易紅

【摘要】教師在教授學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時，我們需要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，以他們的思維能力為基礎(chǔ)，鼓勵他們?nèi)パ芯亢徒鉀Q問題，用一系列的條件來建立思考的框架.中考的幾何題目最后一題往往在教材的各個知識點交叉部分出題，掌握圖形的特性，逐步解構(gòu)和建立，可以達到解決問題的目標(biāo).在教導(dǎo)解題的過程中，我們需要關(guān)注學(xué)生的思維，注重研究的體驗.這篇文章研究了一個幾何綜合題目的建設(shè)過程，并提出了相關(guān)的教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】幾何；動態(tài)；模型

教師在講授解題的核心是培育學(xué)生的思考能力，使他們變得擅長解決問題.然而，解決問題的關(guān)鍵并不在于數(shù)量，而在于質(zhì)量，我們需要通過解題讓學(xué)生深刻掌握概念，鞏固基礎(chǔ)，從而靈巧地應(yīng)對各種各樣的問題.下面我將用一道幾何難題為例，關(guān)注學(xué)生的思考，探究解題的過程，構(gòu)建問題解決的思維路徑.

1 問題呈現(xiàn)

例1 如圖1，假設(shè)在四邊形ABCD中，E是BC線段上的點，DE⊥BC，∠A=45°，AB=BE，F(xiàn)是CD線段上的任意一點.連接BF、EF，并對以下問題給出答案.

（1）如圖1，如果點F和D疊在一起，CE=1，求BD的長度？

（2）如圖2，當(dāng)F點恰好位于CD的中心位置，那么∠ABF的平分線AG和AD線段會相交于G點，試證明：BF=22EC+AG

（3）在（1）條件成立的情況下 ，將 △CEF沿CD平移 ，得到△C′E′F′ 連接BE′將BE′繞著點E′順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段E′B′，再連接AB′和BB′， 在平移過程中，當(dāng)△ABB′的周長最短時，請求出tan∠DAB′的值.

本題是一道幾何綜合問題，它的特點是融合性強，完全滿足了新的教學(xué)大綱對學(xué)生的知識和能力測評的需要.該問題將動態(tài)幾何與邏輯推理結(jié)合起來，題目的設(shè)定簡潔明了，圖像清晰易懂，設(shè)計獨特巧妙.此問題的難度層次感強，知識綜合要求高尤其是第三個題目，通過把圖形的位移和線段的轉(zhuǎn)動結(jié)合，同時融入了三角函數(shù)，最大周長等知識.位移和轉(zhuǎn)動的結(jié)合在重要的題目中并不常見，這個問題的新穎性并沒有超過考試大綱，給予了學(xué)生更多的思考可能，可以根據(jù)不同的條件尋找解題口徑.在具體的解題過程中，學(xué)生的思考方式會有較大的差別，教學(xué)指導(dǎo)更側(cè)重于對圖像的全面分析，注重建立思維的路徑，探索解題的方向.

2 針對學(xué)生開展解題分析

這個題目本質(zhì)上是一個幾何綜合問題，對于基礎(chǔ)不扎實的學(xué)生，題目的復(fù)雜程度過高，通常他們會在閱讀題目后選擇放棄.該問題主要圍繞平行四邊形進行研究，探討了F點的位置，并提出了涉及系數(shù)的線段以及差值關(guān)系的論述.它利用動態(tài)圖像闡釋了建立三角函數(shù)的方法.對于那些基礎(chǔ)一般的學(xué)生，如果他們無法理解線段系數(shù)的特殊特性，構(gòu)建等腰直角三角形，采用“瓜豆原理”去解析移動點的路徑，那么他們將會很難改變條件，也無法把條件與幾何相似或等效的概念聯(lián)結(jié)起來.因此，要想順利探究問題，主要需要注意兩個方面：一是要重視分析解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)；二是要重視改變條件，構(gòu)建解題策略.

2.1 第（1）問的解題分析

在問題一中，F(xiàn)點和 D點是重合的.根據(jù) DE與BC的垂直關(guān)系，我們可以得出DBE三角形是個直角三角形. 利用勾股定理和四邊形的性質(zhì)，我們能計算出BD的距離.這個問題是十分簡便的.確立端點推進的開始是相當(dāng)重要的，由于∠A=45°，從而認(rèn)定三角形 DEC為等腰直角三角形.因此，DE和EC的長度均為1，由此得出DC、AB和BE的長度.在直角三角形DEB里，DE=1，BE的距離待定，能夠通過勾股定理計算出BD的距離，同時整體圖像的線段距離如圖4展示.教學(xué)時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注此圖形的兩個關(guān)鍵特征：第一個是直角三角形的屬性——勾股定理；另一個是平行四邊形的屬性——等長對邊.基于這些幾何屬性進行線段關(guān)系的演繹，并且在考慮角度條件時，能引導(dǎo)學(xué)生從幾何特征和三角函數(shù)的視角去探究.建議使用前述直觀方式解決圖形線段的推導(dǎo)問題，把相關(guān)線段的標(biāo)記寫在圖內(nèi)，這有助于建立線段聯(lián)系.在首個問題里，F(xiàn)點和 D點實際上是同一個位置.依據(jù) DE與 BC垂直以及 F點與 D點的重合狀況，我們可以確認(rèn)三角形DBE是個直角三角形，通過應(yīng)用勾股定理和利用四邊形的性質(zhì)，對求解BD的長度就相對簡單了.挑選適當(dāng)?shù)亩芜M行推理的起始非常關(guān)鍵，當(dāng)定出∠A=45°后，我們可以推斷出三角形DEC是一個等腰直角三角形，由此也能得出DE和EC的長度是1.根據(jù)這個推論，我們能進一步得知 DC、AB和BE的長度.在直角三角形DEB里，DE的距離為1，BE的距離應(yīng)用勾股理論，我們可以計算出 BD的距離.圖4揭示了整體圖形的線條長度.

在進行教導(dǎo)的時候老師必須指導(dǎo)學(xué)生們深度領(lǐng)悟這個圖像的兩個焦點——一是直角三角形的特質(zhì)也就是勾股定理；再者就是平行四邊形的特征，那就是對邊等長.了解這些幾何特征后，我們可以推理出線段的關(guān)系.在處理角度問題時，教師能夠教導(dǎo)孩子們從幾何特征和三角函數(shù)的視角進行探索.我建議對于圖形線段推演難題，采納更直觀的方法，將所需的線段長度直接在圖上表示出來，這樣有助于確認(rèn)線段間的關(guān)聯(lián).

2.2 第（2）問的解題分析

關(guān)于第二個問題，對于含有系數(shù)的線段和差的轉(zhuǎn)化策略掌握也不夠牢固，因此無法靈活地構(gòu)建圖形，也就無法消除系數(shù)，將其轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｒ姷木€段和差的關(guān)系.依據(jù)這個系數(shù)，我們自然會想到構(gòu)建等腰直角三角形，根據(jù)題目的給定條件，將其轉(zhuǎn)化為EF或 FC 或 DF即可，具體的證明步驟如下：

將FE延伸到點H，使∠GBH=135°，如圖5展示的那樣.通過引用平行四邊形的特性我們可以推導(dǎo)出.∠ABC=135°，故∠GBH=∠ABC， 即∠ABG=∠EBH.鑒于DE和EC呈直角，且角度C為45°，我們可以推定，三角形DEC是一個等腰直角三角形.而F點位于DC的中心，這就說明EF和CF正交并具有同樣的長度，因此，我們可以推出∠FEC與∠BEH的度數(shù)均為45°，EF=22EC.我們可以進一步驗證 △ABG和△EBH的等價性，這就意味著∠H∠AGB和∠EBG是相等的.另外，我們已經(jīng)知道BG是∠ABF的平分線，因此∠ABG和∠FBG的大小是一致的.因此，∠FBG和∠EBH也是等大的，這樣就可以推斷出∠EBG和∠FBH是同等大小的，∠H=∠FBH. 所以FB=FH=22EC+AG

在解答此問題時，我們還能采用新穎的方式，將AB作為邊構(gòu)造一個與△BEF全等的三角形，進一步運用平行四邊形屬性推導(dǎo)出△HBG是一等腰三角形.利用線段和差和等腰直角三角形理論，也可以推導(dǎo)出驗證，如下述詳細說明：

延長DA至H，使得AH=EF，再連接BH ，如圖6所示.可以直接證明∠BEF和

∠BAH都=135°，同時我們已知AH等于EF，BA等于BE，所以可以推斷出三角形ABH與三角形EBF是全等的，這就意味著BH與BF是相等的，而且∠ABH與∠EBF也是相等的.考慮到BG是∠ABF的平分線，因此.∠ABG=∠FBG，由此可以得出∠HBG等于∠EBG的結(jié)論.由于AD平行于BC，那么 ∠HGB就會等于∠EBG. 這就表明∠HGB等于∠HBG，進而我們可以知道BF，HB，HG的長度=AH+AG=22EC+AG

2.3 第（3）問的解題分析

題目第三部分是一個整合了幾何運動和三角函數(shù)的復(fù)合題，考查的是圖形的位移和段落的旋轉(zhuǎn).結(jié)合平移知識可知，點E′的運動軌跡為過點 E 且平行 于 CF′的一條線 段 . 利用“瓜豆原理”分析點B′的運動軌跡. 過 點E作 EL⊥BE，使 得 EL=BE，構(gòu) 造 等 腰直角三角形△BEL，如圖7所示. 易證圖 7中陰 影部分的兩個三角形為相似關(guān)系 ，故有∠B′LB=∠E′EB=45° 所以∠B′LE=90°，即點B′在過點L且平行于BE的射線上.△ABB′的周長可表示為C△ABB′=AB+ BB′+AB′，其中AB為定值 ，則三角形周長的最小值由“BB′+AB′”來決定 ，符合“將軍飲馬”模型. 延長LB′，作點A關(guān)于 LB′的對稱點A′ ，由對 稱性可知AB′= A′B′，則BB′+AB′=BB′+A′B′. 分析可知，當(dāng) 點A′，B′，B三 點 共 線1 時 BB′+A′B′可取得最小值 ， 此時點B′為A′B與直線L的交點，如圖8所示. 可證圖8中有△ANB′∽△A′OB，由相似性質(zhì)可得NB′OB=ANA′O，其中OB=1，AN=2－1，A′O=22－1則 NB′=2－122－1而 tan ∠DAB′=tan∠AB′N=NANB′=22－1，即 tan ∠DAB′的 值 為22－1

3 圍繞教學(xué)深入思考

對學(xué)生的思考能力進行的上述考題研究中，總共包含了三個問題，其中后兩個的難度相對較高.這些問題各自獨立，然而又存在著某種知識上的聯(lián)系，因此具有很強的綜合性. 經(jīng)過深入思考，提出了相應(yīng)的建議.

3.1 基礎(chǔ)強化，知識聯(lián)網(wǎng)

對初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的概念、定理、定義和公式深入理解和掌握是解決綜合性問題的基石.只有深入理解知識的本質(zhì)，使用適當(dāng)?shù)慕忸}策略和技巧，才能在解決問題的過程中靈活應(yīng)變.在任何一題中，比如平行四邊形的特性、勾股定理，或相似和全等三角形的特性，這些都是解答問題的根基.若學(xué)生未能深刻理解這些知識點并靈活運用，有可能在解題時遇見困難.故老師應(yīng)該對"只強調(diào)問題解答，忽視基礎(chǔ)知識"的觀點有所改變，教學(xué)時需注重講解基礎(chǔ)理論，并結(jié)合考試技巧，以增強學(xué)生的解題能力.

3.2 重視審題，過程推理

這個問題蘊含著各種詳盡的信息條件，包括平移與旋轉(zhuǎn)的幾何變換，最大/最小周長，三角函數(shù)等常見知識的覆蓋.要通過對題目信息的解讀，理解問題的設(shè)定，掌握圖形規(guī)律，這是題目審查過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié).一些學(xué)生在這個過程中可能會忽略條件分析，導(dǎo)致他們無法深度理解圖像所含的暗示，從而在解題過程中可能會感到思維難度.因此，在日常教學(xué)中，教師需要按照教科書的習(xí)題示范學(xué)生如何正確的審題，引導(dǎo)他們轉(zhuǎn)化信息條件，感受解題的過程，并且在圖形變換和過程分析中幫助他們提升思維能力，并培養(yǎng)他們理性分析的習(xí)慣.

3.3 注重積累，總結(jié)模型

所提及的問題綜合性較強，尤其是末尾的問題整合了眾多的模型，如“瓜豆模型”和“將軍飲馬模型”，為后續(xù)的問題設(shè)置了必要的條件.盡管數(shù)學(xué)模型可能并非教科書的核心內(nèi)容，通過對模型的歸納與結(jié)果的總結(jié)，解題效率仍可顯著提升.因此，在實踐教學(xué)中，教師不應(yīng)僅教授題目，反而應(yīng)該重視整理知識模型，并鼓勵學(xué)生關(guān)注圖形模型，對模型結(jié)果進行總結(jié)，進而創(chuàng)建相應(yīng)的答題策略.同樣地，教師需要重視從多個視角研究模型，擴展模型的結(jié)果，以引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)以致用，在探索和思考的過程中提升他們的知識和能力.

參考文獻：

［1］劉偉鵬．一道“三點共線”問題的解法 ［J］ ．中學(xué)數(shù)學(xué)參考（ 下旬） ，2019 （3） ：77－78．

［2］趙臨龍關(guān)于二次曲線三點共線的統(tǒng)一證明及思考 ［J］ ．中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2019 （9） ： 23-24.