陳丹潔

摘要：圓冪定理是每年中考必考的一個基本知識點，在解決平面幾何的求值、判斷、證明、綜合等相關(guān)問題中都有著廣泛的應(yīng)用，結(jié)合實例，就圓冪定理的應(yīng)用加以實例剖析，指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí).

關(guān)鍵詞：圓冪定理；相交弦定理；割線定理；切割線定理；應(yīng)用

由平面幾何中的圓心角、圓周角及弦切角定理等，可以得到與圓的弦、切線、割線等有關(guān)的相似三角形中的數(shù)量關(guān)系，即相交弦定理、割線定理和切割線定理，這三個定理統(tǒng)稱為圓冪定理.圓冪定理在解決圓的弦、切線、割線等的數(shù)量關(guān)系中應(yīng)用非常廣泛.下面就圓冪定理的一些常見應(yīng)用加以實例剖析.

1 求值問題

例1如圖1，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，PA是切線，PB交AC于點E，交⊙O于點D，且PE=PA，∠ABC=60°，PD=1 cm，BD=8 cm，求EC的長.

分析：要求解的線段EC在圓內(nèi)對應(yīng)的相交弦中，考慮到用相交弦定理，因此把問題轉(zhuǎn)化為求解其他各線段長度的問題.結(jié)合條件，分別利用切割線定理與弦切角定理加以判斷與分析.

解析：由于PA，PDB分別為⊙O的切線和割線，結(jié)合切割線定理有PA2=PD·PB=1×（1+8）=9，可得PA=3，則PE=PA=3，所以DE=PE-PD=3-1=2，于是EB=BD-DE=8-2=6.

又PA為⊙O的切線，∠ABC=60°，所以由弦切角定理得∠PAC=∠ABC=60°.

因此△AEP是等邊三角形，即AE=PA=3.

由相交弦定理，有AE·EC=DE·EB.

所以EC=DE·EBAE=2×63=4 （cm）.

點評：對于圓中相關(guān)的線段求值問題，一般要進行正確轉(zhuǎn)化，結(jié)合弦切角定理、相交弦定理以及切割線定理等加以判斷與分析，關(guān)鍵是正確處理圖形中相關(guān)的點、線、圓的關(guān)系，并結(jié)合相應(yīng)的定理求解.

2 判斷問題

例2如圖2，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為H.P是弧AC上一點（點P不與A，C兩點重合）.連接PC，PD，PA，AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F.給出下列四個結(jié)論：①CH2=AH5BH；②AD=AC；③AD2=DF5DP；④∠EPC=∠APD.其中正確的結(jié)論是（只填序號）.

分析：根據(jù)圓冪定理，通過相交弦定理、垂徑定理、三角形相似的判定與性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等，結(jié)合題目條件對給出的四個結(jié)論加以逐一分析，從而得以正確判斷.

解析：①中，由相交弦定理，可知CH5HD=CH2=AH5BH，故①正確；

②中，由于⊙O的直徑AB垂直弦CD于點H，則可知H是CD的中點，根據(jù)垂徑定理可知AD=AC，故②正確；

③中，如圖3，連接BD，由⊙O的直徑AB垂直弦CD于點H，可得△ADH∽△ABD，則AD2=AH5AB，故③不正確；

④中，由于AC對的圓周角為∠ADC，AD對的圓周角為∠APD，根據(jù)②中有AD=AC，則有∠ADC=∠APD，而由圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，可知∠EPC=∠ADC，則∠EPC=∠APD，故④正確.

綜上所述，正確的有①②④.

故填答案：①②④.

點評：對于圓中相關(guān)結(jié)論的判斷問題，合理借助平面幾何圖形的直觀想象，綜合圓冪定理以及其他平面幾何知識，通過合理推理、代數(shù)運算等形式加以綜合應(yīng)用.破解的關(guān)鍵是構(gòu)建已知條件與對應(yīng)結(jié)論之間的聯(lián)系，借助平面幾何中對應(yīng)的知識加以分析與推理，從而得以正確分析與判斷.

3 證明問題

例3如圖4，AB是⊙O的直徑，C，F(xiàn)為⊙O上的點，CA是∠BAF的角平分線，過點C作CD⊥AF交AF的延長線于點D，且CM⊥AB，垂足為M.

（1）求證：DC是⊙O的切線；

（2）求證：AM·MB=DF·DA.

分析：要證明DC是⊙O的切線，關(guān)鍵是根據(jù)切線的定義，證明DC⊥OC，通過輔助線，結(jié)合平行關(guān)系加以證明；同時要證明對應(yīng)的線段的積相等，可以結(jié)合相關(guān)直角三角形的射影定理與切割線定理加以分析與轉(zhuǎn)化.

證明：（1）如圖5，連接OC，則∠OAC=∠OCA.又因為CA是∠BAF的角平分線，所以∠OAC=∠FAC，則∠FAC=∠OCA，于是OC∥AD.

又CD⊥AF，所以CD⊥OC.

故DC是⊙O的切線.

（2）連接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，由直角三角形射影定理，得CM2=AM·MB.

又由（1）得DC是⊙O的切線，結(jié)合切割線定理得DC2=DF·DA.

而在Rt△AMC和Rt△ADC中，AC是公共斜邊，∠OAC=∠FAC，

所以Rt△AMC≌Rt△ADC，則有DC=CM.

故AM·MB=DF·DA.

點評：本題證明的關(guān)鍵是把所要證的結(jié)論與題中的條件結(jié)合相關(guān)輔助線的添加進行合理轉(zhuǎn)化，同時要注意對應(yīng)圖形中相關(guān)的點、線、圓的關(guān)系，以及正確利用圓冪定理與其他相關(guān)定理加以分析與證明.

4 綜合應(yīng)用問題

例4如圖6，PT與⊙O相切于點T，直線PA交⊙O于A，B兩點，M為PT的中點，且MB交⊙O于點N.

（1）證明：∠MNP=∠MPB；

（2）若MN=1 cm，NB=3 cm，且S△PNA∶S△ANB=4∶3，試求PB的長.

分析：第（1）問要證明兩個角相等，結(jié)合圖形分析，可以把它們放在兩個對應(yīng)的三角形中，通過證明兩個相關(guān)的三角形相似來達到目的，而相似的證明要結(jié)合相關(guān)的線段關(guān)系來分析與過渡；第（2）問結(jié)合兩三角形面積的比值，根據(jù)圖形中的對應(yīng)三角形同高關(guān)系，把面積比轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的底邊之比，通過相關(guān)線段關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合設(shè)元加以分析與求解.

（1）證明：由于MT，MNB分別為⊙O的切線和割線，結(jié)合由切割線定理有MT2=MN·MB.

又M為PT的中點，所以可得PM2=MN·MB，即PMMN=MBPM.

又∠NMP=∠PMB，所以△NMP∽△PMB.

故∠MNP=∠MPB.

（2）解：由MN=1，NB=3，得MB=1+3=4，所以MT2=MN·MB=1×4=4，則PT2=（2MT）2=16.又由于S△PNA∶S△ANB=4∶3，且△PNA與△ANB同高，因此PA∶AB=4∶3.

設(shè)PA=4k（k>0），則AB=3k，可得PB=7k.

又由于PT，PAB分別為⊙O的切線和割線，結(jié)合切割線定理有PT2=PA·PB，即4k×7k=16，解得k=277.

故PB=7k=7×277=27（cm）.

點評：圓冪定理可以用來解決相關(guān)的線段長度，對應(yīng)的等式關(guān)系等.在綜合應(yīng)用問題中，往往可以利用圓冪定理中對應(yīng)的關(guān)系加以過渡與轉(zhuǎn)化，用來證明三角形的相似問題、求解線段的長度問題，以及解決一些創(chuàng)新性的問題等.有時要適當(dāng)引入輔助線，結(jié)合對應(yīng)圖形中相關(guān)的點、線、圓的關(guān)系，正確利用圓冪定理與其他的相關(guān)定理加以分析與應(yīng)用.

圓冪定理中相交弦定理、割線定理和切割線定理有著密切的聯(lián)系，實質(zhì)上反映了兩條相交直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)定理與比例線段有關(guān).通過與圓相關(guān)的比例線段，解決求值、判斷、證明、等相關(guān)數(shù)學(xué)問題，很好地考查直觀想象、邏輯推理、代數(shù)運算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).