王琛

［摘? 要］ 用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界是學生核心素養(yǎng)的一個重要方面，抽象能力是數(shù)學眼光在小學階段的主要表現(xiàn)，因此如何提升學生抽象能力是小學階段教學的重點。研究者結(jié)合課例從“抽象出數(shù)或圖形的能力”“抽象出數(shù)量關(guān)系的能力”“抽象出圖形關(guān)系的能力”等三個方面具體分析如何培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學的眼光；抽象能力；能力培養(yǎng)；作業(yè)設(shè)計

抽象能力是指通過對現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學的研究對象，形成數(shù)學概念、性質(zhì)、法則和方法的能力。抽象是指在同類事物中抽取出共同本質(zhì)屬性，而舍棄其非本質(zhì)屬性的過程和方法。人類通過不斷的抽象，才獲得對自然界的本質(zhì)認識。正是通過抽象，人們在思想上把個別的東西從個別性提高到特殊性，再從特殊性提高到普遍性，從而真正地、深刻地理解和把握現(xiàn)實世界。

一、理法交融：抽象出數(shù)或圖形的能力

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱新課標）在第一學段的目標中要求學生“經(jīng)歷簡單的數(shù)的抽象過程”“形成初步的量感和空間觀念”，要求學生在教師引導下把數(shù)學學習的對象從具體事物或現(xiàn)象中抽象出來，感悟、理解和掌握相關(guān)概念的數(shù)學本質(zhì)，獲得數(shù)感和量感。在上述抽象過程中，學生的數(shù)學抽象能力和數(shù)學素養(yǎng)獲得發(fā)展。

筆者執(zhí)教“7的乘法口訣”時，詳細地開展了“把具體問題抽象成幾個幾相加的數(shù)學問題，寫出乘法算式，根據(jù)乘法算式編制相應(yīng)的乘法口訣”的活動。學生能把新舊知識很好地關(guān)聯(lián)起來，并將已有的學習活動經(jīng)驗遷移過來。筆者提出的實際問題是用7個三角形擺1只小船（出示小船圖，如圖1）。大多數(shù)學生是一個一個地數(shù)三角形，數(shù)出有7個這樣的三角形。

擺1只小船用7個三角形就是1個7，用乘法算式表示是1×7=7。由理及法，理法交融，學生初步得出口訣“一乘七等于七”，為了簡單易背，優(yōu)化為“一七得七”的口訣（如圖2）。

筆者提出：“擺這樣的2只小船、3只小船、4只小船……7只小船，分別要用多少個三角形？”活動中筆者首先讓學生在教材提供的表格中，依次計算2個7、3個7、4個7……7個7相加的和，體會3個7比2個7多1個7、4個7比3個7多1個7……7個7比6個7多1個7的特征。

筆者接著提問學生：“算三角形的個數(shù)時，你們能想到什么？”以此把學生的思維引導到用乘法計算的方式和乘法口訣編制上來，然后依次抽象出1個7、2個7相加、3個7相加……7個7相加所對應(yīng)的乘法算式是1×7=7、2×7=14、3×7=21……7×7=49；最后根據(jù)上述乘法算式編出7的乘法口訣（如圖3）。

在此基礎(chǔ)上，筆者引導學生發(fā)現(xiàn)一句乘法口訣對應(yīng)兩個乘法算式，這為教學乘法交換律提前做了一個很好的鋪墊。

在教學“7的乘法口訣”中，筆者先借助由7塊三角形組成的小船圖對算理進行有效解釋，將連加抽象成“幾個7相加”，再轉(zhuǎn)化成乘法算式，最后通過口算過程抽象出乘法口訣，此教學過程真正做到了“理法交融”。

二、條分縷析：抽象出數(shù)量關(guān)系

數(shù)量是對現(xiàn)實生活中事物量的抽象，但是“數(shù)量不能作為數(shù)學研究的對象，數(shù)學研究的對象應(yīng)當是比數(shù)量更一般的抽象。為了實現(xiàn)更為一般的抽象，就必須把握數(shù)量的本質(zhì)，這個本質(zhì)表現(xiàn)在數(shù)量的關(guān)系之中”。數(shù)量關(guān)系的抽象是數(shù)學抽象的一個重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學生量感的重要途徑。

筆者執(zhí)教“解決問題的策略——列表”一課時，面對比較復雜的問題情境，首先和學生一起理解情境和題意，再根據(jù)情境所提供的信息摘錄條件，采取簡潔表達、整理列表等策略，試圖解決問題。這里體現(xiàn)了學生數(shù)學抽象能力的發(fā)展水平，不僅設(shè)計優(yōu)化列表策略時體現(xiàn)了數(shù)學抽象，而且體現(xiàn)在學生解決具體問題中先抽象出數(shù)量關(guān)系，然后再進行列式解答。

教師始終圍繞“四能”開展教學，先讓學生讀題并分析問題，感受六個條件比較凌亂，以激發(fā)學生有序整理的內(nèi)在需要，從而落實核心素養(yǎng)的要求。這樣，一部分學生從問題想起，整理了四個條件；一部分學生從條件想起，整理了六個條件。在解決例題的第一個問題時，學生覺得從問題想起更簡捷，教師重點強化列表整理的好處，體現(xiàn)了本課的一個教學重點。然后，教師出示例題的第二個問題：“杏樹比梨樹多多少棵？”這個問題讓從問題想起列表的學生立即發(fā)現(xiàn)自己需要再列一次表。這樣的引導讓學生領(lǐng)悟需要靈活地使用列表策略，要根據(jù)不同情況有針對性地列表，以便更簡捷地解決問題（如圖4）。

執(zhí)教“筆算兩三位數(shù)除以一位數(shù)”一課時，筆者利用小棒操作來幫助學生自主理解豎式算理過程，一步一步地對豎式進行算理分析，從而讓每一個學生都能從實際問題中容易地抽象出豎式。本課主要安排了由外而內(nèi)、由具象到抽象、環(huán)環(huán)相扣的四個教學環(huán)節(jié)。

一是運用小棒演繹除法算式。教師讓學生先開展小組合作，共同完成擺小棒表示46÷2的過程，讓學生把這個過程畫到學習單上。通過擺一擺、畫一畫、算一算，能讓學生經(jīng)歷由具象到抽象的過程。

二是借助操作照應(yīng)除法豎式。教師組織學生交流并總結(jié)：整捆整捆地平均分，其實是在分4個10；一根一根地平均分其實是在分6個1。其中，先分4個10，每份有2個10，正好分完，對應(yīng)豎式中2為什么要寫在十位上；再分6個1，每份3個1，正好分完，對應(yīng)豎式中3寫在個位上的意義。

三是依據(jù)操作整體思考除法。結(jié)合分小棒的操作過程，讓學生思考：“你打算怎樣算46÷2呢？”要求學生仔細思考，把想法寫到學習單相應(yīng)的位置上。

四是聯(lián)系操作分步理解豎式。利用小棒圖聯(lián)系幾種不同的方法，再次深化算理理解。教師結(jié)合小棒操作過程，引導學生指出豎式中的兩個“4”，分別表示“要分的4個10”和“分掉的4個10”；豎式中的兩個“6”，分別表示“要分的6個1”和“分掉的6個1”。如此細致引導，可讓每一個學生通過本課的學習都能從實際問題中很容易地聯(lián)系學具操作，由外而內(nèi)有序內(nèi)化，順利抽象出豎式。這樣，就讓學生對除法豎式推進理解成為數(shù)學抽象思維的必然過程。

該課例題、操作圖示和豎式推進抽象過程的投影、板書如圖5所示。

不論是“解決問題的策略——列表”一課，還是“筆算兩三位數(shù)除以一位數(shù)”一課，教師要關(guān)聯(lián)學生生活實際進行教學，抽象成小棒圖或分析數(shù)量關(guān)系，讓學生抽象出數(shù)學算式。這樣的一系列過程都是抽象的過程，能充分體現(xiàn)教師在教學中關(guān)注培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

三、多維進階：抽象出圖形關(guān)系

新課標把義務(wù)教育階段幾何初步知識的學習內(nèi)容歸納為“圖形與幾何”。通過圖形與幾何的教學，引導學生從立體到平面，從物體到圖形，抽象出以圖形表征的空間觀念，進而抽象出圖形關(guān)系。小學階段的圖形關(guān)系學習主要包括圖形本身的性質(zhì)、圖形與圖形之間的關(guān)系。筆者在圖形關(guān)系學習專題教研中，一直努力體現(xiàn)數(shù)學抽象思想，使之落實于課堂教學活動。

1. 抽象感悟圖形性質(zhì)

圖形關(guān)系是指圖形與圖形之間相聯(lián)系的關(guān)系，它建立在單個圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)之上。因此，圖形關(guān)系的抽象必須以圖形性質(zhì)的抽象為前提。比如，在“認識角”一課教學時，筆者課前利用學習單，布置學生從生活中角的現(xiàn)象進行初步感知。課堂上出示展開的紅領(lǐng)巾、擺放的三角尺、張開的剪刀等，讓學生從中描畫出角，舍棄材質(zhì)、顏色、刻度線和開口大小、朝向、邊的長短等非本質(zhì)特征，保留和突出兩條邊共有一個頂點的張開的圖形；讓學生感知這就是對角的特征的抽象，從而給出描述性的定義“這些圖形都是角，角有一個頂點和兩條邊”。通過再抽象，引導學生進一步體會“角的兩條邊是直線”。

2. 抽象理解圖形關(guān)系

在對圖形性質(zhì)抽象的基礎(chǔ)上考量幾個相關(guān)圖形，學生就會進入對圖形關(guān)系的抽象理解過程。筆者在執(zhí)教“認識長方形和正方形”時，發(fā)現(xiàn)學生知道“正方形是一個特殊的長方形”，但是三年級學生不容易理解這個知識點。因此理解這些圖形的關(guān)系，學生需要依靠直觀操作。在教師的引導下，讓學生發(fā)揮主體表象和語言外化的表征作用，經(jīng)過分析、綜合、比較等思維過程，逐步抽象概括而成。教師要讓學生分別歸納：長方形有四條邊，對邊相等，四個角都是直角；正方形四條邊都相等，四個角都是直角。經(jīng)過對比和比較觀察，讓學生思考長方形和正方形相同的地方：長方形的所有特點在正方形中都存在。因此，正方形就是長方形，不過它是一種比較特殊的長方形，其特殊之點在于鄰邊相等，即長邊等于寬邊。

3. 抽象表征圖形關(guān)系

學生作為主體一旦理解了某種圖形關(guān)系，得到了確認，就會產(chǎn)生一種表達反應(yīng)的需要。這樣學生借助初步的邏輯思維，學會區(qū)分和比較兩種圖形的內(nèi)涵和外延，會選用合適的形式把這種關(guān)系從邏輯的層次上表征出來。比如，讓學生把長方形和正方形之間的圖形關(guān)系運用圖式抽象出來，學生往往都會畫出大圈（長方形）套小圈（正方形）的集合圖。這種圖式其本身也是一種簡捷的抽象，它表達的含義就是：（在內(nèi)涵特征上）長方形包含著正方形，而正方形是一種特殊的長方形。

四、指向素養(yǎng)：數(shù)學抽象作業(yè)設(shè)計

數(shù)學抽象作為一種學科核心素養(yǎng)，它會作為學生的一種關(guān)鍵性能力反映出來，而且會顯示其不同的發(fā)展水平。把握和區(qū)分數(shù)學抽象能力的層次和水平，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力。教師在平時數(shù)學教學研究中要經(jīng)常收集能體現(xiàn)數(shù)學抽象能力素養(yǎng)的例題，通過潛心研究設(shè)計、精心編排，以此提升學生的抽象思維能力。

（1）選擇合適的字母序號填入括號中。

在下圖中，將長方形沿一條直線剪開，不可能得到的圖形是（? ? ）。

該題答案選A，其考查點是：抽象出圖形關(guān)系的能力。

（2）計算4.75+3.4=（? ? ），并說明理由。說明理由時，可以畫一畫，也可以聯(lián)系生活中的例子寫一寫。

該題考查點是：抽象出整數(shù)、小數(shù)不同計數(shù)單位以及用圖形表征不同小數(shù)的能力。

（3）王大爺把收摘的蘋果裝在同樣大的柳條筐里，一共裝了40筐。他從中任意選了5筐稱了稱，分別凈重31千克、29千克、32千克、32千克、28千克。請幫王大爺估算一下，他這次收摘的蘋果大約有多少千克？寫出估算過程。

該題考查點是抽象出數(shù)量關(guān)系的能力：①可以歸納5個數(shù)的特征是每筐接近30千克；②可以算出所稱的5筐平均數(shù)是30.4千克，再乘40筐，約1200千克；③可以先算出5筐總數(shù)是152千克，它的8倍（40÷5）是1200千克。

類似這樣的指向數(shù)學抽象能力培養(yǎng)的作業(yè)設(shè)計，有助于落實核心素養(yǎng)的相關(guān)要求，有助于激發(fā)學生的興趣。

五、未來展望：從數(shù)學的角度觀察世界

知識學習的完整過程，從廣義的角度分析可以分為三個階段，即意義的獲得、保持和提??；從狹義的角度來看，知識提取不僅是知識學習，還涉及技能學習。無論是從廣義角度，還是從狹義的角度，知識的獲得都離不開抽象的過程。學生對新知識的獲取會納入其原有的認知結(jié)構(gòu)，從而形成新的抽象結(jié)構(gòu)。在這個過程中，學生需要對所獲得的感性經(jīng)驗進行充分思維加工，這又是一種新的抽象——方法抽象。在學生知識學習與方法學習時，教師要滲透價值觀教育。

細研新課標與核心素養(yǎng)的要求，不難發(fā)現(xiàn)小學階段是發(fā)展學生抽象能力的起步階段，也是關(guān)鍵時期：一方面，小學生學習的數(shù)學知識、方法都是基礎(chǔ)的，這些知識、方法的形成過程蘊含著豐富的數(shù)學抽象思想，而且這些知識、方法及其蘊含的抽象思想是能被小學生感悟和理解的；另一方面，小學生思維發(fā)展的特點與需求決定其既適應(yīng)又能促進數(shù)學抽象能力的發(fā)展。對于教師而言，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力，促進其從數(shù)學的角度觀察世界、理解世界、表達觀點，需要教師加強意識性、計劃性和自覺性，因為它關(guān)系到學生核心素養(yǎng)的有序發(fā)展，是新時代數(shù)學教師的新使命。