鄭洪清

關(guān)鍵詞： MATLAB 函數(shù) 定積分 高等數(shù)學

中圖分類號： G642;O13-4 文獻標識碼： A 文章編號： 1672-3791（2024）01-0182-04

高等數(shù)學作為理工類本科生的一門公共基礎課，具有知識點繁多、內(nèi)容抽象和計算復雜等特點，再加之學時受限，導致眾多學生對該門課程學習效果較差。因此，在高等數(shù)學授課過程中，如何展示知識點的應用場景、抽象內(nèi)容可視化、復雜計算簡單化和激發(fā)學生的學習興趣和動手能力是每位教師必須思考的問題。已有多位學者將MATLAB 軟件輔助高等數(shù)學教學的研究［1-4］和提升學生能力的研究［5-6］，這些研究基本上都是調(diào)用MATLAB 軟件的自帶函數(shù)進行求解，而對函數(shù)的內(nèi)部實現(xiàn)機制并未探討，這樣會導致有的學生對有些概念比如定積分的定義理解不透。尤其對計算機類專業(yè)學生來說，如何利用代碼理解定積分的“分割取近似，求和取極限”的這一過程是學習的一個難點。本文將探討對計算機類專業(yè)學生來說如何使用MATLAB 軟件輔助高等數(shù)學學習，主要展示某些知識點在計算機中的應用場景以及如何利用定義自行編寫代碼求解定積分，此舉不僅使學生體驗了知識點的應用場景，還激發(fā)了學生的學習積極性和動手能力，同時也培養(yǎng)了他們利用專業(yè)知識解決數(shù)學問題，實現(xiàn)學科的交叉融合，達成學以致用之目的。

1 MATLAB 展示函數(shù)的應用場景

在高等數(shù)學的第一章分別介紹了分段函數(shù)、反函數(shù)、復合函數(shù)和初等函數(shù)等，這些函數(shù)大都在中學時期都已經(jīng)學過。傳統(tǒng)的教學方法通常展示函數(shù)圖像并介紹其性質(zhì)，對其應用場景涉及甚少，學生在學習過程中感覺枯燥乏味，浮光掠影。而利用MATLAB 軟件教學則可以呈現(xiàn)知識點的具體應用場景，例如：在講解冪函數(shù)y = x^a 時，可以通過MATLAB 軟件形象展示其指數(shù)取不同數(shù)值時函數(shù)的圖形，如圖1 所示。

在MATLAB 軟件中編寫如下代碼便可實現(xiàn)上述圖像。

%利用MATLAB 繪制冪函數(shù)圖像

x=0：0.01：1；%聲明變量x，且指定x 的范圍從0 到1，間隔為0.01

r1=［0.04，0.1，0.2，0.4，0.67，1，1.5，2.5，5，10，25］；%聲明指數(shù)變量并指定其取值

xx=0.01：0.089：1；

for i=1：length（r1）

plot（x，x.^r1（i））；%畫冪函數(shù)圖形

hold on；%連續(xù)繪制

text（xx（i），xx（i）.^r1（i），num2str（r1（i）））；%標注指數(shù)及位置

end

那么該函數(shù)在現(xiàn)實問題中有何具體應用呢？為拓展其應用范圍和激發(fā)學生學習興趣，將其應用于灰度圖像的增強處理。

例1 利用冪函數(shù)應用圖像2，注意觀察指數(shù)取不同數(shù)值時圖像效果的變化情況。

從圖2 和圖3 的效果圖可知，指數(shù)取不同數(shù)值時圖像對比度完全不同，當指數(shù)為1.1 時圖像效果對比度顯著增強；當指數(shù)為0.9 時圖像效果對比度明顯變暗。讓學生直觀感受原來簡單的冪函數(shù)還有灰度圖像增強或減弱作用，大大激發(fā)了學生學習樂趣。對于其他分段函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等都可以仿照該方式進行教學，體會學以致用。

在MATLAB 軟件中編寫如下代碼便可實現(xiàn)灰度圖像增強或減弱效果：

img=imread（'Fig_einstein_low.tif'）；%導入圖像

a1=1.1；%指數(shù)值

a2=0.9；%指數(shù)值

［r，c］=size（img）；%獲取圖像的行列

img1=double（img）；%將圖像數(shù)值轉(zhuǎn)換為雙精度

for i=1：r

for j=1：c

img2（i，j）=img1（i，j）.^a1；%計算冪函數(shù)值

img3（i，j）=img1（i，j）.^a2；%計算冪函數(shù)值

end

end

subplot（1，2，1）；

imshow（uint8（img2））；

title（'指數(shù)a=1.1 時'）；

subplot（1，2，2）；

imshow（uint8（img3））；

title（'指數(shù)a=0.9 時'）；

2 MATLAB 在定積分中的應用

2.1 一元函數(shù)定積分

一元函數(shù)定積分的幾何意義是求曲邊梯形的面積，采用“分割取近似，求和取極限”的思想，具體如圖4 所示。高等數(shù)學中介紹定積分的求解方法一般使用牛頓—萊布尼茨公式，很少利用定義求解，是因為利用定義求解過程繁瑣且容易出錯，但對有些函數(shù)來說，很難找到其原函數(shù)，因此，需要借助定積分的定義求其數(shù)值解。雖然可以直接調(diào)用MATLAB 的integral 函數(shù)求定積分，但大部分學生對利用定義求解定積分的過程并未理解，對integral 函數(shù)求定積分的內(nèi)部實現(xiàn)機制并不明白。尤其對計算機類專業(yè)學生來說，如何用定義實現(xiàn)定積分的求解過程比較重要：一方面可以深入理解定積分的定義及幾何意義；另一方面實現(xiàn)學科的交叉融合及為后續(xù)課程學習夯實基礎。

運行結(jié)果得如圖5 所示，所圍成陰影圖形的面積即為定積分的結(jié)果。

解1：利用integral 函數(shù)求解定積分。

在MATLAB 中編寫代碼如下：

fun=@（x）x.^2

ans=integral（fun，0，1）

運行結(jié)果ans=0.3333。

解2：利用定積分定義自行編寫代碼。

%在0-1 區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生n=100 個隨機點

x=rand（1，100）；

x=sort（x）；

x=［0 x 1］；

sum=0；

for i=1：length（x）-1

delta_x=x（i+1）-x（i）；

sum=sum+（x（i）+delta_x/2）.^2*（x（i+1）-x（i））；

end

運行結(jié)果與上述方法一致。

2.2 二元函數(shù)定積分

二元函數(shù)定積分簡稱二重積分，其幾何意義即是求曲頂柱體的體積，實施過程與一元函數(shù)定積分類似，均是“分割取近似，求和取極限”。下面以二重積分在直解坐標系下的計算為例加以闡釋，如圖6 所示。很多學生空間想象力較弱，不能準確繪制題目所給的區(qū)域，導致無法順利求解，但如果能借助MATLAB 軟件作圖，則能直觀展示空間圖形從而使問題迎刃而解。

例3 求由4 個平面x = 0x = 1y = 0y = 1 所圍的柱體被平面z = 0及2x + 3y + z = 6截得的立體的體積。

在MATLAB 中編寫如下代碼：

［x，y］=meshgrid（0：0.01：1）；

z=6-2*x-3*y；

meshz（x，y，z）；%將曲面加上圍裙

xlabel（'x'）；

ylabel（'y'）；

zlabel（'z'）；

運行結(jié)果得如圖7 所示。

可見，在MATLAB 軟件中也可輕而易舉地實現(xiàn)立體圖形的繪制，增強了學生的空間想象力。由于二重積分在計算過程是分兩次一重積分來實現(xiàn)的，但在計算過程中會碰到與一重積分同樣的問題，即原函數(shù)難以求解，故可調(diào)用MATLAB 軟件自帶quad2d 函數(shù)或二重積分的定義自行編寫代碼求解，這樣既理解了定積分定義的過程又訓練了交叉學科的融合。

解1：利用MATLAB 自帶函數(shù)求解代碼。

fun=@（x，y）6-2*x-3*y；

x_min=0；

x_max=1；

y_min=0；

y_max=1；

result=quad2d（fun，x_min，x_max，y_min，y_max）

運行結(jié)果ans=3.5000

解2：利用二重定積分定義自行編寫代碼。

x=0：0.01：1；

y=0：0.01：1；

sum=0；

for i=1：length（x）-1

delt_x=x（i+1）-x（i）；

dx=x（i）+delt_x/2；

for j=1：length（y）-1

delt_y=y（i+1）-y（i）；

dy=y（j）+delt_y/2；

sum=sum+delt_x*delt_y*（6-2*dx-3*dy）；

end

end

sum

運行結(jié)果與上述方法一致。

上述利用定義自行編寫代碼求解定積分的過程中，未使用求極限這一步驟，僅僅體現(xiàn)幾何圖形分割得越細，計算結(jié)果越精確，它是一種計算定積分數(shù)值解的有效方法，對理解定積分的定義及幾何意義均有所幫助。因此，在授課過程中教師應使用數(shù)形結(jié)合和動手實踐，讓學生對所學內(nèi)容掌握得更扎實。正所謂“耳聽千遍，不如手過一遍”。

3 結(jié)語

本文以計算機類專業(yè)為例，從函數(shù)應用場景、一元函數(shù)定積分以及二元函數(shù)定積分這3 個方面展示了MATLAB 軟件輔助高等數(shù)學教學，不再停留在傳統(tǒng)的“黑板+粉筆”和多媒體授課方式，而是呈現(xiàn)知識點的具體應用場景，利用自行編寫代碼理解定積分的定義，從而激發(fā)學生的學習興趣和動手能力，實現(xiàn)學科的交叉融合，提高教學質(zhì)量和效果。