王智星

摘要：在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中，引入問題解決理念，嘗試搭建開放式問題學(xué)習(xí)和探究情境，從問題啟思、合作討論、追問溯源、回問總結(jié)中，可更好地幫助學(xué)生全面掌握數(shù)學(xué)知識點(diǎn).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；問題解決模式；復(fù)習(xí)課教學(xué)

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）12-0035-03

復(fù)習(xí)課，顧名思義是對所學(xué)章節(jié)知識點(diǎn)的再現(xiàn)與回顧，也是高中數(shù)學(xué)重要課型之一.對于復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)，總體上聚焦章節(jié)內(nèi)知識點(diǎn)的邏輯關(guān)系，幫助學(xué)生認(rèn)識、理解數(shù)學(xué)思想和解題方法，升華學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力[1].問題解決模式，最顯著特點(diǎn)是將“問題”作為課堂教學(xué)的主線，引領(lǐng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、探索問題、解決問題.依托問題解決模式教學(xué)，可以強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)力、思維力和解題力.

1 問題的提出

問題解決模式是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)落地的有效途徑，能夠讓學(xué)生從問題解決中獲得必備品格和關(guān)鍵能力.高中數(shù)學(xué)學(xué)科，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等都是必備素養(yǎng)，而這些素養(yǎng)的獲得，可以通過問題解決教學(xué)模式來實(shí)現(xiàn).

本節(jié)課程的教學(xué)設(shè)計(jì)以“直線與方程”復(fù)習(xí)課為例，引入問題解決模式.問題的選擇由學(xué)生提，解決思路的確定由學(xué)生想，解題方法由學(xué)生說.課堂由“四問”構(gòu)成，即啟問、探問、追問、回問，依托問題情境，激活數(shù)學(xué)課堂.考慮到一節(jié)課課程容量的有限性，本節(jié)復(fù)習(xí)重點(diǎn)滲透“大單元”理念，從“直線”學(xué)習(xí)入手，探究與“直線”相關(guān)的解題方法，再延伸到對一般“曲線”的解題路徑.讓學(xué)生體認(rèn)“坐標(biāo)法”在解決幾何問題中的重要價值，感悟數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

2 案例呈現(xiàn)與教學(xué)過程分析

在對“直線與方程”章節(jié)復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)上，按照循序漸進(jìn)的認(rèn)知規(guī)律，將整個課程分為淺度開放、中度開放、深度開放三個環(huán)節(jié)，每一環(huán)節(jié)均由問題展開.通過問題來解釋本章節(jié)知識點(diǎn)，在問題解決中探究數(shù)學(xué)解題思路和方法，讓學(xué)生認(rèn)識、掌握“坐標(biāo)法”，并抓住高中數(shù)學(xué)解析幾何問題的解題精髓.

2.1 淺度開放設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)

在課堂伊始，引出問題：對本節(jié)所學(xué)的直線，請回憶并思考，采用的是什么方法？在直角坐標(biāo)系中，對于直線，需要通過兩個坐標(biāo)點(diǎn)來確定.如圖1所示，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），有直線l經(jīng)過點(diǎn)P，請思考，再增加一個條件，來確定并求出該直線l所對應(yīng)的方程.顯然，復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)，教師所設(shè)定的問題，要指向本節(jié)主要知識點(diǎn).對于“直線”的學(xué)習(xí)，認(rèn)識直線的構(gòu)成要素，了解直線方程及表示方法，分析直線與直線之間的關(guān)系，等等.

在本例中，有學(xué)生想到，可以增加“斜率”條件來確定直線l所對應(yīng)的方程；有學(xué)生想到，可以增加“某一個點(diǎn)”的坐標(biāo)，來確定直線l所對應(yīng)的方程；還有學(xué)生想到，可以增加“截距”來確定直線l所對應(yīng)的方程.斜率、點(diǎn)、截距，都是本節(jié)所涉及直線方程所要考慮的知識點(diǎn).在課堂上，為了便于學(xué)生對相關(guān)問題完成解答，結(jié)合學(xué)生的回答分別給出相應(yīng)條件，讓學(xué)生對照條件，來推導(dǎo)出直線l所對應(yīng)的方法.

問題1：當(dāng)增加的斜率為“2”時，則該直線方程如何表達(dá)？

問題2：當(dāng)直線l同時經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）、點(diǎn)Q（3，0）時，直線方程如何表達(dá)？

問題3：當(dāng)直線l在x軸、y軸上的截距相等時，直線方程如何表達(dá)？

問題1的解題思路：已知條件有點(diǎn)P坐標(biāo)，還有斜率k，則根據(jù)直線方程表達(dá)式y(tǒng)=kx+b，代入方程求出b的值，則推導(dǎo)出該直線l所對應(yīng)的方程；對于問題2：根據(jù)點(diǎn)P、點(diǎn)Q兩個點(diǎn)所對應(yīng)的坐標(biāo)，可以分別代入直線方程y=kx+b，求出k、b的值，即得到直線方程；對于問題3：給出的條件是經(jīng)過點(diǎn)P的坐標(biāo)，還有與x軸、y軸截距相等.在兩軸上，截距相等，可以有多種情形，而不同情形所對應(yīng)的直線方程也不同.比如，當(dāng)直線l過點(diǎn)P，并在第二象限與x軸、y軸截距相等時，可以計(jì)算出直線的斜率為“1”，還可以在第一象限、第四象限共計(jì)三種情形.可見，截距相等關(guān)系具有開放性，需要學(xué)生能夠打開思維，考慮多種情況下的直線方程.

最后，引出“回問”，從上述直線方程的求解中，請學(xué)生思考：表示直線方程有哪幾種形式？這些形式能否表示平面內(nèi)的所有直線？直線方程之間能互化嗎？在組織學(xué)生對直線方程表達(dá)形式的討論后，對所復(fù)習(xí)的知識點(diǎn)進(jìn)行綜合，借助思維導(dǎo)圖來厘清知識點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系如圖2所示.

對直線方程的表達(dá)方式主要有三種，即點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式.考慮到特殊情況，對垂直于坐標(biāo)軸的情形除外.點(diǎn)斜式中，還存在斜截式情形；兩點(diǎn)式中，還存在截距式.對于一般式，則可以表示平面內(nèi)的所有直線.

2.2 中度開放設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)

復(fù)習(xí)課上，對問題解決模式的應(yīng)用，所設(shè)置的問題還要強(qiáng)調(diào)對學(xué)生問題意識、質(zhì)疑精神的激發(fā)，讓學(xué)生能夠從問題解決中積累數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗(yàn).關(guān)于“直線與方程”章節(jié)的復(fù)習(xí)，引入變式問題，如圖3所示.

某直線l過點(diǎn)P（1，2），與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn).請思考，增加某一條件，來確定直線并求出直線l所對應(yīng)的方程.問題的引出，要給予學(xué)生思考的時間.教師要適當(dāng)啟發(fā)學(xué)生，聯(lián)系本章所學(xué)的知識點(diǎn)，翻閱教材，拓寬思路.對該問題的設(shè)計(jì)，意圖在于讓學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)姆绞絹砬蠼庵本€方程.題意中，直線的位置具有開放性，為學(xué)生討論、探究搭建了空間.對相關(guān)題型的回憶，有學(xué)生想到了“待定系數(shù)法”.將學(xué)習(xí)主動權(quán)交給學(xué)生，鼓勵學(xué)生展開交流、碰撞思維，突出“學(xué)中做”“做中學(xué)”.對方程思想的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生主動去發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題.有學(xué)生根據(jù)題設(shè)已知條件，想到了三角形的周長、面積、線段PA=2PB、向量PA·PB等條件，讓一道題目變成了多道題目.

比如，結(jié)合圖3，當(dāng)S△AOB=3時，求直線l所對應(yīng)的方程.在解析中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)△AOB的面積為3，所得結(jié)果無解.有學(xué)生對“無解”感到疑惑，懷疑自己是不是解錯了.通過檢驗(yàn)，之所以出現(xiàn)“無解”情形，主要是因?yàn)槿切蔚拿娣e，與邊長有一定范圍有關(guān).如果改變面積值，再對比有解的條件下，求出直線l所對應(yīng)的方程.在這個過程中，對于三角形的面積，又適度延伸新的數(shù)學(xué)問題“最值問題”.

再如，某例題中，過點(diǎn)P（1，2）的直線l與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時，直線l所對應(yīng)的方程是什么？針對條件△AOB面積最小，學(xué)生需要運(yùn)用不等式來求解，最終得出直線方程為2x+y-4=0.對該題進(jìn)行變式訓(xùn)練，同樣過點(diǎn)P（1，2）的直線l，再給出l′所對應(yīng)的方程為x+y-5=0.請思考，對這兩條直線，可以提出哪些問題？這一設(shè)計(jì)旨在轉(zhuǎn)變教學(xué)重點(diǎn).前面所講內(nèi)容，側(cè)重于對直線方程的求解方法，接下來，通過兩條直線方程，讓學(xué)生思考直線與直線之間的位置關(guān)系.在平面坐標(biāo)系中有兩條直線，以提問的方式，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)兩條直線的位置關(guān)系問題，進(jìn)而滲透數(shù)形結(jié)合思想、方程思想，夯實(shí)學(xué)生的“四能”.

學(xué)生通過回顧，同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有三種，即平行、垂直、相交.對已知直線l與直線l′，前者的條件有過點(diǎn)P的坐標(biāo)，后者有具體的直線方程.由此，學(xué)生對這兩條直線編寫問題如下：當(dāng)直線l與l′平行時，直線l所對應(yīng)的方程是什么？在解法上，兩條直線平行，則具有相同的“斜率”，可以根據(jù)l′的斜率，點(diǎn)P（1，2）的坐標(biāo)，得到直線l方程.還可以編寫問題如下：當(dāng)直線l與l′垂直時，直線l所對應(yīng)的方程是什么？在解法上，兩條直線垂直，根據(jù)兩個斜率乘積之值為“-1”，可以據(jù)直線l′的斜率，得出直線l的斜率，進(jìn)而求解出直線l的方程.還可以編寫問題如下：當(dāng)直線l與l′相交時，求解直線l的斜率k的取值范圍.這一問題的設(shè)計(jì)具有開放性，兩直線相交，交點(diǎn)的位置有幾種情況？如果兩條直線的交點(diǎn)在第一象限，則直線l的斜率k取值范圍是多少？

2.3 深度開放設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)

前面兩個環(huán)節(jié)所設(shè)計(jì)的問題，利用變式訓(xùn)練為學(xué)生創(chuàng)設(shè)多種可能的解題空間.接下來，走向深度的開放題設(shè)計(jì)：某題中，已知點(diǎn)P（1，2），直線l′對應(yīng)的方程為x+ty-5=0.據(jù)此，可以提出哪些問題？該題題設(shè)條件y項(xiàng)系數(shù)由“1”變成了“t”，將固定的直線變成了可動的直線.再對照點(diǎn)P的左邊，一個點(diǎn)與一條可變的直線之間，有學(xué)生想到了利用點(diǎn)到直線的距離來設(shè)置問題，也有學(xué)生想到了定點(diǎn)問題.這些問題，其設(shè)計(jì)較為簡單.比如，某直線l′，恒過某定點(diǎn)；或者，某直線l′，求點(diǎn)P到該直線的距離最大值.

教師通過啟發(fā)，讓學(xué)生從“代數(shù)”視角，再延伸新的問題.比如，在坐標(biāo)系中，有直線l′，對應(yīng)方程為x+ty-5=0，直線l，對應(yīng)方程為tx-y-t+2=0.當(dāng)這兩條直線相交于點(diǎn)Q，可以提出哪些問題？直線l′和直線l都變成了動線，由前面的“一動”過渡到“兩動”，讓學(xué)生運(yùn)用直線的性質(zhì)，來分析兩條可動直線之間的關(guān)系.顯然，對該題提出問題，難度較大，對兩條動態(tài)直線的討論，進(jìn)一步提升學(xué)生的“四能”能力.如圖4中，直線l′與直線l相較于點(diǎn)Q，求△QAP的面積最大值.

據(jù)直線l′方程可知，該直線交x軸于點(diǎn)A（5，0）該點(diǎn)為恒定點(diǎn).據(jù)直線l方程可知，該直線恒過定點(diǎn)P（1，2）.再對照圖形可知，兩直線始終處于垂直狀態(tài).由此可得，兩直線垂直，則可以根據(jù)線段QA與QP的長度，得到△QAP的面積.再對該題進(jìn)行變式訓(xùn)練，當(dāng)直線l′與直線l相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡圖形是什么？

3 結(jié)束語

問題解決模式下的復(fù)習(xí)課教學(xué)，教師要對接“四基”和“四能”.借助章節(jié)主要知識點(diǎn)，通過問題變式設(shè)計(jì)，指導(dǎo)學(xué)生分析、思考、解決數(shù)學(xué)問題.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 孫丙虎，葛勇.高中數(shù)學(xué)中“智慧課堂，問題解決”復(fù)習(xí)課教學(xué)模式探究[J].讀寫算，2020，1181（34）：111-112.

［責(zé)任編輯：李璟］