shù)量關(guān)系的依據(jù)。在小學(xué)階段，無(wú)論數(shù)量關(guān)系以何種形式出現(xiàn)，都離不開(kāi)加、減、乘、除四則運(yùn)算的意義。簡(jiǎn)而言之，小學(xué)階段的數(shù)量關(guān)系主要體現(xiàn)為加減關(guān)系、乘除關(guān)系以及復(fù)合關(guān)系。

（二）“數(shù)量關(guān)系”主題的內(nèi)容

在2022年版課標(biāo)中，“數(shù)量關(guān)系”主題出現(xiàn)在小學(xué)部分的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域。這一主題具體涉及哪些內(nèi)容？這些內(nèi)容中的數(shù)量關(guān)系包括哪些類(lèi)型？這里分別進(jìn)行梳理與分析。

1.“數(shù)量關(guān)系”主題的內(nèi)容要求

研讀2022年版課標(biāo)中的“課程內(nèi)容”可以發(fā)現(xiàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系主要針對(duì)生活情境、實(shí)際情境等，具體包括以下幾方面內(nèi)容：（1）用數(shù)或字母表示數(shù)量之間的關(guān)系和變化規(guī)律；（2）常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系，如加法模型、乘法模型等；（3）等式的性質(zhì)；（4）具體情境或?qū)嶋H問(wèn)題中的估算；（5）比和比例；（6）利用數(shù)量關(guān)系解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

2.數(shù)量關(guān)系分類(lèi)

從復(fù)雜程度來(lái)看，小學(xué)階段數(shù)量關(guān)系主要包括簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系、復(fù)合數(shù)量關(guān)系以及特殊數(shù)量關(guān)系。簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系可進(jìn)一步細(xì)分為分合關(guān)系和比較關(guān)系，其中分合關(guān)系涉及部總關(guān)系和份總關(guān)系，比較關(guān)系則包括相差關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系。復(fù)合數(shù)量關(guān)系則由上述四種簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系組合而成。特殊數(shù)量關(guān)系主要出現(xiàn)在購(gòu)物、工程和行程等特殊情境之中，如單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)、工作效率×工作時(shí)間=工作總量、速度×?xí)r間=路程等。從模型角度來(lái)看，常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系主要包括加法模型和乘法模型。此外，根據(jù)數(shù)量關(guān)系的表述形式，數(shù)量關(guān)系可分為直述數(shù)量關(guān)系和隱含數(shù)量關(guān)系。［7］直述數(shù)量關(guān)系是指題目直接呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，而隱含數(shù)量關(guān)系則是題目中未直接給出但學(xué)生早已學(xué)過(guò)的公式或常識(shí)性的數(shù)量關(guān)系，如長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬、1時(shí)=60分、鴨的腳數(shù)=2×只數(shù)等。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)中“數(shù)量關(guān)系”主題的教學(xué)策略

（一）創(chuàng)設(shè)多元化問(wèn)題情境，為理解數(shù)量關(guān)系奠定基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題主要由情境描述與數(shù)量關(guān)系構(gòu)成。在日常生活中，學(xué)生常常遇到購(gòu)物類(lèi)問(wèn)題，對(duì)其有充足的經(jīng)驗(yàn)。但對(duì)于工程、生產(chǎn)、科技等方面的問(wèn)題，由于與學(xué)生的生活距離較遠(yuǎn)，他們理解起來(lái)相對(duì)困難。解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于理解題意，并在已知條件與問(wèn)題目標(biāo)之間建立正確的情境表征。存在情境障礙的學(xué)生，往往難以準(zhǔn)確把握題目中的數(shù)量關(guān)系。

為培養(yǎng)學(xué)生的情境構(gòu)建能力，教師需要借助多元化的教學(xué)手段，如講述故事、閱讀數(shù)學(xué)繪本、模擬實(shí)際活動(dòng)場(chǎng)景、播放科普視頻等，呈現(xiàn)豐富多樣的問(wèn)題情境，為學(xué)生接觸并理解更廣泛的情境提供有力的支持。學(xué)生利用這些間接性經(jīng)歷，能逐步消除認(rèn)知的模糊性，理解情境問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)而增強(qiáng)對(duì)數(shù)量關(guān)系的把握，為提升問(wèn)題解決能力奠定基礎(chǔ)。隨著學(xué)生積累的情境不斷增加，他們將逐漸感悟到各類(lèi)數(shù)量關(guān)系的核心要點(diǎn)。例如：合并、增加、移入等都可采用加法運(yùn)算；減少、剩余、比多、比少等則可采用減法運(yùn)算；等量組聚集、長(zhǎng)方形面積計(jì)算、配對(duì)問(wèn)題等都可采用乘法運(yùn)算；平均分、包含、比分等則都可采用除法運(yùn)算。

（二）利用直觀圖形，實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的具象化

小學(xué)生的認(rèn)知水平尚處在從直觀感知到理性理解過(guò)渡的階段，他們往往難以準(zhǔn)確捕捉數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)信息并理解復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系。而幾何圖形具有直觀形象的特點(diǎn)，可以讓數(shù)量關(guān)系的分析更清晰、合理、全面、深入。［8］因此，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)充分利用幾何圖形的直觀性特點(diǎn)，通過(guò)示意圖、列表、線段圖等工具，幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

畫(huà)示意圖法指的是用“圓圈”“方框”等簡(jiǎn)單圖形來(lái)代表題目中的事物，以揭示事物之間的數(shù)量關(guān)系。如“苗族旅游長(zhǎng)桌宴”問(wèn)題：1張桌子可以坐4人，2張桌子可以坐6人，3張桌子可以坐8人。照這樣計(jì)算，如果旅游團(tuán)有40人，需要擺多少?gòu)堊雷?？解決此問(wèn)題可引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出示意圖（如圖1）。觀察示意圖不難看出：每增加1張桌子，就多坐2人。進(jìn)而得出數(shù)量關(guān)系：總?cè)藬?shù)=桌數(shù)×2+2。

列表法則通過(guò)在表格中一一列舉出已知量和未知量及其關(guān)系，將復(fù)雜的關(guān)系清晰化、條理化，便于學(xué)生找到其中隱含的數(shù)量關(guān)系。例如，在“烙餅問(wèn)題”中，借助列表，可以清晰、直觀地顯示出不同情況下的烙餅方法及餅數(shù)、烙的次數(shù)和所需時(shí)間之間的關(guān)系（如表1）。分析歸納后可以發(fā)現(xiàn)：烙餅最短時(shí)間=3×餅數(shù)（餅數(shù)≥2）（當(dāng)餅數(shù)=1時(shí)，烙餅最短時(shí)間=6分鐘）。

此外，畫(huà)線段圖也是解決復(fù)合問(wèn)題的常用方法，尤其在工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、年齡問(wèn)題等中更為常見(jiàn)。例如，在“年齡問(wèn)題”中，甲對(duì)乙說(shuō)：“當(dāng)我像你這么大歲數(shù)時(shí)，你剛好4歲?！币覍?duì)甲說(shuō)：“當(dāng)我長(zhǎng)成你這么大歲數(shù)時(shí)，你就61歲了?！奔?、乙今年各是多少歲？通過(guò)畫(huà)線段圖（如圖2），學(xué)生可以清晰、直觀地看出其中的數(shù)量關(guān)系：4+3×甲乙年齡差=61。據(jù)此可以求出甲乙年齡差=19，得到甲、乙年齡分別為42歲和23歲。

總的來(lái)說(shuō)，直觀感知是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)問(wèn)題情境和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，選擇合適的直觀圖形，幫助學(xué)生理解題意，找到解決問(wèn)題的突破口，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，最終解決問(wèn)題。

（三）重視問(wèn)題基本結(jié)構(gòu)分析，加深對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解

數(shù)學(xué)問(wèn)題由已知條件和問(wèn)題組成。學(xué)生必須厘清題目中條件與條件之間及條件與問(wèn)題之間的關(guān)系，才有可能做出正確解答。為幫助學(xué)生更好地理解問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，教師可采用補(bǔ)題、改題、編題等方式，加深學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)與運(yùn)用。

1.補(bǔ)題

題目：鳳凰小學(xué)二年級(jí)有學(xué)生165人，___________，五年級(jí)有多少學(xué)生？請(qǐng)?jiān)跈M線處補(bǔ)充條件。

本題要求利用已知的二年級(jí)學(xué)生人數(shù)，求出五年級(jí)學(xué)生人數(shù)。增加的條件必須是體現(xiàn)五年級(jí)與二年級(jí)學(xué)生人數(shù)關(guān)系的語(yǔ)句，如“五年級(jí)學(xué)生人數(shù)比二年級(jí)學(xué)生人數(shù)多33人”“五年級(jí)學(xué)生人數(shù)比二年級(jí)學(xué)生人數(shù)多20%”等。通過(guò)補(bǔ)題，學(xué)生可以加深對(duì)題目中數(shù)量之間相互依存關(guān)系的理解。

2.改題

題目：王叔叔從縣城出發(fā)去王莊送化肥，速度是40千米/時(shí)，路上用了3個(gè)小時(shí)，從縣城到王莊有多遠(yuǎn)？

學(xué)生完成此題后，教師可將題目改為：王叔叔從縣城出發(fā)去王莊送化肥，速度是40千米/時(shí)，路上用了3個(gè)小時(shí)，原路返回用了2小時(shí)，返回時(shí)平均每小時(shí)行多少千米？當(dāng)然也可以由學(xué)生自主改題。改變題目的條件和問(wèn)題，有助于加深學(xué)生對(duì)“路程=速度×?xí)r間”這一數(shù)量關(guān)系的理解。

3.編題

教師可以要求學(xué)生就某一主題（如購(gòu)物），按照單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)的關(guān)系編題。通過(guò)這種方式，不僅可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力，還可以提高他們的信息收集能力和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力。在指導(dǎo)學(xué)生編題時(shí)，教師應(yīng)遵循目的性、科學(xué)性、教育性的原則，使學(xué)生在理解數(shù)量關(guān)系的同時(shí)，形成正確價(jià)值觀、必備品格及關(guān)鍵能力。

（四）體驗(yàn)數(shù)量關(guān)系建構(gòu)過(guò)程，提高解決問(wèn)題的能力

多數(shù)小學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題解題中出錯(cuò)，其重要原因往往在于未能建立正確的數(shù)量關(guān)系，而非計(jì)算失誤。［10］復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題由若干個(gè)基本的數(shù)量關(guān)系組成，因此，正確構(gòu)建數(shù)量關(guān)系成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

學(xué)生在構(gòu)建數(shù)量關(guān)系時(shí)，通常會(huì)經(jīng)歷“具體事件—情境問(wèn)題—情境模型—數(shù)學(xué)模型”這一過(guò)程。例如，當(dāng)學(xué)生面對(duì)題目“小紅從杭州乘高鐵去北京旅游，用了4.5個(gè)小時(shí)，高鐵每小時(shí)行300千米，杭州到北京有多少千米？”時(shí)，他們首先會(huì)識(shí)別出小紅（不是小明，也不是小剛）乘高鐵這一具體事件。隨后，學(xué)生可能會(huì)遇到類(lèi)似的問(wèn)題：“小剛每天放學(xué)騎自行車(chē)回家，每分鐘行225米，10分鐘到家，學(xué)校離家有多遠(yuǎn)？”或“司機(jī)叔叔開(kāi)車(chē)送貨，每小時(shí)行70千米，4小時(shí)行多少千米？”通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的分析，學(xué)生逐漸從關(guān)注具體人物和場(chǎng)景轉(zhuǎn)向關(guān)注更普遍的路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系。他們將這些情境問(wèn)題中的共同本質(zhì)屬性提煉出來(lái)，形成如“路程=速度×?xí)r間”這樣的情境模型。在此基礎(chǔ)上，與幾個(gè)同類(lèi)的不同情境模型進(jìn)行對(duì)比，如購(gòu)物問(wèn)題中的“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”或工程問(wèn)題中的“工作效率×工作時(shí)間=工程量”等，最終提煉出更為抽象化的數(shù)量關(guān)系“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。

通過(guò)這樣的抽象概括過(guò)程，學(xué)生不僅實(shí)現(xiàn)了數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)化遷移和提升，為日后解決同類(lèi)問(wèn)題提供了方法和策略，還為學(xué)習(xí)更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。更重要的是，這種抽象和概括的能力有利于學(xué)生打通不同數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系，感到數(shù)量關(guān)系越學(xué)越簡(jiǎn)單，從而減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，提高其學(xué)習(xí)興趣。

（五）全程貫穿、循序漸進(jìn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系學(xué)習(xí)進(jìn)階

小學(xué)階段的數(shù)量關(guān)系主要包括簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系、復(fù)合數(shù)量關(guān)系以及特殊數(shù)量關(guān)系。2022年版課標(biāo)中的“數(shù)量關(guān)系”主題貫穿三個(gè)學(xué)段：第一學(xué)段主要是運(yùn)用四則運(yùn)算意義解決實(shí)際問(wèn)題，第二學(xué)段主要學(xué)習(xí)和運(yùn)用常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系，第三學(xué)段主要學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)量之間的關(guān)系或規(guī)律。

2022年版課標(biāo)在小學(xué)各學(xué)段“數(shù)量關(guān)系”主題的“學(xué)業(yè)要求”中都給出了明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)。教師需要根據(jù)各學(xué)段學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，遵循循序漸進(jìn)的原則，按學(xué)段目標(biāo)實(shí)施“數(shù)量關(guān)系”主題教學(xué)。在第一學(xué)段，重視四則運(yùn)算意義，有意識(shí)地讓學(xué)生體會(huì)數(shù)量關(guān)系。四則運(yùn)算的意義是運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，是最基本的數(shù)量關(guān)系模型，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)有深遠(yuǎn)影響。第二學(xué)段重點(diǎn)關(guān)注復(fù)合數(shù)量關(guān)系和特殊數(shù)量關(guān)系的教學(xué)。復(fù)合數(shù)量關(guān)系問(wèn)題涉及兩個(gè)或多個(gè)數(shù)量關(guān)系的綜合應(yīng)用，因此，需要學(xué)生具備分析、思考運(yùn)算順序和解題策略的能力。而特殊數(shù)量關(guān)系不僅是對(duì)四則運(yùn)算意義的運(yùn)用，也是解決更復(fù)雜問(wèn)題的基礎(chǔ)。第三學(xué)段需要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生理解含字母的數(shù)量關(guān)系，解決較復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生感受字母的一般性，滲透函數(shù)思想，培養(yǎng)初步的代數(shù)思維。較復(fù)雜問(wèn)題由于涉及不同現(xiàn)實(shí)情境，數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，是整個(gè)小學(xué)階段數(shù)量關(guān)系教學(xué)的重難點(diǎn)?？偠灾W(xué)階段數(shù)量關(guān)系的教學(xué)是一個(gè)由具體到抽象、由感性到理性、由定量到變量的過(guò)程。在這一過(guò)程中，教師應(yīng)注重低段的啟蒙、中段的鞏固以及高段的提升，確保學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中全程參與，循序漸進(jìn)地實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系學(xué)習(xí)的進(jìn)階。

2022年版課標(biāo)單獨(dú)設(shè)立“數(shù)量關(guān)系”主題，凸顯數(shù)量關(guān)系的教學(xué)意義。然而，這并不意味著數(shù)量關(guān)系應(yīng)被過(guò)分推崇，更不能退回到以前的做法：教師根據(jù)數(shù)量關(guān)系將實(shí)際問(wèn)題細(xì)分為多種類(lèi)型，然后要求學(xué)生記憶題型、套用公式，并通過(guò)題海戰(zhàn)術(shù)，訓(xùn)練學(xué)生的解題速度和所謂的“解題技巧”。這種做法會(huì)限制學(xué)生的思維能力，加重他們的學(xué)業(yè)壓力，甚至導(dǎo)致學(xué)生厭學(xué)。事實(shí)上，指向問(wèn)題解決的教學(xué)應(yīng)將重點(diǎn)聚焦于指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，分析條件與問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷構(gòu)建數(shù)量關(guān)系模型的抽象過(guò)程中，提高問(wèn)題解決能力及思維品質(zhì)，形成應(yīng)用意識(shí)、模型意識(shí)等核心素養(yǎng)。為此，數(shù)學(xué)教師須準(zhǔn)確把握2022年版課標(biāo)中“數(shù)量關(guān)系”主題的教育價(jià)值，深入理解“數(shù)量關(guān)系”主題的內(nèi)涵意蘊(yùn)，積極探討“數(shù)量關(guān)系”主題教學(xué)的有效策略，真正落實(shí)課標(biāo)理念，切實(shí)提高教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展和自身專(zhuān)業(yè)提升。

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（杭州師范大學(xué)中國(guó)教育現(xiàn)代化研究院）