劉士鋒 李士娟

作者簡介：劉士鋒，高級教師，齊魯名師建設工程人選，臨沂市教學能手，曾榮獲山東省小學數(shù)學優(yōu)質課一等獎，華東六省一市小學數(shù)學優(yōu)質課一等獎。

在學習整數(shù)除法和小數(shù)除法時，學生不僅要掌握算法，還要基于計數(shù)單位對算理進行表達，也就是初步形成“算理+算法”的知識結構和“基于計數(shù)單位對數(shù)進行均分”的思維結構。

一、激活已有經(jīng)驗，生成新問題

1.把8個月餅平均分給4個人，每人分得幾個？

師：怎樣列式？結果是多少？

生：8÷4=2（個）

生：就是把8個月餅平均分成4份，所以用除法，每份2個。

2.把1個月餅平均分給4個人，每人分得幾個？

生：1÷4=0.25（個）

師：你是怎樣想的？

生：把1個月餅平均分給4個人，每人分不到1個，所以商用小數(shù)表示。

師：是的，當每人分不到1個月餅時，可以用小數(shù)來表示。除了用小數(shù)表示1÷4的商外，還可以用什么數(shù)來表示呢？

【思考】創(chuàng)設學生熟悉的分月餅情境，引導學生借助已有的“總數(shù)÷份數(shù)＝每份數(shù)”的經(jīng)驗，列出相應的除法算式并用整數(shù)或小數(shù)表示結果，為后續(xù)學習運算的一致性提供素材，同時生成新的問題。

二、數(shù)形結合，尋求答案

1.用分數(shù)表示1÷4的商

師：在學習“分數(shù)的意義”時，我們有什么經(jīng)驗呢？

生：畫圖或折一折。

師：那我們先用畫圖的方法來看一看。

（課件出示畫圖的過程）

生：把1個月餅平均分成4份，每份是這個月餅的，是個，所以1÷4=（個），每人分得個。

師：1份是這個月餅的，是個，那3份是多少個呢？

生：個。

師：看來1個月餅的幾分之幾，就是幾分之幾個。

【思考】在之前“分數(shù)意義”的學習中，主要學習了分數(shù)對部分和整體關系的表達，缺少用分數(shù)表示數(shù)量的經(jīng)驗，使得學生對分數(shù)意義認識不全面，因此本環(huán)節(jié)借助畫圖和分數(shù)的意義，除了直觀地得到1÷4的商外，還增加了1個月餅的幾分之幾就是幾分之幾個的表述與理解，初步感悟分數(shù)既可以表示關系又可以表示具體的數(shù)量，為接下來的研究奠定知識基礎。

2.探究3÷4的商

課件出示：把3個月餅平均分給4個人，每人分得幾個？

學生借助學具，分一分，折一折，并進行匯報。

生：把每個月餅都平均分成4份，分別拿出1份，每個人就分得3份，把這3份拼在一起，就是1個月餅的，是個，所以3÷4=（個）。

方法2：

生：我是把3個月餅疊在一起平均分成4份，每人分得，里面有3小份，把它們拼在一起，就是1個月餅的，也就是個，所以3÷4=（個）。

【思考】在以往的教學中，本環(huán)節(jié)通常會讓學生解釋其中道理，每人分得3個個，這樣學生在描述的過程中非常拗口，通過實踐來看，可以幫助學生清晰地理解算理，故而借助操作尋求算式的結果淡化了說理。

3.探究5÷6的商

出示：把5個月餅平均分給6個人，每人分得幾個？

師：剛才我們借助畫圖或折紙的方法分別找到了1÷4和3÷4的商，如果我們不畫圖、不折紙，你能用分數(shù)表示5÷6的商嗎？

生：。

師：能說一說你是怎樣想的嗎？

生：我們可以把5個月餅分別平均分成6份，每個月餅拿出1份，拼在一起就是1個月餅的，是個，所以5÷6=（個）。

生：我們也可以把5個月餅疊在一起，平均分成6份，每人分得這樣的1份，然后把它們拼在一起，也得到1個月餅的，是個。

師：看來同學們很善于利用已有的經(jīng)驗來解決問題，那究竟對不對呢？我們借助圖形來驗證一下。（出示圖形驗證答案）

【思考】本環(huán)節(jié)不再借助具體操作，而是利用前一環(huán)節(jié)中的單個分或者整體分的研究經(jīng)驗，發(fā)揮想象，進行推理，有利于培養(yǎng)學生的推理意識，同時在描述分月餅的過程中進一步加深了理解。

三、觀察分析，探尋關系

師：如果把78個月餅，平均分給99個人，每人分得幾個呢？

生：

師：看來同學們已經(jīng)有所發(fā)現(xiàn)了，我們一起來看一看剛才的研究成果。

出示：1÷4=、3÷4=、5÷6=。

師：大家仔細觀察，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：這3個算式都是整數(shù)除法，在計算時，如果商不能用整數(shù)表示，就可以用分數(shù)來表示。

生：用分數(shù)表示整數(shù)除法的商時，分子和被除數(shù)一樣，分母和除數(shù)一樣。

師：是的，整數(shù)除法運算出現(xiàn)不夠除的時候，就產(chǎn)生了分數(shù)，而且用分數(shù)表示整數(shù)除法的商時，分子相當于除法算式中的被除數(shù)，分母相當于除法算式中的除數(shù)?？梢赃@樣表示：被除數(shù)÷除數(shù)=。會用字母來表示它嗎？

生：a÷b=。

生：在除法里除數(shù)不能是0，還得補充上b≠0。

師：真好，考慮得非常全面。請同學們繼續(xù)思考兩個問題：分數(shù)和除法有什么區(qū)別？你對分數(shù)有哪些新的認識？

生：有區(qū)別，除法是一種運算，而分數(shù)是一種數(shù)，不完全一樣。

生：我發(fā)現(xiàn)分數(shù)除了表示部分和整體的關系，還能表示一個具體的數(shù)量、除法計算的商。

生：我還有想法，如，原來只知道它表示把單位1平均分成4份，表示這樣的3份，大家看把3個月餅疊在一起平均分成4份的那個圖，它還可以表示把3平均分成4份，表示這樣的1份。

生：我來補充，看到還能想到3÷4這個算式。

【思考】通過觀察思考，學生能夠發(fā)現(xiàn)分數(shù)與除法的關系，在此基礎上引導學生思考，對分數(shù)有了進一步的認識，分數(shù)既可以表示部分與整體的關系，又可以表示具體數(shù)量和商，從而實現(xiàn)了整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)認識的一致性。

四、對比聯(lián)系，感悟一致性

師：剛才我們通過研究不僅知道了分數(shù)與除法的關系，還對分數(shù)有了更全面的認識，大家觀察下面幾個算式有什么新的發(fā)現(xiàn)呢？

出示：8÷4=2 1÷4= 3÷4=

師：我們先來看8÷4=2，大家能借助計數(shù)單位解釋其中的道理嗎？

生：我來說8÷4，8表示8個一，把8個一平均分成4份，每份分得2個一，所以商是2。

師：說得真不錯，那剩下的2個算式中又有怎樣的道理呢？比如1÷4=，誰能來說一說？

生：把1個一平均分成了4份，每份是，這樣1個一就變成了4個，把4個平均分成4份，每份是，所以商是。

師：再看3÷4=，它的道理呢？

生：我們把1個一平均分成4份，就變成了4個，把3個一平均分成4份，就變成了12個，把12個平均分成4份，每份就是3個，也就是。

師：研究到這里，大家有什么想說的？（學生陷入了短暫的沉默）

生：老師，我有發(fā)現(xiàn)，后面2個算式的商都不能用整數(shù)表示，這時就可以把幾個一平均分，這樣一來就變成了幾個幾分之一，就能用分數(shù)表示了。

生：我給補充一下，平均分的時候，就產(chǎn)生了一個新的分數(shù)單位，如把1平均分成4份，就產(chǎn)生了分數(shù)單位，把1平均分成6份，就產(chǎn)生了分數(shù)單位，這樣計數(shù)單位小了，但是計數(shù)單位的個數(shù)增加了，就夠分了。

師：同學們的發(fā)現(xiàn)太重要了，當商不能用整數(shù)來表示的時候，我們可以把大的計數(shù)單位，通過平均分產(chǎn)生新的小的計數(shù)單位，再進行運算。

出示：1÷4=0.25 1÷4=

師：這兩個算式都是計算1÷4，商一個是用小數(shù)表示，一個是用分數(shù)表示，大家還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：用小數(shù)表示的時候，就是把大的計數(shù)單位轉化成了0.1和0.01，用分數(shù)表示的時候是把大的計數(shù)單位轉化成了。

師：大家同意他的說法嗎？

生：同意。

生：我還有個疑問，要是這樣的話，8÷4的商是不是也可以用分數(shù)來表示？

師：提出一個問題比解決一個問題更有價值。那8÷4的商能不能用分數(shù)來表示呢？

生：我認為是可以的，1個一平均分成4份，就是4個，8個一就是32個，平均分成4份，1份就是8個，也就是。

師：理解得真透徹。我們一起來梳理一下，這些除法算式都是把什么進行平均分的？

生：計數(shù)單位。

生：可以根據(jù)需要把計數(shù)單位進行轉換。

師：是的，整數(shù)除法無論是用整數(shù)、小數(shù)還是分數(shù)來表示商，均分的都是計數(shù)單位，它們是一致的。通過對數(shù)的認識的學習，我們知道數(shù)是對計數(shù)單位個數(shù)的表達，現(xiàn)在看來數(shù)的認識和數(shù)的運算都是以“計數(shù)單位”為核心的。

【思考】在借助操作探尋出分數(shù)與除法的關系后，進一步引領學生從“計數(shù)單位”的角度，對除法算式進行算理的解釋，這樣學生在激活已有用整數(shù)表示商的基礎上，結合操作獲得直觀經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)在平均分的時候，產(chǎn)生了新的計數(shù)單位（分數(shù)單位）。在不改變數(shù)的大小的前提下，通過把計數(shù)單位進行細分獲得新的小的計數(shù)單位，這樣新計數(shù)單位變小的同時，增加了新計數(shù)單位的個數(shù)，使得除法計算得以進行，而且通過對8÷4的商既可以用整數(shù)表示又可以用分數(shù)表示的對比，讓學生深刻體會到用分數(shù)表示商的通用性。

（作者單位：1.臨沂岔河小學；2.臨沂第一實驗小學）

編輯：趙文靜