白俊麗 胡勝龍 王勇

摘? 要：全概率公式是概率論中的重點(diǎn)內(nèi)容，深入理解全概率公式中的基本概念有助于正確求解相關(guān)問(wèn)題. 文章通過(guò)三道全概率公式例題闡述了如何從本質(zhì)上理解這些基本概念，以及理解這些基本概念對(duì)解題的重要性.

關(guān)鍵詞：樣本點(diǎn)；樣本空間；全概率公式；分割

中圖分類號(hào)：G633.6? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ?文章編號(hào)：1673-8284（2024）03-0061-04

引用格式：白俊麗，胡勝龍，王勇. 從樣本點(diǎn)到全概率公式［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（3）：61-64.

一、引言

全概率公式是概率論中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，其定義中包含概率論中的一些基本概念，對(duì)這些基本概念的準(zhǔn)確理解有助于正確使用全概率公式. 本文將從這些相關(guān)基本概念的定義出發(fā)，結(jié)合全概率公式的應(yīng)用，闡述清晰理解基本概念的重要性.

我們知道，概率論的研究對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn). 我們研究的隨機(jī)試驗(yàn)是具有試驗(yàn)可重復(fù)、試驗(yàn)結(jié)果不唯一、所有試驗(yàn)結(jié)果可預(yù)見(jiàn)這三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn). 此外，兩個(gè)重要的基本概念是樣本空間和樣本點(diǎn).

定義1：隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為該試驗(yàn)的樣本空間，樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件.

在具體問(wèn)題中，給定樣本空間是描述隨機(jī)現(xiàn)象的第一步. 由以上定義可知，要寫出樣本空間，需要先不重不漏地分析出隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的所有結(jié)果. 另外，需要強(qiáng)調(diào)的是，基本事件（即只含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件）之間是互斥的. 換句話說(shuō)，一次試驗(yàn)中的兩個(gè)基本事件不能同時(shí)發(fā)生. 因此，樣本空間中的元素一定是互斥的.

全概率公式是在已知樣本空間的一個(gè)分割的前提下，求該樣本空間中任一隨機(jī)事件發(fā)生的概率的重要工具. 具體描述如下.

從定義2可以看出，正確使用全概率公式的一個(gè)重要前提是給出樣本空間[Ω]的一個(gè)分割. 本文將從概率論的基本概念出發(fā)，在尋找分割的過(guò)程中體會(huì)正確理解基本概念對(duì)熟練使用全概率公式的重要性.

二、主要內(nèi)容

我們將通過(guò)相關(guān)例題，分析如何從樣本點(diǎn)這一基本概念出發(fā)，自然而然地利用全概率公式解決相關(guān)問(wèn)題，從而體現(xiàn)深刻理解基本概念對(duì)熟練使用全概率公式的重要性.

1. 樣本空間的分割與樣本點(diǎn)

樣本空間與隨機(jī)現(xiàn)象緊密相關(guān)，樣本點(diǎn)是樣本空間的構(gòu)成元素，因此正確找到樣本點(diǎn)是確定隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間的關(guān)鍵.

對(duì)于問(wèn)題，可以知道[ω1 ，ω2]，[ω1 ， ω2]，[ω1，ω2]，[ω1， ω2]四個(gè)事件之間是互斥的. 它們都是由一個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的事件，所以都是基本事件. 而[A0]，[A1]，[A2]三個(gè)事件之間也是互斥的. 那么，這些事件也都是基本事件嗎？答案是否定的. 因?yàn)閇A1]表示“一枚硬幣擲兩次，恰好有一次正面朝上”，它包含“第一次正面朝上，第二次反面朝上”和“第一次反面朝上，第二次正面朝上”兩個(gè)基本結(jié)果，因此[A1]不是由一個(gè)樣本點(diǎn)表示的事件，即不是一個(gè)基本事件.

2. 全概率公式與樣本點(diǎn)的聯(lián)系

接下來(lái)，我們將通過(guò)三道應(yīng)用全概率公式的例題，闡述利用全概率公式求解與正確認(rèn)識(shí)樣本點(diǎn)之間的關(guān)系.

例1? 有甲、乙兩個(gè)袋子，甲袋中裝有[6]個(gè)紅球，[4]個(gè)黑球；乙袋中裝有[5]個(gè)紅球，[3]個(gè)黑球. 這些球除顏色外無(wú)差別. 現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，求從乙袋中取到紅球的概率.

分析1：求解該題的難點(diǎn)主要來(lái)自取球分兩個(gè)階段，如果將第一階段取球的所有不同情況都考慮到，那么問(wèn)題也就迎刃而解了.

對(duì)比解法1與解法2，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)解法2中的[A1?A2]即為解法1中的[A]，解法2中的[A3?A4]即為解法1中的[A]，圖2和圖3則體現(xiàn)了樣本空間[Ω]的兩種分割之間的關(guān)系，即[Ω=A?A=A1?A2?A3?A4].

借助解法2的分析過(guò)程，也闡明了解法1的原理，學(xué)生在之后求解類似的題目時(shí)可以直接應(yīng)用簡(jiǎn)潔的解法1，并知曉其中的道理.

由此可見(jiàn)，對(duì)樣本空間[Ω]的分割方式不一定是唯一的，但是組成樣本空間的樣本點(diǎn)是確定的，這可以幫助我們更好地理解題目，進(jìn)而根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)乇硎境鰳颖究臻g[Ω]實(shí)現(xiàn)高效解題.

例2? 甲、乙、丙三人同時(shí)獨(dú)立地向同一飛行物射擊一次. 設(shè)甲、乙、丙射中的概率分別為[0.4]，[0.5]，[0.7]. 又設(shè)恰有一人射中時(shí)飛行物墜毀的概率為[0.2]，恰有二人射中時(shí)飛行物墜毀的概率為[0.6]，三人都射中時(shí)飛行物必墜毀. 求飛行物墜毀的概率.

分析：先寫出該題涉及試驗(yàn)的樣本空間[Ω]. 不難理解，一次完整的試驗(yàn)為三人分別完成一次射擊. 設(shè)[A=]“甲射中飛行物”，[B=]“乙射中飛行物”，[C=]“丙射中飛行物”，則[Ω=A?B?C?ABC]. 但是應(yīng)該注意到，[A]，[B]，[C]，[ABC]這四個(gè)事件不能構(gòu)成[Ω]的一個(gè)分割，因?yàn)槭录A]、事件[B]和事件[C]之間不是兩兩互斥的. 事實(shí)上，事件[A]、事件[B]和事件[C]都不是基本事件. 例如，事件[A]并非一次試驗(yàn)的基本結(jié)果，它可以分解為[ABC]，[ABC]，[ABC]，[ABC]四個(gè)基本事件. 借助圖4，我們可以很容易地寫出由基本事件構(gòu)成的樣本空[Ω]的一個(gè)分割.

從該例可以看到，用基本事件分割樣本空間[Ω]對(duì)正確使用全概率公式求解問(wèn)題有重要的作用. 并且對(duì)于不同的題目，樣本空間[Ω]需要根據(jù)題設(shè)條件來(lái)分割，而并非一定要用基本事件來(lái)分割.

例3? 甲、乙、丙三人同時(shí)獨(dú)立地向同一飛行物射擊一次. 設(shè)甲、乙、丙射中的概率分別為[0.4]，[0.5]，[0.7]. 又設(shè)甲射中時(shí)飛行物墜毀的概率為[0.6]，甲射不中且乙射中時(shí)飛行物墜毀的概率為[0.3]，只有丙射中時(shí)飛行物墜毀的概率為[0.1]. 求飛行物墜毀的概率.

分析：類似于例2，設(shè)[A=]“甲射中飛行物”，[B=]“乙射中飛行物”，[C=]“丙射中飛行物”. 同樣可以找到樣本空間[Ω]的一個(gè)分割，即[Ω=i=18Ri]，其中[Ri]（i =1，2，…，8）如例2中所設(shè). 但是應(yīng)該注意到在該例中條件概率[PDRi]（[D]如例2中所設(shè)）無(wú)法求解. 此時(shí)，再分析題目條件，發(fā)現(xiàn)樣本空間[Ω]不一定要由基本事件來(lái)分割，還可以由[A]（甲射中），[AB]（甲射不中且乙射中），[ABC]（只有丙射中），以及[ABC]（甲、乙、丙均射不中）進(jìn)行分割（如圖5）.

三、結(jié)論

本文討論了樣本點(diǎn)、樣本空間等概率論中的基本概念與全概率公式之間的關(guān)系. 具體而言，通過(guò)三道全概率公式的相關(guān)例題，逐步闡述了正確描述樣本點(diǎn)或樣本空間對(duì)理解及求解題目的重要性；也舉例說(shuō)明了針對(duì)不同的題目，即使用基本事件分割樣本空間[Ω]無(wú)法直接求解，也有利于準(zhǔn)確利用全概率公式理解題目，進(jìn)而給出適當(dāng)?shù)膶?duì)樣本空間[Ω]的分割. 全概率公式是概率論的基本公式之一，要深刻理解并熟練使用該公式，需要對(duì)基本概念有清晰的認(rèn)識(shí). 同樣地，如果在理解概率論中的其他知識(shí)點(diǎn)時(shí)遇到困難，不妨也回到對(duì)基本概念的理解中來(lái)，或許會(huì)收到事半功倍的效果.

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